Retour sur les champs intermédiaires

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Université du Maine - Faculté des Sciences
Electromagnétisme
2- Caractéristiques des milieux - Retour sur les champs intermédiaires
a- Cas général
!
!
!
Dans un milieu polarisé, le vecteur induction électrique est : D ! # 0E " P .
!
!
B !
Dans un milieu aimanté, le vecteur excitation magnétique est : H !
$J
%0
!
!
!
Dans un milieu possédant des charges libres, la densité de courant est donnée par la loi d’Ohm locale : jlibre ! jmobile ! &E
Valable dans un domaine de fréquence <1014Hz pour un bon conducteur.
b- Cas particulier : milieux (conducteurs, polarisé ou aimantés) homogènes, linéaires et
isotropes
Linéarité : exprime des relations de causalité linéaires, en d’autres termes que les effets (polarisation, aimantation,
conductivité) sont proportionnels aux excitations (électrique, magnétique, électrique).
Ces grandeurs sont alors définies par :
!
!
P ! # 0 ' eE : Polarisation
!
!
J ! ' mH : Aimantatio n
!
!
j ! &E : Conduction
Isotropie : les grandeurs de proportionnalité ' e ,'m et & représentant respectivement la susceptibilité électrique, magnétique
et la conductivité sont des grandeurs non tensorielles. Les propriétés du milieu sont les mêmes dans toutes les directions de
l’espace. Il n’y a pas de directions privilégiée.
Homogénéité : Les propriétés sont les mêmes en tout point du milieu. Il n’y a pas de régions privilégiées.
On récrit les champs intermédiaires pour les milieux h.l.i sous la forme :
!
!
!
!
D ! # 0 (1 " ' e )E ! # 0 #r E ! #E
!
!
!
!
B ! % 0 (1 " 'm )H ! % 0%r H ! %H
avec #r ! 1 " ' e la permittivité relative du milieu (1.0005 pour l’air sec, verre 2.3-4, mica 8, eau 78 , porcelaine 80..)
et %r ! 1 " 'm la perméabilité magnétique relative.
Complément : A propos de la neutralité électrique d’un conducteur
Ce sont des milieux à charges libres pouvant se déplacer sur des distances très grandes par rapport aux dimensions
atomiques. Bien que les charges liées existent les phénomènes de polarisation sont faibles . Les courants d’aimantation sont
aussi faibles à l’exception de matériaux ferromagnétique. La densité de courant est donnée par :
!
!
!
!
!
j tot ! j libre " j lié " j aim ( j libre
et la densité de charges libres se compose de )libre ! ) " " ) $ ; c’est à dire les charges (+) des noyaux et les charges (-) des
électrons (pour un conducteur métallique). Dans un volume mésoscopique, cette densité est nulle en l’absence de toute
excitation électrique.
Qu’en est-il en présence d’une excitation ?
On peut supposer qu’à la suite d’une excitation électrique, des fluctuations de la densité de charges peuvent se produire.
L’équation de conservation de la charge électrique s’exprime par :
!
*)
div jlibre " libre ! 0
*t
!
!
*)libre
*)
" div(&E) ! libre " &div(E) ! 0
*t
*t
Si on tient compte uniquement des charges libres (en supposant les phénomènes de polarisation faibles) alors :
&t
!
! $
*) &)
"
! 0 + )( r , t ) ! )( r )e # 0
*t #0
&t
Si on considère un métal tel que le cuivre
$
&
( 1018 + e # 0 , 1
#0
On en déduit que la neutralité électrique d’un conducteur est toujours réalisée.
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Caractéristiques des milieux
Conducteur parfait non ferromagnétique
)libre ! 0
!
!
jlibre ! &E ;
;
!
jlibre ! 0
Vide : )libre ! 0 ;
;
Diélectrique parfait : ) libre ! 0
% ( %0
;
#r ( 1
% ! %0 ; #r ! 1
!
; jlibre ! 0 ; % ! % 0 (1 " ' m )
;
# r -1
Vu qu’on a affaire à des corps dia ou paramagnétiques alors % ( % 0
3- Force de Lorentz
!
Elle s’exprime en fonction des champs électrique et magnétique. Pour une charge q de vitesse v , elle subit la force :
!
! ! !
F ! q(E " v . B)
4- Conditions aux limites – Equations aux interfaces
Il s’agit d’établir les relations de passage pour le champ électromagnétique (champ vrais et intermédiaires) à la traversée
d’une surface de séparation de deux milieux l.h.i.
A la frontière de séparation de deux milieux, l’intégration des équations de Maxwell sur des surfaces ou parcours est la
procédure adoptée. Localement, la dimension perpendiculaire à la surface de séparation est Xn , 0 .
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N12
n1
Xn
Contour
n2
3/4
N12
n1
Xn
Volume
n2
Composante tangentielle du champ électrique
(/)
Intégration de l’équation M-F , , sur la surface
00
! !
rotE.dS ! $
( S1 )
00
( S1 )
:
!
*B !
.dS +
*t
0
! !
d
E.d l ! $d".
dt
(1)
Xn
0 B.dx 22X 2,20 , 0
$ Xn
n
!
!
E T1 ! E T 2
Composante normale du champ magnétique
!
!
Intégration de l’équation de M-Flux : BN1 ! BN2
Composante normale de l’induction électrique
Intégration de l’équation M-G sur la surface d’un cylindre de génératrice X de part et d’autre de la surface de séparation:
!
!
!
DN2 $ DN1 ! & libren12
!
Où n12 est la normale locale à l’interface orientée dans le sens milieu (1)->(2).
&libre ! Lim X)libre est la densité de charges libres à l’interface entre les deux milieux.
X ,0
Composante tangentielle de l’excitation magnétique
Intégration de l’équation M-A sur un rectangle de coté perpendiculaire à la surface de séparation égale à 2X :
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! !
HT 2 $ HT1 ! js . n12
!
!
où js ! lim jlibre X
X ,0
C’est la densité de courants superficielle.
Remarque : si la surface de séparation ne comporte ni densité de charge et ni densité de courant surfacique, on a alors une
continuité du champ électromagnétique de part et d’autre de la surface de séparation.