Cours Lois de probabilité à densité

Lois de probabilité à densité
Rappels de première : Notion de variable aléatoire
Définition : Soit Ω l’univers associé à une expérience aléatoire, on définit une variable aléatoire
en associant à chaque issue de cet univers un nombre réel x.
Une variable aléatoire est donc une fonction de Ω dans ℝ, on dit aussi parfois que c’est une
application de Ω dans ℝ.
Exemple :
On lance un dé équilibré à 6 faces, on gagne 1€ si la face est 1, 2 ou 3, on gagne 5 € si c’est le 4
et on perd 2 € si c’est le 5 ou le 6.
L’univers de cette expérience aléatoire est Ω = ⎨1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6⎬ et l’ensemble E des valeurs
prises par la variable aléatoire X ainsi définie est E = ⎨-2 ; 1 ; 5⎬.
La loi de probabilité de la variable aléatoire X est la donnée de toutes les probabilités
p(X = xi), où xi prend toutes les valeurs de la variable aléatoire.
L’espérance mathématique de la variable aléatoire X est le nombre noté E(X), exprimé dans
la même unité que celle des xi, tel que : E(X) = p1x1+p2x2+…+pixi+…+pnxn
Ou
𝐧
𝐄(𝐱) = 𝐩 (𝐗 = 𝒙𝒊 )×𝒙𝒊
𝐢!𝟏
.
Parfois on note cette espérance mathématique µ.
Les variables aléatoires abordées étaient discontinues et prenait un nombre fini de valeurs elles
sont dites discrètes.
Cas particulier loi de Bernoulli
L’expérience aléatoire n’a que deux issues possibles S avec P(S) = p et S avec P(S) = 1 – p
Loi binomiale de paramètre n et p.
Soit un schéma de Bernoulli, constitué par n répétitions d’une épreuve de Bernoulli de
paramètre p.
Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de succès de ces n épreuves.
La loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi binomiale (ou loi du nombre de
succès) de paramètres n et p. On la note ℬ(𝑛; 𝑝).
Pour tout entier naturel k appartenant à l’intervalle [0 ;n] la loi binomiale de probabilité de X
est donnée par :
𝑛 !
p 𝑋=𝑘 =
𝑝 (1 − 𝑝)!!!
𝑘
La calculatrice permet d’avoir les différentes valeurs, p 𝑋 = 𝑘 , de cette loi.
1 L’espérance de la loi binomiale de paramètres n et p est égale à n×p
I – Variables aléatoires à densité
1. Variable aléatoire continue
Définition : Soit Ω l’univers associé à une expérience aléatoire, on définit une variable
aléatoire X en associant à chaque issue de cet univers un nombre réel x. Si cette variable
peut prendre toutes les valeurs des réels d’un intervalle I de ℝ, elle est dite continue.
Exemple : Soit X la variable aléatoire qui à chaque ampoule fabriquée associe sa durée
de vie. Cette variable aléatoire peut, théoriquement, prendre toutes les valeurs
comprises dans I= 0; +∞ .
2. Loi à densité sur un intervalle I
Définition : Soit X une variable aléatoire à valeurs dans un intervalle I.
On dit que X suit la loi à densité f si :
𝑓 est une fonction continue et positive sur I.
!
Pour tous réels 𝑎 et 𝑏, de I, 𝑝 𝑎 < 𝑋 < 𝑏
=
𝑓 𝑥 𝑑𝑥.
!
La fonction f est appelée densité de probabilité de la variable aléatoire X.
Voir dans le Trans math l’activité P 217 ?
3. Propriétés
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de densité f sur I = 𝑎; 𝑏 :
a.
!
𝑓
!
𝑥 𝑑𝑥 = 1
!
Justification : ! 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑃 𝑋 ∈ 𝐼 . Or X prend toute ses valeurs possibles
dans I donc l’événement 𝑋 ∈ 𝐼 est certain donc 𝑃 𝑋 ∈ 𝐼 = 1.
Remarque : une fonction f continue et positive sur un intervalle I = 𝑎; 𝑏 ne peut
!
être une loi de densité que si la condition, ! 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1, est vérifiée.
b. Pour tout réel c ∈ I, 𝑃 𝑋 = 𝑐 = 0. !
Justification : 𝑃 𝑋 = 𝑐 = ! 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0
c. Si A et B sont deux intervalles disjoints de I, alors
𝑃 𝑋 ∈𝐴∪𝐵 =𝑃 𝑋 ∈𝐴 +𝑃 𝑋 ∈𝐵 .
Justification évidente puis que A et B sont disjoints 𝑃 𝑋 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵
= 0.
d. Pour tout réel c de I, 𝑃 𝑋 < 𝑐 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑐 .
Justification : conséquence de la propriété précédente en considérant
A= 𝑋 < 𝑐 et B = 𝑋 = 𝑐 or 𝑃 𝑋 = 𝑐 = 0.
2 II – Loi uniforme sur un intervalle [a ; b]
1. Définition : Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [a ; b] si elle admet
comme densité de probabilité une fonction f constante et positive sur [a ; b]
2. Interprétation :
!
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1 par définition !
or l’aire comprise entre la droite représentant f , l’axe des abscisses et les droites
d’équations x = a et x = b est celle d’un rectangle de mesures 𝑓 𝑥 et 𝑏 − 𝑎
donc 𝑓 𝑥 × 𝑏 − 𝑎 = 1 et donc
1
𝑓 𝑥 =
𝑏−𝑎
III – Espérance mathématique d’une variable aléatoire à densité
1. Définition
X est une variable aléatoire de densité f sur [a;b]. On appelle espérance mathématique
de X, le nombre noté E(X) défini par :
𝒃
𝑬 𝑿 =
𝒙×𝒇 𝒙 𝒅𝒙.
𝒂
Remarque : On peut comparer par analogie avec la formule de l'espérance
mathématique d'une variable aléatoire discrète (voir les rappels ).
Variable aléatoire discrète :
𝐧
𝐄 𝐱 = !
le 𝒃
𝐩 (𝐗 = 𝒙𝒊 )×𝒙𝒊 𝑬 𝑿 =
𝐢!𝟏
𝒙×𝒇 𝒙 𝒅𝒙. 𝒂
!
devient
!!!
Variable aléatoire à densité :
!
et p X = 𝑥! devient 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
3 2. Cas particulier espérance d'une loi uniforme :
Si X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a;b] alors son espérance
mathématiques est :
𝒂+𝒃
𝑬 𝑿 =
𝟐
Justification :
!
1
1
𝑥×
d𝑥 =
𝑥 d𝑥 𝑏−𝑎
𝑏−𝑎 !
!
1
or un primitive de 𝑥 est 𝐹 𝑥 = 𝑥 ! donc 2
1
1 !
(𝑏
−
𝑎)(𝑏
+ 𝑎) 𝑎 + 𝑏
𝐸 𝑋 =
× 𝑏 − 𝑎! =
=
𝑏−𝑎 2
2(𝑏 − 𝑎)
2
1
𝑓 𝑥 =
donc 𝐸 𝑋 =
𝑏−𝑎
!
IV – Loi normale centrée réduite :
1. Définition
Une variable aléatoire de densité f sur ℝ suit la loi normale centrée réduite si :
1 !! !
𝑓 𝑥 =
𝑒 !
2𝜋
On note cette loi 𝒩 0; 1 .
Sa représentation graphique Cf est donnée ci-dessous :
2. Propriétés :
La loi est caractérisée par 0 :
La fonction admet un maximum pour x = 0 et f(0) =
!
𝑒 ! = !!
!
!!
La courbe est symétrique par rapport à l'axe de ordonnées donc par rapport à la droite
d'équation x = 0, pour tout réel a : f(a) = f(- a).
La loi est caractérisée par 1:
L'aire du domaine situé entre la courbe et l'axe des abscisses correspond à la somme des
probabilités donc est égale à 1 on note cette aire :
!!
1 !! !
𝑒 ! d𝑥 = 1
2𝜋
!!
4 3. Utilisation de la calculatrice Casio à partir de la graph 35
Dans le menu statistique – DIST – NORM – NCD :
Entrer pour Lower : – 1,96 pour Upper :1,96 pour 𝜎 ∶ 1 pour 𝜇 ∶ 0 on obtient 𝑝 −1,96 ≤ 𝑋 ≤ 1,96 ≈ 0,95 Ce qui signifie que 95% de l'aire est entre ces deux bornes et donc avant et après la
courbe est très proche de l'axe des abscisses.
Cette valeur 1,96 apparaît dans l'intervalle de fluctuation asymptotique.
Pour obtenir 𝑝 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 il suffit de changer les bornes.
V – Loi Normale 𝓝(𝝁; 𝝈𝟐 )
1. Définition
Une variable aléatoire X, suit la loi normale 𝒩(𝜇; 𝜎 ! ) si la variable aléatoire définie par
𝑋−𝜇
suit la loi normale 𝒩 0 ; 1 .
𝜎
Remarques :
On admettra que dans ce cas la loi de densité f est définie sur ℝ par :
! !!! !
1
!
𝑓 𝑥 =
𝑒 ! !
𝜎 2𝜋
La courbe représentant f est symétrique par rapport à la droite d'équation 𝑥 = 𝜇
Justification : On montre que 𝑓 𝜇 − 𝑎 = 𝑓(𝜇 + 𝑎)
! !!!!! !
! !! !
1
1
𝑓 𝜇−𝑎 =
𝑒 !! !
=
𝑒 !! !
𝜎 2𝜋
𝜎 2𝜋
! !!!!! !
! ! !
1
1
!
!
!
!
𝑓 𝜇+𝑎 =
𝑒
=
𝑒 !!
𝜎 2𝜋
𝜎 2𝜋
Exemple, Loi normale 𝒩(100; 100)
donc 𝜇 = 100 ; 𝜎 = 10 , sur Geogebra on obtient la représentation graphique de la
fonction f ci-dessous:
Les points C et D sont symétriques par rapport à la droite d'équation x = 100
5 Le maximum est atteint pour
𝑥 = 100 et 𝑓(100) = 1
10 2𝜋
Remarque : Ce maximum est égal à celui de la loi 𝒩 0; 1 divisé par 𝜎 = 10, comme
toutes les valeurs de f(x).
2. Espérance et écart-type
Définition : Soit X une variable aléatoire de densité f et d'espérance E(X) = m,
sa variance notée V(X), est le nombre défini par 𝑉 𝑋 = 𝐸 𝑋 − 𝑚 ! .
Son écart type noté 𝜎 est défini par 𝜎 = 𝑉(𝑋).
Théorème admis :
Si la variable aléatoire X suit la loi normale 𝒩 𝜇; 𝜎 ! alors 𝐸 𝑋 = 𝜇 et 𝑉 𝑋 = 𝜎 !
Remarque dans le cas d'un loi normale 𝒩 0; 1 alors 𝐸 𝑋 = 0 et 𝑉 𝑋 = 1
3. Interprétation
Les courbes ci-dessous représente la densité des lois normales indiquées
On remarque que quand 𝜎 augmente, la courbe est plus "étalée", l'aire sous la courbe est
"moins concentrée" autour de l'espérance 𝜇 = 0.
La variance et donc l'écart-type sont des paramètres de dispersion par rapport à
l'espérance 𝜇.
4. Application :
Probabilité des évènements:
𝑿 ∈ 𝝁 − 𝝈; 𝝁 + 𝝈; ,
𝑿 ∈ 𝝁 − 𝟐𝝈; 𝝁 + 𝟐𝝈; , 𝑿 ∈ 𝝁 − 𝟑𝝈; 𝝁 + 𝟑𝝈; Théorème admis: 𝑷 𝑿 ∈ 𝝁 − 𝝈; 𝝁 + 𝝈; ≈ 𝟎, 𝟔𝟖 𝑷 𝑿 ∈ 𝝁 − 𝟐𝝈; 𝝁 + 𝟐𝝈; ≈ 𝟎, 𝟗𝟓 𝑷 𝑿 ∈ 𝝁 − 𝟑𝝈; 𝝁 + 𝟑𝝈; ≈ 𝟎, 𝟗𝟗𝟕 ≈. 6 Ces valeurs ne dependent pas des valeurs de 𝜎 et de 𝜇 7