Synthèse polynômes de matrices, d`endomorphismes

Synthèse polynômes de matrices, d’endomorphismes
Gilbert Primet
19 janvier 2014
1. Pour P ∈ K[X ], P =
n
X
a k X k , on pose :
k=0
∀A ∈ Mp (K ) p(A) = a 0 I p + a 1 A + · · · + a k A k + · · · + a n A n =
n
X
ak A k
k=0
Pour tout Kespace vectoriel E : ∀u ∈ L (E ) P (u) = a 0 I d E + a 1 u + · · · + a n u n =
n
X
ak u k
k=0
Dans cette définition : u 0 = I d E et ∀k ∈ N∗ u k = u
· · · ◦ u} et A 0 = I p et ∀k ∈ N∗ A k = |A. ·{z
· · .A}
| ◦ u{z
k termes
ktermes
On a naturellement :
∀A ∈ Mp (K)∀P ∈ K[X ] p(A) ∈ Mp (A)
∀u ∈ L (E )∀P ∈ K[X ] p(u) ∈ L (E )
2. On rappelle également que les puissances d’endomorphismes ou de matrices carrées ont les mêmes propriétés
que les puissances usuelles, à l’exception de celles faisant intervenir la commutativité :
∀(A, B ) ∈ (Mp )2 ∀(n, m) ∈ N2 A p+q = A p A q (A p )q = A pq
∀(u, v) ∈ L (E )2 ∀(n, m) ∈ N2 u p+q = u p ◦ u q (u p )q = u pq
En particulier, deux puissances d’une même matrice ou d’un même endomorphisme commutent (respectivement pour la multiplication matricielle et la composition des endomorphismes). De plus :
∀(A, B ) ∈ (Mp (K))2 AB = B A ⇒ ∀(n) ∈ N (AB )n = A n B n
De même :
∀(u, v) ∈ L (E )2 u ◦ v = v ◦ u ⇒ ∀(n) ∈ N (u ◦ v)n = u n ◦ v n
De façon plus générale, deux polynômes de matrices ou d’endomorphismes qui commutent commutent :
∀(A, B ) ∈ (Mp (K)2 AB = B A ⇒ ∀(P,Q) ∈ K[X ] P (A)Q(B ) = P (B )Q(A)
∀(u, v) ∈ L (E )2 u ◦ v = v ◦ u ⇒ ∀(P,Q) ∈ (L (E ))2 P (u) ◦ Q(v) = Q(u) ◦ P (v)
3. 0pérations Soient P et Q deux polynômes à coefficients dans K
Addition ∀u ∈ L (E )(P +Q)(u) = P (u) +Q(u) ∀A ∈ Mn (K)(P +Q)(A) = P (A) +Q(A)
Multiplication ∀u ∈ L (E )(PQ)(u) = P (u) ◦ Q(u) ∀A ∈ Mn (K)(PQ)(A) = P (A)Q(A)
En particulier :∀u ∈ L (E )P (u) ◦ Q(u) = Q(u) ◦ P (u) ∀A ∈ Mn (K)P (A)Q(A) = Q(A)P (A)
C”est-à-dire :Deux polynômes ou puissances d’un même endomorphisme ou d’une même matrice commutent
Multiplication par un scalaire ∀λ ∈ K(λP )(u) = λP (u) ∀λ ∈ K∀A ∈ Mn (K) (λP )(A) = λ(P (A))
Image de l’unité Si P = 1, alors ∀u ∈ L (E )P (u) = I d E ∀A ∈ Mp (K) P (A) = I p
Morphismes On conserve les notations précédentes
½
K[X ] → L (E )
(a) L’application
est un morphisme d’espaces vectoriels de (K [X ], +, .) dans (L (E ), +, .)
P
7→ P (u)
et un morphisme d’anneaux de (K [X ], +, .) dans (L (E ), +, ◦)
K[X ] → Mp (K)
est un morphisme d’espaces vectoriels de (K [X ], +, .) dans (Mp (K), +, .)
P
7→ P (A)
et un morphisme d’anneaux de (K [X ], +, .) dans (Mp (K), +, .)
½
(b) L’application
1
4. Matrices semblables :rappels
Définition On dit que des matrices carrées A et B d’ordre p sont semblables lorsqu’il existe Q ∈ GL p (K) telle
que :
B = Q −1 AQ
. On le note A ∼ B
Propriétés (a) Deux matrices semblables ont même rang , même trace.
¡
¢3
(b) ∀(A, B,C ) ∈ Mp (K : A ∼ A; A ∼ B ⇒ B ∼ A; (A ∼ B ) et (B ∼ C ) ⇒ A ∼ C
Si de plus A ∼ B et si l’un des matrices est inversible, alors l’autre également et :A −1 ∼ B −1
(c) Si A ∼ B et P ∈ K[X ], alors P (A) ∼ P (B )
Plus précisément, si B = Q −1 AQ (Q ∈ GL p (K)) alors :
∀P ∈ K[X ]P (B ) = Q −1 P (A)Q
En particulier :
∀n ∈ N B n = Q −1 A n Q
Cette dernière égalité est encore valable pour n ∈ Z lorsque A est inversible.
5. Cas des matrices diagonales ou triangulaires

d1
0


0
(a) Pour toute matrice diagonale D = 
 ..
 .
0
d2
..
.
...

···
..
.
..
.
0
P (d 1 )


 0
P (D) = 
 ..
 .
0

0
.. 

. 
 et tout polynôme P :

0
dp
0
P (d 2 )
..
.
...
···
..
.
..
.
0
0
..
.
0
P (d p )







En particulier, pour tout entier naturel n :
 n
d1

0

Dn =  .
 .
 .
0
0
d 2n
..
.
...
···
..
.
..
.
0

0
.. 
. 



0
d pn
(Attention 00 = 1) Cette dernière formule est encore vraie lorsque n < 0 et que la matrice D est inversible
(c’est-à-dire :∀k ∈ [|1, p|] d k 6= 0 C’est la simplicité de cette formule qui fait que lorsque c’est possible, on
cherche à se ramener par similitude à des matrices diagonales. C’est l’objet du chapitre diagonalisation.


d1 ∗ · · · ∗

.. 
..


.
. 
 0 d2
(b) De façon générale, pour toute matrice triangulaire (par exemple supérieure) :T = 
 et
..
..
 ..

 .
.
. ∗
0 . . . 0 dp


P (d 1 )
∗
···
∗

.. 
..


.
P (d 2 )
. 
 0
tout polynôme P :P (T ) = 
 (Les étoiles désignent des éléments quelconques
..
..
 ..

 .
.
.
∗ 
0
...
0 P (d p )
de K).
6. Polynôme annulateur
(a) On dit qu’un polynôme P est un polynôme annulateur d’un endomorphisme u (resp : d’une matrice carrée A) lorsque
P (u) = 0E ,E (resp P (A) = 0p ).
Par exemple, le polynôme nul est polynôme annulateur de tout endomorphisme ou toute matrice.
2
(b) Tout endomorphisme u d’un espace vectoriel non nul de dimension p ∈ N∗ ou toute matrice carrée A
d’ordre p admet un polynôme annulateur non nul (car la famille infinie des puissances successives de u
ou A est une famille liée). On montre même qu’on peut trouver un tel polynôme de degré au plus p.
Le théorème de Cayley-Hamilton (hors programme, sera vu en exercice) dit que χu (u) = 0E ,E et χ A (A) = 0p ,
en notant χu (respectivement χ A ) le polynôme caractéristique de u (respectivement A).
Par contre, en dimension infinie, un endomorphisme n’admet pas nécessairement de polynôme annulateur non nul. ½
K[X ] → K[X ]
Par exemple :
est un endomorphisme de K[X ] qui admet comme seul polynôme anP
7→ X P
nulateur le polynôme nul.
(c) L’ensemble des polynômes annulateurs d’un endomorphisme ou d’une matrice est un sous-espace vectoriel de K[X ]. De plus, si P est un polynôme annulateur d’un endomorphisme u ou d’une matrice A, alors,
pour tout polynôme Q ∈ K[X ], QP = PQ est un polynôme annulateur de u (respectivement A).
(d) Si A et B sont deux matrices carrées semblables :
∀P ∈ K[X ] P (A) = 0 ⇐⇒ P (B ) = 0
(Deux matrices carrées semblables ont les mêmes polynômes annulateurs).
(e) Si on connaît un polynôme annulateur non nul Q scindé d’une matrice carrée A (ou d’un endomorphisme
u), on peut calculer les puissances successives de A (resp u) en cherchant le reste R de la division euclidienne de X n par Q :
X n = QB + R deg(R) < deg(Q)
On écrit :R =
degQ−1
X
αi X i
i =0
Lorsque Q est scindé à racines simples, il faut donner à l’inconnue les valeurs des racines de Q. On obtient
ainsi un système dont le déterminant est un déterminant de Vandermonde, et qui permet de calculer les
inconnues αi , donc le polynôme Q.
Lorsque Q est scindé mais que certaines racines sont multiples, il faut faire intervenir les dérivées successives de Q. On rappelle la propriété :
α ∈ K est racine d’ordre r ∈ N∗ deQ ⇐⇒ P (α) = P 0 (α) = · · · = P (r −1) (α) = 0; P (r ) (α) 6= 0
Une fois le reste R calculé, on a alors :A n = R(A) (resp :u n = R(u)).
(f ) Lorsqu’on connaît un polynôme annulateur non nul d’une matrice ou d’un endomorphisme, ceci facilite
la recherche des valeurs propres de cette matrice ou de cet endomorphisme (cf diagonalisation)
(g) On peut employer la formule du binôme dans Mp (K ) ou L (E ) à condition que les matrices ou endomorphismes commutent (respectivement pour la multiplication matricielle et la loi ◦.
à !
n n
X
n
∀(A, B ) ∈ Mp (K )AB = B A ⇒ ∀n ∈ N (A + B ) =
A k B n−k
k=0 k
à !
n n
X
∀(u, v) ∈ L (E )u ◦ v = v ◦ u ⇒ ∀n ∈ N (u + v) =
u k ◦ v n−k
k=0 k
n
Un cas intéressant est lorsque A = λI p (λ ∈ K (resp :u = λI d E et B est nilpotente (respectivement u nilpotent), c’est à dire que :∃m ∈ N A m = 0p (resp :∃m ∈ N u m = 0E ,E )
On rappelle que toute matrice carréeA d’ordre p strictement triangulaire est nilpotente :A p = 0p .
3