0 Introduction aux mathématiques pour le lycée

0 Introduction aux mathématiques pour le
lycée
0.1 Les ensembles de nombres en mathématiques
L’ensemble des entiers positifs, aussi appelés entiers naturels, est noté N ;
L’ensemble des entiers relatifs, c’est-à-dire les nombres munis d’un signe, est noté Z.
Remarque : tout entier naturel est en entier relatif : 3 = +3 (N ⊂ Z) ;
L’ensemble des décimaux, c’est-à-dire des nombres à virgule qui s’écrivent avec un nombre fini
de chiffres, est noté D.
Remarque : tout entier relatif est un décimal : −2 = −2.0 (Z ⊂ D).
L’ensemble des rationnels, c’est-à-dire des nombres fractionnaires, est noté Q.
421
2 105
=
(D ⊂ Q).
Remarque : tout décimal est un rationnel : 2,105 =
1000
200
L’ensemble des réels, c’est-à-dire tous les nombres connus, rationnels et irrationnels, est noté R.
Remarque : tous les rationnels sont des réels (Q ⊂ R).
Attention : la calculette
√ ne donne qu’une valeur décimale approchée des rationnels non décimaux
ou des irrationnels : 2 ≈ 1,41421, π ≈ 3,141592653589, . . .
Certaines calculatrices récentes permettent cependant de manipuler les nombres rationnels non
22 √
, 2 ou π.
décimaux ou irrationnels en utilisant leur écriture non décimale, tels que
7
Exercices :
√
— démonstration de l’irrationnalité de 2Å(secret des Pythagoriciens) ;
ã
√
816 665 857
4 17 24 577
,
,
,
≈ 1,4142157,
,
.
— approximation de 2 par une fraction
3 12 17 408
577 470 832
0.2 Quelques notations mathématiques indispensables
1. x ∈ R signifie « x appartient à l’ensemble R » (x est un nombre réel).
2. L’intersection de deux ensembles A et B est l’ensemble des éléments qui appartiennent
à la fois à A et à B, noté A ∩ B
Exemple : ] − ∞ ; 2] ∩ ] − 2 ; +∞[ = ] − 2 ; 2]
3. La réunion de deux ensembles A et B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A
ou à B (ou les deux à la fois), noté A ∪ B
Exemple : [−3 ; 5] ∪ ] − 1 ; 7[ = [−3 ; 7[
0.3 Notion de raisonnement mathématique
0.3.1 L’implication
« Si il pleut, alors le sol est mouillé » : si la proposition P , « il pleut », est vraie, alors la
proposition Q, « le sol est mouillé », est vraie ; c’est une implication et on note : (P ) ⇒ (Q)
Remarque : la proposition Q peut être vraie même si la proposition P est fausse (le sol peut
être mouillé pour une autre raison), mais si la proposition P est vraie, alors la proposition Q
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prog 2009
est nécessairement vraie.
Exemples :
si x = −3, alors x2 = 9 :
(x = −3) ⇒ (x2 = 9)
mais la réciproque n’est pas vraie, car on obtient aussi x2 = 9 lorsque x = 3 !
donc :
(x2 = 9) ⇒ (x = 3 ou x = −3)
si ABC est rectangle en B, alors AC 2 = AB 2 + BC 2 :
(ABC rectangle en B) ⇒ (AC 2 = AB 2 + BC 2 )
et la réciproque est ici vérifiée, car :
si AC 2 = AB 2 + BC 2 , alors ABC est rectangle en B :
(AC 2 = AB 2 + BC 2 ) ⇒ (ABC rectangle en B)
Pour démontrer une implication on peut utiliser plusieurs implications successives.
0.3.2 L’équivalence
Il y a équivalence entre deux propositions P et Q si (P ) ⇒ (Q) et (Q) ⇒ (P )
On note : (P ) ⇔ (Q).
Exemple : Les deux propositions suivantes sont équivalentes :
P : « un triangle est rectangle »
Q : « un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l’un de ses côtés »
en effet on a vu (en classe de quatrième) que : (P ) ⇒ (Q) et (Q) ⇒ (P ),
donc on a bien l’équivalence : (P ) ⇔ (Q).
Pour exprimer une équivalence entre deux propositions, c’est-à-dire le théorème direct et sa
réciproque, on utilise l’expression si et seulement si.
Exemple : « Un triangle est rectangle si et seulement si il est inscrit dans un cercle de diamètre
l’un de ses côtés. »
0.3.3 Les quantificateurs
Quantificateur universel : ∀ se lit « quel(le)(s) que soi(en)t »
Exemple : Si d est la médiatrice de [AB], la proposition « Tout point M de d est équidistant
des extrémités A et B » s’écrit :
∀M ∈ d, M A = M B
Quantificateur existentiel : ∃ se lit « il existe (au moins) un(e) »
Exemple : La proposition « Il existe (au moins) un réel x dont le carré est égal à 9 » s’écrit :
∃x ∈ R, tel que : x2 = 9
(en effet la proposition est vraie puisque x = 3 ou x = −3 conviennent).
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