intervalle de confiance

Contrôle de PROBA-STAT 2H : R. ABABOU : 25 Janvier 2002
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Hydraulique 2ème Année 2001/2002
CORRIGE DE LA QUESTION I :
Contrôle de Proba-Stat (Probabilités, Statistiques, et Calcul Stochastique)
Examen 25 Janvier 2002 & rattrapage 28 Février 2002 (Enseignant: R.ABABOU)
I QUESTION
DE COURS
"BASIQUE"
SUR LES INTERVALLES DE CONFIANCE
1. En utilisant une table de la loi normale centrée réduite1, exprimer pour une variable aléatoire "Z"
de loi gaussienne N(mZ ,σZ 2) les intervalles de confiance à 80% et à 98% centrés sur mZ (qui est à la
fois la moyenne, médiane, et valeur la plus probable de "Z").
Table sommaire : Fonction de répartition F(u) d'une variable gaussienne centrée réduite ( N(0,1) ) :
F(0)=
F(0.25)= F(0.52)= F(0.84)= F(1.28)= F(1.64)= F(2.32)= F(2.57)=
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
0.95
0.99
0.995
2. Dans le cas d'une régression linéaire Y=aX+b+ε entre deux variables gaussiennes (X,Y),
déterminer les intervalles de confiance à 80% et 98% de Y autour de la droite de régression
Y=aX+b, connaissant les écarts-types : σX ≈ 1, σY ≈ 2, et le coefficient de corrélation : ρ ≈ -0.5 .
REPONSE
1. INTERVALLE DE CONFIANCE
L'objectif est de caractériser une région (intervalle) t.q. la V.A. ait une probabilité "P"
d'appartenir à cette région (intervalle). Dans la plupart des applications, il s'agit de
déterminer un intervalle de confiance autour de la moyenne : c'est ce qu'on demande ici. La
procédure est illustrée graphiquement pour l'intervalle I80% (de probabilité P=80%) 2 :
1
2
On peut consulter une table de la loi normale, ou bien utiliser le tableau sommaire ci-inclus.
On a utilisé la fonction erreur erf(x) de MAT LAB pour tracer la FdR de la loi normale: F(x) = 0.5*(1+erf(x/√2)).
Contrôle de PROBA-STAT 2H : R. ABABOU : 25 Janvier 2002
2
Analytiquement, la procédure à suivre peut être résumée comme suit.
Utilisation de la table donnant la FdR normale FU(u) pour U gaussienne centrée réduite:
q
La table donne : FU(u) = Proba(U ≤ u) pour une v.a. U de loi normale N(0,1)
q
Par ailleurs X = mX + σ X u pour une v.a. X gaussienne de moments (mX , σ X2).
Détermination de l'intervalle à 80% de probabilité (I80%):
Proba(U ≤ +1.28) = 0.90 d'après la table
Proba(U ≥ -1.28) = 0.10 par symétrie de la loi
Proba(-1.28 ≤ U ≤ +1.28) = 0.80
è
Or on a :
I80% = [-1.28,+1.28] pour la v.a. U centrée réduite (0,1).
X = mX + σX u.
On obtient donc, pour la v.a. gaussienne X de moments (mX,σX2) :
è
I80% = [mX -1.28 σ X , mX +1.28 σ X ]
De même, pour l'intervalle à 98% de probabilité (I98%):
è
I98% = [mX -2.32 σ X , mX +2.32 σ X ]
2. BANDE DE CONFIANCE
Dans le cas d'une régression linéaire Y=aX+b+ε, la question précédente revient à estimer
une bande de confiance autour de la droite de régression [cf. schéma ci-dessous].
L'écart-type (σ ε ) du résidu (ε) donne la largeur de la bande de confiance dans la direction
des ordonnées (Y). En notant I (YX) l'intervalle de confiance pour la regression de Y par
rapport à X, on obtient par exemple, à 80%:
è
I80% (Y
 X) = [aX+b ± 1.28 σ ε ]
(etc…)
Or :
σε 2 = σ Y2 (1 - ρ 2) ⇒ σε 2 = (2)2 (1 - (-0.5)2) = 4×3/4 = 3 ⇒ σ ε = √ 3.
D'où:
I80% (Y
 X) = [aX+b ± 1.28×
× √ 3] ≈ [aX+b ± 2.22]
De même: I98% (Y
 X) = [aX+b ± 2.32×
× √ 3] ≈ [aX+b ± 4.02]
Schéma : bande de confiance d'une régression linéaire.