CHAPITRE 2 FONCTIONS REELLES D`UNE VARIABLE REELLE

K.REDJDAL
CHAPITRE 2
FONCTIONS REELLES D’UNE
VARIABLE REELLE
1- GENERALITES SUR LES FONCTIONS NUMERIQUES D’UNE
VARIABLE REELE
Une fonction numérique est une correspondance entre deux ensembles de valeurs numériques
E et F.
E est appelé ensemble de départ dont les éléments sont des antécédents et F est appelé
ensemble d’arrivée dont les éléments sont des images.
Lorsque E et F sont des ensembles de nombres réels, on parle de fonction numérique à
variable réelle. On notera généralement x l’antécédent et y l’image ; f la fonction.
x  y  f (x)
Le domaine de définition d’une fonction est l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x)
est calculable dans R.
A titre de rappel, dans R, les seules opérations non autorisées sont la division par zéro et la
racine d’ordre pair d’un nombre négatif ainsi que le logarithme d’un nombre négatif.
Exemple 1.1
Les fonctions polynomiales ont pour domaine de définition R.
x
x2
x-2 doit être différent de zéro donc x différent de 2. Le domaine de f est alors R-{2} soit
soit : ]-∞ ; 2[ ]2 ; +∞[
Exemple 1.2
f ( x) 
x2
x  2x  3
Le dénominateur, trinôme du second degré, doit être non nul. Le domaine de f est alors R- {
-3 ; 1} ce qui s’écrit sous forme d’intervalle: ]-∞; -3[]-3;1[]1; +∞[
Exemple 1.3
Exemple 1.4
f ( x) 
f ( x) 
2
x2  x  6
x 2  16
La fonction f est définie lorsque x2+x-6 ≥0 soit x  ]-∞ ; -3]  [2 ; +∞[
même temps x2-16≠0 soit x≠ -4 et x ≠ 4
Les deux conditions sont réunies à la fois pour
x  ]-∞; -4[]-4 ; -3] [2 ; 4[ ]4 ; +∞[
et lorsque en
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2- LIMITES
2-1 Définitions
Limite en un point x0 :
Soit x0 un nombre réel et soit f une fonction définie dans un domaine D contenant
x0
( sauf peut être en x0 lui même ( voir remarque). On dit que f admet le nombre L
comme limite au point x0 si :
  > 0,   >0 (dépendant de  ) tel que pour tout x  x0 vérifiant x - x0 <  ont ait 
f(x) – L  < .
On note :
En termes plus simples: f(x) tend vers L lorsque x tend vers x0 signifie qu’au fur et à
mesure que x s’approche de x0 , f(x) s’approche de L.


Unicité de la limite : Lorsque la limite de f en x0 existe , elle est unique.
Limite à gauche en x0 : Soit x0 un nombre réel et soit f une fonction définie au
moins à gauche de x0 . On dit que f admet le nombre Lg comme limite à gauche de
x0
si :
On note :

Limite à droite en x0 : Soit x0 un nombre réel et soit f une fonction définie au
moins à droite de x0 . On dit que f admet le nombre Ld comme limite à gauche de x0
si :
On note
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La fonction f admet une limite en x0 si les deux limites, à gauche et à droite , existent et
sont égales.
Remarque : Lorsque la fonction f(x) est définie en x0 , la limite de f(x) lorsque x tend vers
x0 est égale à la valeur f(x0) de cette fonction en ce point.

Limite infinie en x0 :
c’est à dire, pour un réel A étant arbitrairement choisi aussi grand que l’on veut, alors toutes
les valeurs f(x) de la fonction dépassent ce réel, dès que x est assez proche de x0 .
Exemple 2.1:
La fonction f(x) =
1
tend vers + lorsque x tend vers 0
x2
Si x-0<  alors x2 < 2 ce qui implique
Il suffit donc de prendre
Exemple 2.2:
1
> A soit  <
2
La fonction f(x) =
1
1  x2
1
1
>
x2
2
1
c’est à dire f(x) >
1
2
A
tend vers -  lorsque x tend vers 1+
On a :  1-x2  =  (1-x ) ( 1+x) 
Quand x tend vers 1+ , x est voisin de 1 tout en étant supérieur à 1; on peut donc écrire par
exemple 1< x 2 soit 2<1+x 3.
Comme  1-x  =  x-1  <  on a :  (1-x ) ( 1+x)  < 3 .
1
1
1
1
1


 f(x)=
>
soit f(x) < x 1x 1
3
3
x2  1 ( x  1)( x  1)
Il suffit alors de prendre A = -
1
1
ou encore  = pour réaliser f(x) < - A dès que
3
3A
x-1 <  quel que soit A > 0.
Limite en +  et - :
On peut définir de la même manière que précédemment :
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Dans les deux limites précédentes, il s’agit d’exprimer éventuellement B en fonction de  .
Dans les quatre limites précédentes, il s’agit d’exprimer éventuellement B en fonction de
A.
Exemple 2.3 :
La fonction f(x) = x2 +1 tend vers + lorsque x tend vers +
Il s’agit de choisir un nombre réel positif A aussi grand que l’on veut et ensuite trouver un
nombre B positif tel que dès que x>A alors f(x)>B.
La relation x > A implique que x2 > A2 ou encore x2 +1 > A2 + 1. Il suffit alors de prendre
B = A2 +1.
Remarque : En pratique, on dispose évidemment d’un certain nombre de théorèmes qui
permettent de calculer directement les limites sans faire appel à chaque fois à ces
définitions.
2-2- Opérations sur les limites
Cas de formes non indéterminées
Cas 1 : Les limites de f et g sont des constantes que l’on note respectivement
par Lf et Lg.

 f tend vers  Lf quel que soit la constante réelle .


f + g tend vers Lf + Lg.
f g tend vers Lf Lg.

f/g tend vers Lf / Lg sauf si Lg = 0 auquel cas
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
Cas 2 : La limite de f est une constante Lf et la limite de g infinie.


 f tend vers (Lf ) pour toute constante réelle 
f + g tend vers  ( + si g tend vers + et -  si g tend vers - )
f g tend vers  (+  ou -  selon la règle des signes) sauf si Lf =0 auquel cas fg se

présente sous une forme indéterminée 0 x 
f/g tend vers 0 (0+ ou 0- selon la règle des signes)




Cas 3 : La limite de f est infinie et la limite de g une constante Lg
 f tend vers  ( +  ou -  selon la règle des signes)
f + g tend vers  ( + si f tend vers + et -  si f tend vers - )
f g tend vers  (+  ou -  selon la règle des signes) sauf si Lg =0 auquel cas fg se
présente sous une forme indéterminée  x 0
f/g tend vers  (+  ou -  selon la règle des signes)
Cas 4 : Les limites de f et g sont infinies

 f tend vers  ( +  ou -  selon la règle des signes)


f g tend vers  (+  ou -  selon la règle des signes)
f/g est une forme indéterminée vers /
Formes indéterminées
Pratiquement, le calcul de limites qui nécessite un développement, concerne les formes
indéterminées 0/0
/ 0 x  +  - 
Nous présentons ici quelques théorèmes fondamentaux qui permettent de lever ces
formes indéterminées.
Théorème 1 : Limite d’un polynôme lorsque x tend vers l’infini
La limite d’un polynôme lorsque x tend vers l’infini est égale
à la limite de son monôme du plus haut degré.
Exemple 2.4 :
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 Le polynôme 4x3 + 2x2 –5 a la même limite en l’infini que 4x3 c’est à dire +  si
x tend vers +  et -  si x tend vers -  .
 Le polynôme 2x4 +3x2 +x –1 admet la même limite que le monôme 2x4 en l’infini
c’est à dire + aussi bien lorsque x tend vers +  ou -.
 Le polynôme - 3 x5 + x4 – 3x admet la même limite que le monôme –3x5 en l’infini
c’est à dire +  lorsque x tend vers - et - lorsque x tend vers + .
Théorème 2 : Limite d’un rapport de 2 polynômes lorsque x tend vers l’infini
P( x )
La limite d’un rapport de deux polynômes
lorsque x tend vers l’infini est égale à
Q( x)
la limite du rapport des monômes du plus haut degré respectivement de P(x) et de Q(x)
Exemple 2.5 :
3
3 x2  4 x  5
3 x2
 L’expression
admet la même limite que
soit
lorsque x
2
2x 2  3 x  7
2x2
tend vers +  ou -  .
 L’expression
x3  5 x  2
x3
admet la même limite que
soit la même limite que
2x 2  x  6
2x 2
x
c’est à dire +  lorsque x tend vers +  et -  lorsque x tend vers - .
2
4 x3  x  1
4 x3
 L’expression
admet la même limite que
soit la même limite que
5
3
5
x x 2
x
4
c’est à dire 0+ lorsque x tend vers +  ou vers - 
2
x
 3 x5  5 x  10
 L’expression
admet la même limite que
soit +
x2  x3  x  4
 .
Forme indéterminée 0/0
( rapport de 2 polynômes)
P( x )
de deux polynômes se présente sous la forme indéterminée 0/0 ,
Q( x)
lorsque x tend vers une constante a, on peut lever cette indétermination en factorisant
P(x) et Q(x) par (x-a).
Si un rapport
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x2  5 x  6
Exemple 2.6 : Considérons l’expression R(x) =
x2  x  2
R(x) se présente sous la forme indéterminée 0/0 lorsque x tend vers 1.
On peut alors factoriser chacun des trinômes x2  5 x  6 et x2  x  2 par (x-1).
x2  5x  6 = ( x –1) ( x + 6) et x2  x  2 = (x-1) ( x+2)
x2  5 x  6 (x  1)(x  6) x  6
=

( x  1)(x  2) x  2
x2  x  2
R(x) admet alors la même limite que
Exemple 2.7 : Soit R(x) =
x 6
lorsque x tend vers soit 7/3
x 2
x3  5 x  2
2x4  6 x2  2x  12
R(x) se présente sous la forme indéterminée lorsque x tend vers 2.
La factorisation des 2 polynômes ( numérateur et dénominateur) par (x-2) donne (
identification ou division ) :
x3 – 5x + 2 = ( x-2) (x2 +2x-1)
2x4 –6x2 +2x – 12 = (x-2) (2x3+4x2+2x+6)
x 2  2x  1
R(x) admet alors , en simplifiant par (x-2) , la même limite que
2x 3  4 x 2  2x  6
7/42 = 1/6
Exemple 2.8 : Soit R(x) =
soit
x 3  3x  2
x 3  5x 2  7 x  3
R(x) se présente sous la forme indéterminée 0/0 lorsque x tend vers –1.
En factorisant les deux termes de R(x) par ( x+1) on obtient :
x3 +2x – 2 = ( x+ 1) ( x2 –x-2)
x3+5x2+7x+3 = (x+1) (x2 +4x+3)
R(x) admet alors la même limite en –1 que le rapport
x2  x  2
x2  4 x  3
Ce dernier rapport se présente lui même sous la forme indéterminée 0/0 . On factorise alors
les termes de ce nouveau rapport par (x+1). On obtient :
x2 –x-2 = (x+1) (x-2) et x2 +4x+3 = (x+1) (x+3)
Ainsi R(x) admet la même limite (après simplifications) que
Forme indéterminée 0/0
x 2
soit –3/2
x 3
( expressions irrationnelles)
Qu’appelle-t-on expression conjuguée ?
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Expressions
A+
B
A
Expressions conjuguées
A B
+ B
A - B
A +
B
A B
On notera que le produit d’une expression par sa conjuguée représente une identité
remarquable de la forme (X + Y)( X-Y) = X2 – Y2
Ainsi
(
A +
B)(
A B ) = A–B
Généralement lorsque une expression irrationnelle se présente sous la forme indéterminée 0/0
, on peut lever l’indétermination en utilisant l’expression conjuguée de l’expression
irrationnelle.
Exemple 2.9 :
L’expression I(x) =
x 3  2
x2  x  2
se présente sous la forme indéterminée 0/0
lorsque x tend vers 1.
Multiplions le numérateur et le dénominateur de I(x) par l’expression conjuguée de
x  3  2 c’est à dire par x  3  2 . On obtient , sachant que x2 +x-2 se factorise par (x1) :
x 3  2
I(x) =
x2  x  2
=
x 3  2
x 1
( x  1)( x  2)( x  3  2
Lim I(x) = lim
x1
x 3  2
( x  3 )2  22
=
( x  1)( x  2)( x  3  2
=
1
( x  2)( x  3  2
=
x 3 4
( x  1)( x  2)( x  3  2
1
( x  2)( x  3  2
= 1/12
x1
Exemple 2.10 :
L’expression J(x) =
x 6  3
2x  5  1
se présente sous la forme indéterminée
0/0 lorsque x tend vers 3.
Pour lever l’indétermination, on multiplie les deux termes de cette expression par le produit
de l’expression conjuguée du numérateur et de l’expression conjuguée du dénominateur qui
sont respectivement : x  6  3 et 2x  5  1
On obtient :
x 6  3
x 6  3
2x  5  1
2x  5  1
x 6 9
J(x) =
=
2x  5  1 x  6  3
2x  5  1
2x  5  1 x  6  3
K.REDJDAL
=
x 3
2x  6
2x  5  1
x 6  3
=
x 3
2( x  3)
2x  5  1
x 6  3
=
1
2
2x  5  1
x 6  3
Lim J(x) = 2/12 = 1/6
x3
Formes indéterminées - et 0x
Souvent on ramène l’écriture de ces formes aux formes précédentes soit 0/0 ou /
Exemple 2.11 : L’expression V(x) =
x  6  x se présente sous la forme +-
lorsque x tend vers +.
En multipliant et en divisant V(x) par l’expression conjuguée de ( x  6  x ) on obtient :
x 6  x
x  6  x2
V(x) = ( x  6  x )
=
x 6  x
x 6  x
Cette dernière expression se présente sous la forme / que l’on peut lever en remarquant
que le numérateur à la même limite que –x2 et le dénominateur la même limite que x .
V(x) admet donc la même limite que -x2 / x = -x c’est à dire -  lorsque x tend vers +

3- CONTINUITE
3-1- Définitions
Continuité en un point x0 :
Soit f une fonction numérique définie sur le domaine D et soit x0 un point de D. On dit que f
est continue au point x0 si et seulement si :
Lim f(x) = f(x0) lorsque x x0
c’est à dire que la fonction f est définie en x0 et que la limite de la fonction lorsque x tend vers
x0 est égale à la valeur de la fonction en x0
Continuité à gauche en un point x0
Soit f une fonction numérique définie sur le domaine D et soit x0 un point de D. On dit que f
est continue à gauche au point x0 si et seulement si :
Continuité à droite en un point x0
Soit f une fonction numérique définie sur le domaine D et soit x0 un point de D. On dit que f
est continue à droite au point x0 si et seulement si :
K.REDJDAL
Théorème :
Soit f une fonction numérique définie sur le domaine D et soit x0 un point
de D. On dit que f est continue au point x0 si et seulement si elle est continue à gauche et
à droite de x0 .
Exemple 3.1 :
 La fonction f(x) = x3 est continue en tout point de R
 La fonction définie par
f(x) =
x2
si x  0 et 1 si x=0
x
n’est pas continue en 0. En effet :
Les deux limites ne sont pas égales. La fonction f(x) n’est pas continue en 0. On peut par
contre constater que f(x) est continue à droite puisque la limite lorsque x tend vers 0 par
valeurs positives est égale à la valeur de la fonction en 0 soit 1.
3-2- Propriétés des fonctions continues.
Si f et g sont deux fonctions continues en x0 alors :

f + g est continue en x0

f g est continue en x0

f/g est continue en x0 si g(x0 )  0.
f est continue en x0 quel que soit   R


Si f est fonction continue en x0 et si g est une fonction continue au point f(x0 ) alors la
fonction g o f est continue en x0 .

Si f est une fonction définie sur D. la fonction f est continue sur un intervalle I de D si et
seulement elle continue en tout point de I.
Si f et g sont deux fonctions sur un intervalle I alors les fonctions f+g , fg , f sont
continues sur I. Il en est de même de f/g si g(x)  0 x  I.

Propriétés des fonctions continues sur un intrvalle.
Existence des bornes
K.REDJDAL
Toute fonction f continue sur un intervalle [a ; b] possède une borne supérieure BS et une
borne inférieure BI ( voir figure 1).
BS est dite borne supérieure sur [a , b]   x  [a ; b] , f(x)  BS
BI est dite borne inférieure sur [a , b]   x [a ; b] , f(x)  BI
Existence d’une solution de f(x) = 0
Toute fonction continue sur un intervalle [a , b] et prenant des valeurs de signes contraires
aux bornes de cet intervalle, s’annule au moins une fois sur ce segment.
Cela signifie que la courbe représentative de f coupe l’axe des abscisses au moins une fois
entre a et b ( voir figure 2)
Théorème des valeurs intermédiaires
Toute fonction continue et strictement monotone (strictement croissante ou strictement
décroissante) sur un intervalle [a , b] et prenant des valeurs de signes contraires aux bornes
de cet intervalle, s’annule une et une seule fois sur cet intervalle.
Cela signifie que la courbe représentative de f coupe l’axe des abscisses une et une seule fois
entre a et b ( voir figure 3)
( L’unicité est impliquée par la stricte monotonie)
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Remarque : Le théorème des valeurs intermédiaires permet d’encadrer une solution d’une
équation lorsque l’on ne peut trouver algébriquement la valeur exacte.
Exemple 3.2 :
+[:
La fonction f(x) = x3 – 3x2 + 1 admet pour tableau de variations sur ]- ;
Sa représentation graphique est donnée par la figure la figure 4 ci dessous
Cette figure suggère 3 solutions pour f(x) =0 que l’on note x1 , x2 et x3. Pour encadrer ces
valeurs, calculons les valeurs f(x) pour quelques valeurs de x comme l’indique le tableau ci
dessous :
x
f(x)
-3
-53
-2
-19
-1
-3
0
1
1
-1
2
-3
3
1
4
17
De ces valeurs on déduit que l’équation f(x)=0 admet
5
51
6
109
7
8
K.REDJDAL

Une solution dans ]-1 , 0[ puisque sur cet intervalle la fonction est strictement croissante
et f(-1) = -3 est du signe contraire que f(0)=1.
x1  ]-1 , 0[
 Une solution dans ]0 , 1[ puisque la fonction est strictement décroissante sur cet
intervalle et f(0)=1 est du signe contraire que f(1) = -1. x2  ]0 , 1[
 Une solution dans l’intervalle ]2 , 3[ puisque la fonction est strictement croissante sur
cet intervalle et f(2)=-3 est du signe contraire que f(3)=1 .
x3  ]2 , 3[
Si l’on veut une plus grande précision pour une de ces solutions par exemple pour x2 , il suffit
de calculer f(x) pour quelques valeurs de l’intervalle ]0 , 1[.
Les résultats sont donnés par le tableau suivant :
x
f(x)
0
1
0.1 0.2 0.3 0.4
0.97 0.89 0.76 0.58
0.5
0.36
0.6
0.13
0.7
-0.13
La valeur x2 est alors comprise dans l’intervalle ]0.6 , 0.7[
milieu de cet intervalle soit 0.65.
0.8
-0.41
0.9
-0.7
1
-1
. On peut alors prendre le
Si l’on veut une meilleure précision, on calcule f(0.65)
(0.65) =0.007
donc
x2 est alors dans ]0.65 , 0.7[ .
On peut ainsi par étapes successives déterminer la valeur de x2 avec la précision voulue.
4- DERIVABILITE
4-1- Définitions
Dérivabilité en un point x0 :
Soit f une fonction définie sur un intervalle ]a , b[ et soit x0 un point de cet intervalle. On dit
que f est dérivable en x0 si et seulement si :
Ce nombre, lorsqu’il existe, est appelé nombre dérivé de la fonction f en x0 et noté f ’(x0 )
Exemple 4.1:
Déterminer le nombre dérivé de la f(x) = x2 en x0 = 3
= Lim ( x+3 ) = 6 .
x3
Le nombre dérivé de f(x) = x2 en x0 = 3 est égal à 6.
K.REDJDAL
Exemple 4.2 :
Déterminons de nombre dérivé de f(x) = x3 en x0 = a où a est un nombre
réel quelconque.
Les limites suivantes sont calculées lorsque x tend vers a.
f(x)  f(x 0 )
f( x)  f (a)
x3  a3
Lim
= Lim
= Lim
x  x0
x a
x a
(x  a)(x 2  ax  a 2 )
= Lim
= Lim ( x 2  ax  a 2 ) = 3 a2 .
x a
Le nombre dérivé de f(x) = x3 en x = a est 3 a2
0
Dérivabilité à droite en un point x0
La fonction f est dite dérivable à droite de x0 si et seulement si
On notera alors ce nombre dérivé f 'd ( x0)
Dérivabilité à gauche en un point x0
La fonction f est dite dérivable à gauche de x0 si et seulement si
On notera alors ce nombre dérivé f 'g ( x0)
Théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle ]a , b[ et soit x0 un point de cet
intervalle. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
a) f est dérivable en x0
b) f est dérivable à droite de x0
c) f est dérivable à gauche de x0
d) f 'g ( x0) = f 'd ( x0)
Dérivabilité sur un ensemble :
On dit qu’une fonction f est dérivable sur un ensemble A de R si f est dérivable en tout point
de A.
Fonction dérivé :
La fonction qui à chaque nombre réel associe le nombre dérivé correspondant est appelée
fonction dérivée et on la notera f ‘(x).
K.REDJDAL
4-2- Propriétés des fonctions dérivables
Soient f et g deux fonctions dérivables en un point d’abscisse x0 ou sur un intervalle I . Alors

f + g est dérivable en x0

f g est dérivable en x0

f

est dérivable en x0
f/g est dérivable en x0
(sur un intervalle I )
(sur un intervalle I )
(sur un intervalle I )   R
(sur un intervalle I )
si g(x0)0 (g(x)0 x  I )

f n est dérivable en x0

Si f est dérivable en x0 et si g est dérivable en f(x0) alors la fonction composée
(sur un intervalle I ) ( n positif fixé)
gof est dérivable en x0 et on a :
( g o f ) ’ ( x0 ) = g ’ [f(x0) ] f ’ ( x0 )
(valable également sur un intervalle)
Dérivabilité et continuité
Théorème : Toute fonction dérivable en un point ( ou sur un intervalle) est continue en ce
point ( sur cet intervalle).
4-3- Dérivées usuelles
Le tableau suivant résume les formules des dérivées usuelles :
Fonctions
Constante
x
x2
x3
xm
1/x
( x 0)
x
Fonctions composées
U(x) + V(x)
k U(x) ( k constante)
U(x)V(x)
U(x)m
U(x) /V(x)
1/ V(x)
Dérivées
0
1
2x
m x m-1
3x2
(pour tout m réel)
- 1/x2
( x 0)
1/ 2 x
( x > 0)
Dérivées
U’ (x) + V’ (x)
K U’ (x)
U’(x) V(x) + U(x) V’(x)
m U’(x) U(x)m-1
[U’(x) V(x) – U(x) V’(x)] / V2(x)
- V'/ V2(x)
Exemple .4.1 : Calcul des dérivées des fonctions suivantes
f(x) = 3x3 + 4x2-5
g(x) = ( 2x2 + 3 )3
K.REDJDAL
2x 2  3x
k(x) = (x2 +3)3 (2x-1)2
x 1
 La fonction f est une fonction polynomiale, somme de monômes. La dérivée de f est
la somme des dérivées de chacun de ses termes soit :
h(x) 
f’(x) = 9x2 + 8x
 La fonction g(x) est de la forme U(x)m avec u(x) = 2x2 + 3 et m=3 . Sa dérivée est
alors g’ (x) = 3 ( 4x) ( 2x2 + 3 )2 = 12x ( 2x2 + 3 )2
 La fonction h(x) se présente sous la forme U/V avec U (x) = 2x2+ 3x et V(x) = x-1 .
Sa dérivée est alors :
(4x  3)(x  1)  (2x 2  3x)1 2x 2  4x  3
h' ( x) 

( x  1) 2
(x  1) 2

La fonction k(x) se présente sous la forme U(x) V(x) avec U(x) = (x2 +3)3 et V(x) =
( 2x-1)2 donc de dérivée U ’ V + U V ’ où U ‘ et V ’ se présentent comme
dérivées d’une puissance.
U ‘ (x) = 3(2x) (x2 +3)2
Soit
= 6x (x2 +3)2
k ‘ (x) = 6x (x2 +3)2 ( 2x-1)2
et V ‘ (x) = 2(2)(2x-1) = 4(2x-1)
+ (x2 +3)3 4 ( 2x-1)
= 2 (x2+3)2( 2x-1) [ 3x(2x-1) + 2( x2+3)]
= 2 (x2 +3)2 (2x-1) (8x2-3x+6)
4-4- Dérivée et sens de variation
Théorème : Une fonction est croissante (respectivement décroissante) sur un intervalle I si
seulement si sa dérivée est positive (respectivement négative) sur cet intervalle.
Les valeurs de x pour lesquelles la dérivée s’annule et change de signe représentent les
abscisses des extrémums.
 f ’(x0)=0
f ’(x0 ) > 0 pour x > x0
et
f ’(x0) < 0 pour x < x0
et
f ’(x0) > 0 pour x < x0
x0 représente l’abscisse d’un maximum.
 f ’(x0)=0
f ’(x0 ) < 0 pour x > x0
x0 représente l’abscisse d’un minimum.
K.REDJDAL
Exemple 4.2 :

Le fonction f(x) = x2 - 2x + 5 admet pour dérivée 2x-2 qui s’annule pour x = 1 ,
positive pour x>1 et négative pour x < 1 . Le point m(1 , 4) représente un minimum.

La fonction f(x) = - 2x2 - 4x + 1 admet pour dérivée f ‘(x) = - 4x - 4.
Cette dérivée s’annule pour x = -1 , positive pour x < -1 et négative pour
x >-1. Le point M(-1 , 3) représente un maximum .
K.REDJDAL

La fonction f(x) = x3+3x2–5 admet pour fonction dérivée f ‘ (x)= 3x2 +6x qui
s’annulent en x = 0 et en x = - 2.
Cette dérivée est positive pour x ]- , -2[]0 , +[ et négative pour x  ]-2 , 0[
Le point M(-2, -1) représente un maximum et le point m(0, -5) un minimum.
K.REDJDAL

La fonction f(x) = x3 admet pour dérivée f ‘ (x) = 3x2 qui s’annule pour x=0 mais
qui est strictement positive sur pour tout x différent de 0.
Cette fonction n’admet pas d’extrémums. Elle est strictement croissante sur son
domaine de définition.
5
2x  3
admet pour dérivée f ‘ (x) =
qui est négative
2
x1
( x  1)
sur le domaine de définition D = R –{1}.
Cette fonction n’admet pas d’extrémums sur D . Elle est décroissante sur ce domaine.

La fonction f (x) =
4-5- Interprétation graphique de la dérivée
Soit f une fonction dérivable en x0 . La courbe représentative de f admet alors au point ( x0 ,
f(x0) ) une tangente de coefficient directeur le nombre dérivé de f en x0 c’est à dire f ‘ (x0).
L’équation de cette droite tangente est donnée par :
y = f ‘ (x0) (x-x0) + f(x0)
Remarque : Le nombre dérivé de f en x0 représente la tangente de l’angle  formé par la
droite tangente à la courbe ( C ) représentative de f et de l’axe des abscisses.
Ainsi lorsque le nombre dérivé de f en x0 est nul , la tangente est parallèle à l’axe des
abscisses. (  = 0)
Lorsque le nombre dérivé de f est infini en x0 , la tangente est perpendiculaire à l’axe des
abscisses. (  = 90°)
Exemple 4.3:
Considérons la fonction f(x) = x2 – x + 3 de courbe (C ) .
K.REDJDAL
La tangente au point d’abscisse 1 a pour équation : y = f ‘ (1) (x-1) + f(1)
On a : f ’(x) = 2x –1
f ‘ (1) = 2
et f(1) = 3
L’équation de la tangente est alors y = 2(x-1) + 3 = 2x + 1.
Exemple 4.4 : Au point A(1 , 3) qui représente un minimum, l’équation de la tangente
s’écrit : y = f ‘ (1) (x-1) + f (1) soit y = 3 puisque f ‘ (1) =0 et f(1) =3
Cette tangente est parallèle à l’axe des abscisses.
Exemple 4.5 : Considérons la fonction f(x) = x .
Cette fonction définie sur [0 , + [ admet pour dérivée f ‘ (x) = 1/ 2 x qui elle, est définie
et positive dur ]0 , + [ .
f(x)  f(0)
= Lim
x 0
x0+
x0+
Lim
x
= lim
x
x0+
1
x
= +
La tangente au point ( 0 ,0) à la courbe représentative de f(x) = x est perpendiculaire à
l’axe des abscisses. ( on parle de demi-tangente à droite puisque la fonction est dérivable à
droite de 0)
Demi-tangentes
Si f est dérivable à droite de x0 , au point A ( x0 , f(x0 ) ) la courbe
admet une demi tangente à droite d’équation
y = fd ‘ (x0 ) ( x - x0 ) + f(x0)
Si f est dérivable à gauche de x0 , au point A ( x0 , f(x0 ) ) la courbe
admet une demi tangente à gauche d’équation
y = fg ‘ (x0 ) ( x - x0 ) + f(x0)
représentative de f
représentative de f
K.REDJDAL
Point anguleux
Lorsque la fonction f est dérivable à droite et à gauche, sans être dérivable en x0 , la courbe
représentative de f admet deux demi tangentes au point A (x0 , f(x0) ).
Exemple 4.6 : Considérons la fonction f(x) = x2 + x –2  (fonction valeur absolue) .
Etudions la dérivabilité de f(x) en x0 = 1.
La fonction f(x) s’écrit : f(x) = x2 + x –2
si x2 + x –2  0
f(x) = - x2 - x +2
si x2 + x –2  0
c’est à dire
f(x) = x2 + x –2
f(x) = - x2 - x +2
La dérivée de f(x) s’écrit alors :
f ‘ (x) = 2x + 1
si x  ] - , -2]  [ 1 , + [
si si x  [ -2 , 1 ]
si
x  ] - , -2]  [ 1 , + [
K.REDJDAL
f ‘ (x) = - 2x - 1
si
x  [ -2 , 1 ]
Au point (1 , 0) la fonction est dérivable à droite et son nombre dérivé à droite f 'd (1) = 3
et elle est dérivable à gauche et son nombre dérivé à gauche vaut f 'g (1) = -3.
La courbe représentative de f admet donc deux demi tangentes , une demi tangente à droite
d’équation : y = f 'd (1) (x-1) + f(1) = 3(x-1) + 0 soit y =3x-3 et une demi tangente à gauche
d’équation : y = f 'g (1) (x-1) + f(1) =
-3(x-1) soit
y = -3x +3 .
Remarque : Puisque au point (1 , 0) le nombre dérivé à droite est différent du nombre dérivé
à gauche, on dira que la fonction n’est pas dérivable en x0 =1.
Par contre, la dérivabilité à droite et à gauche implique la continuité à droite et à gauche, la
fonction f(x) est continue en x0 =1.
4-6- Dérivées successives
 On appelle dérivée seconde de f que l’on notera f (2) (x), la fonction dérivée de f ’
(x)
 On appelle dérivée troisième de f que l’on notera f (3) (x), la fonction dérivée de f (2)
(x),
 On peut ainsi définir les dérivées successives. Ainsi la dérivée nième de f est la
dérivée de la fonction f (n-1) (x),
Exemple 4.7 :
f(x) = 2 x5 + 3 x3
Les dérivées successives sont :
f ’ (x) = 10 x4 + 9 x2
f (3) (x) = 120 x2 + 18
f (5) (x) = 240
f (2) (x) = 40 x3 + 18 x
f (4) (x) = 240 x
f (n) (x) = 0 pour tout n > 5
Point d’inflexion
Lorsque la dérivée seconde s’annule et change de signe en x0 , on dira que le point I ( x0 ,
f(x0) est un point d’inflexion de la courbe représentative de la fonction f(x).
K.REDJDAL
Le point I(1 ,2) est un point d’inflexion. La dérivée seconde s’annule pour x=1 , elle est
positive pour x>1 et négative pour x<1.
Le point I(-1,2) est un point d’inflexion
Exemple 4.8 :
La fonction f(x) = x3 admet pour dérivées :
f ’ (x) = 3 x2 et
f (2)(x) = 6x
La dérivée seconde s’annule pour x=0 et elle positive pour x > 0 et négative pour x< 0. Le
point I(0,0) est donc un point d’inflexion de la courbe représentative de f(x) = x3
K.REDJDAL
4-7-Compléments :
Interprétation de la dérivée du point de vue numérique.
En posant h = x-x0 , la formule du nombre dérivé de f en x0 , s’écrit :
f ‘ (x0) = lim
f ( x 0  h)  f ( x 0 )
h
h0
Cette écriture est équivalente à la suivante :
 h tel que x0 + h appartienne à I ( intervalle de définition de f)
f(x0 + h) = f(x0) + f ’(x0 ) h + h (h) avec (h)  0 lorsque h0
La fonction f(x0) + f ’(x0 ) ( x - x0) permet d’ obtenir des valeurs approchées de f au
voisinage de x0 .
f(x0)  f(x0) + f ’(x0 ) ( x - x0) pour x proche de x0
f(x0 + h)  f(x0) + f ’(x0 ) h pour h voisin de 0.
.
Exemple 4.9 : Calculons une valeur approchée de 25.2
Considérons la fonction f(x) = x . En prenant x0 = 25 et h=0.2 ,
25.2 = f(x0 + h)  f(x0) + f ‘(x0 ) h =

25 +
1
2 25
x0 +
1
h
2 x0
0.2
0.2 = 5 +
= 5.02
10
( A titre de comparaison, le calcul avec le logiciel Excel donne comme résultat : 5.01996 )
K.REDJDAL
Interprétation de la dérivée du point de vue cinématique
Si la fonction t  f(t) représente la distance parcourue par un mobile en fonction du temps
t, le nombre dérivé de f en t0 mesure la vitesse instantanée de ce mobile à l’instant t0.
Lorsqu’un objet se déplace selon un mouvement rectiligne et que la position de l’objet par
rapport à un point fixe O est en tout t donnée par l’équation f(t) :
df
 la vitesse de l’objet est donnée par : v ( t ) 
dt
Au temps t , l’objet se rapproche de O lorsque les signes de f(t) et de v(t) sont
différents et il s’en éloigne lorsque les signes de f(t) et v(t) sont identiques et l’objet
est au repose si v(t) =0.
 L’accélération est donnée par  ( t ) 
dv d 2 f

dt
dt 2
Exemple 4.10 : Un objet se déplace sur une droite. Sa position f(t) ( en mètres) par rapport
pour 0  t  5
à un point fixe O à un instant t ( en secondes ) est égale à f ( t )  t 3  3t 2
a)
Les courbes représentant, en fonction de t , la position f(t) , la vitesse v(t) ( dérivée de
f) et l’accélération (t) ( dérivée de la vitesse) sont représentées ci-dessous
v(t )  3t 2  6t
 (t )  6t  6
f (t )  t 3  3t 2
(Position)
(Vitesse)
(Accélération)
b)
Lorsque t =1.5 secondes : la position est égale à f (t)= 3.375 m , la vitesse est
égale à v=2.25m/s et l’accélération est égale à 3 m/s2. L’objet s’éloigne de O et il
décélère.
c) L’objet se rapproche du point O sur ]2 , 3[ et il s’en éloigne sur ]0 , 2[]3 , 5[
d) Il décélère sur l’intervalle ]1 , 2[ et il accélère sur ]0 , 1[]2 , 5[
K.REDJDAL
Interprétation de la dérivée du point de vue économique
Si la fonction f(q) représente la coût total d’une production en fonction de la quantité produite
q , la dérivée f ‘ (q) représente ce que l’on appelle le coût marginal .
Exemple 4.11 : Le coût total de la production d’une entreprise en fonction de la quantité
produite q s’écrit : f(q) = q3 - 9q2 + 30 q + 25 ( q  0)
Le coût marginal de production est alors f ‘ (q)= 3q2 - 18q + 30 .
Les variations de ce coût marginal sont résumées dans le tableau suivant, sachant que f (2) (q)
= 6q-18
Les variations du coût total f(q) sont résumées dans le tableau suivant :
En supposant la production actuelle q0 = 1 et que l’on envisage pour la suite une
augmentation de deux pour cents de cette production, on peut déduire de la valeur actuelle du
coût marginal, celle ultérieure de coût total.
On sait en effet que : f (q0 + h)  f(q0) + f ‘ ( q0 ) h
Soit
f(1 + 0.02)  f(1) + f ‘ (1) 0.02
Comme f(1) = 47
et f ‘ (1) = 15
alors f(1.02)  47 +15(0.02) = 47.3
Application des dérivées au calcul de limites : Règle de l’HOPITAL
Règle : Si f et g sont deux fonctions dérivables telles f(a)=g(a)=0 alors :
f ( x)
f ' ( x)
La limite de
lorsque x a est égale à la limite de
lorsque xa
g( x )
g' ( x)
K.REDJDAL
Cette règle permet notamment de lever certaines formes indéterminées de la forme 0/0
ou ∞/∞ .
Exemple 4.12
x2  1
La limite de
lorsque x1 est une forme indéterminée 0/0
x 1
L’application de la règle de l’Hôpital donne
Remarque : On pouvait calculer autrement cette limite, en utilisant la forme conjuguée
Exemple 4.12
f ( x) 
x3  x2  x  1
x 3  3x  2
La limite de f(x) lorsque x1 est une forme indéterminée. L’application de la règle de
l’Hôpital donne :
En réitérant la règle de l’Hôpital , on obtient :
5- ASYMPTOTES
5-1- Les différents types d’asymptotes
Asymptote verticale
Si lim f(x) =  lorsque x  a alors la courbe représentative de f admet
une asymptote dite verticale d’équation x= a.
Exemple 5.1 :
K.REDJDAL
 La fonction polynomiale f(x) = x3 +3x2 –4x –5 a pour domaine de définition R. Sa
courbe n’admet donc pas d’asymptote verticale.
 La fonction f(x) =
2x  3
admet R comme domaine de définition (x2+1  0  x 
2
x 1
R ). Sa courbe n’admet donc pas d’asymptote verticale.
 La fonction f(x) =
x 3
admet pour domaine de définition
x 2
D =]- , 2[  ]2 , +[ .
-
+
Lim f(x) = -  lorsque x2 et
Lim f(x) = +  lorsque x 2
La courbe représentative de f admet la droite d’équation x=2 comme asymptote verticale.
 La fonction f(x) =
4x  3
est définie sur l’intervalle
x 2  2x  3
]-  , -1[  ]3 , + [ . On a
Lim f(x) =  lorsque x -1 et
Lim f(x) =  lorsque x 3
La courbe de f admet deux asymptotes verticales d’équations x=-1 et x=3.
Asymptote horizontale
Si lim f(x) = b lorsque x alors la courbe représentative de f admet une asymptote dite
horizontale d’équation y=b
Exemple 5.2 :
 La fonction polynomiale f(x) = 2x3 +5x –7 définie sur ]- , +  [ admet
comme limites - lorsque x  - et + lorsque x  + . Sa courbe représentative
ne possède donc pas d’asymptote horizontale.
 La fonction f(x) =
2x  3
définie sur R-{-1} admet 2 comme limite lorsque x 
x 1
 ( - ou + ). Sa courbe possède donc une asymptote horizontale d’équation y = 2.
Asymptote oblique
Si Lim f(x) =  lorsque x  , c’est à dire qu’il n’existe pas d’asymptote horizontale, on
étudie l’existence de l’asymptote oblique.
L’asymptote oblique, lorsqu’elle existe, est une droite de forme générale
y =  x +  où :
K.REDJDAL
Exemple 5.3 :
2x 2  x  2
Considérons la fonction f(x) =
définie sur R-{2}
x 2
( les limites suivantes sont calculées lorsque x - ou +)
f(x)
2x 2
2x 2  x  2
Lim
= Lim
= Lim
=2
x
x(x  2)
x2
3x  2
(2x 2  x  2)  2x(x  2)
] = Lim
=3
x 2
x 2
La courbe représentative de f admet donc une asymptote oblique d’équation y=2x+3 .
Lim [ f(x) - x ] = Lim [
Théorème : Si une fonction f(x) peut s’écrire sous la forme
f(x) =  x +  + E(x) où E(x) tend vers lorsque x tend vers l’infini, alors la droite
d’équation y =  x +  constitue une asymptote oblique à la courbe représentative de f.
2x 2  x  2
Exemple 5.4: Reprenons la fonction précédente f(x) =
. On peut vérifier que
x 2
4
4
l’on peut écrire f(x) = 2x+3 +
. Comme
tend vers 0 lorsque x tend vers l’infini,
x 2
x 2
on peut conclure que y=2x+3 est l’équation de l’asymptote oblique.
x2  x  3
. On peut vérifier par division ou
x1
3
identification que f(x) peut s’écrire f(x) = x +
.
x1
3
Comme
 0 lorsque  x   , on conclut que la droite d’équation y=x
x1
est une asymptote oblique à la courbe représentative de f .
Exemple 5.5 : Considérons la fonction f(x) =
Branches paraboliques et directions asymptotiques.
f(x)
Si Lim
=  lorsque x   , la courbe représentative de f n’admet pas
x
d’asymptote oblique mais une branche parabolique de direction asymptotique l’axe des
ordonnées.
f(x)
= 0 lorsque x   , la courbe représentative de f n’admet pas
x
d’asymptote oblique mais une branche parabolique de direction asymptotique l’axe des
abscisses.
Si Lim
K.REDJDAL
f(x)
=  et Lim [ f(x) - x ] = 
lorsque x  
x
la courbe représentative de f n’admet d’asymptote oblique mais une branche parabolique de
direction asymptotique la droite d’équation y = x .
Si Lim
Exemple 5.6: Considérons la fonction f(x) =
x3  x  2
x1
f(x)
x3
La fonction
admet, lorsque x   , la même limite que
= x soit +  lorsque x
x
x2
 +  et -  lorsque x  -  .
La courbe représentative de f n’admet donc pas d’asymptote oblique mais une branche
parabolique de direction l’axe des ordonnées.
Exemple 5.7 : Soit f(x) =
x  1 . f est définie sur [ 1 , +[
f(x)
x 1
x1
= Lim
= Lim
=0
x
x
x x1
x+
x+
x+
La courbe représentative de f n’admet donc pas d’asymptote oblique mais une branche
parabolique de direction l’axe des abscisses.
Lim
5-2- Position d’une courbe par rapport a son asymptote oblique.
La position d’une courbe (C ) représentative de la fonction f(x) par rapport à son asymptote
oblique ( D) d’équation y = x+ ( lorsqu’elle existe) est donnée par le signe de la
différence f(x) – ( x +  ), c’est à dire par le signe de E(x).



Les valeurs de x pour lesquelles E(x) =0 représentent les abscisses des points
d’intersection de ( C ) et (D)
Les valeurs de x pour lesquelles E(x) > 0 représentent le domaine où la courbe ( C )
est au dessus de l’asymptote ( D ).
Les valeurs de x pour lesquelles E(x) < 0 représentent le domaine où la courbe ( C )
est au dessous de l’asymptote ( D ).
Exemple 5.8 :
Etudions la position de la courbe ( C ) représentative de la fonction
2x 2  x  2
f(x) =
x 2
On a vu que cette courbe admettait comme asymptote oblique la droite d’équation y = 2 x +3
.
La différence E(x) = f(x) – ( 2x+3) =
4
x 2
E(x)  0 x  D c’est à dire que ( C) et (D) ne se coupe pas sur le domaine D
K.REDJDAL
E(x) > 0 pour x >2 c’est à dire que ( C ) est au dessus de (D ) sur ]2 , +[
E(x) < 0 pour x < 2 c’est à dire que ( C ) est au dessous de (D ) sur ]2 , +[
x 3  4 x 2  8x  4
Exemple 5.9 : On peut vérifier que la fonction f(x) =
( x  1) 2
admet la droite
d’équation y = x-2 comme asymptote oblique.
La différence E(x) est donnée par E(x) = f(x) – (x-2) =
E(x) = 0 pour x=2/3 ;
E(x) > 0 pour x > 2/3
3x  2
( x  1) 2
et E(x) < 0 pour x < 2/3
Ainsi la courbe (C ) coupe l’asymptote ( D ) au point d’abscisse 2/3.
(C ) est au dessus de ( D) sur ]2/3 , 1[  ]1 , +[
(C ) est au dessous de ( D) sur ]-  , 2/3[
6- ETUDE COMPLETE D’UNE FONCTION NUMERIQUE A UNE
VARIABLE REELLE
L’étude complète d’une fonction comporte :
 La détermination du domaine de définition
Ce domaine est un intervalle de R comprenant les valeurs de x pour lesquelles la fonction
f(x) est définie c’est à dire calculable. A retenir que dans l’ensemble des nombres réels, les
opérations suivantes ne sont pas possibles
 La division par zéro
 La racine d’ordre pair d’un nombre négatif
 Le logarithme d’un nombre négatif (les fonctions logarithmes feront l’objet
d’études séparées)
Ainsi dès que vous avez une fonction
 avec dénominateur, il faut déterminer les valeurs pour lesquelles ce dénominateur
ne s’annule pas.
 Avec radical d’ordre pair, il faut déterminer les valeurs de x pour lesquelles le
radicande est positif ou nul. ( le radicande est l’expression contenue dans le radical)
Exemple 6.1 :
La fonction f définie par f(x) = x3 +2x – 4 est définie sur R tout entier. Cette fonction ne
contient ni dénominateur, ni radical ( c’est la cas d’ailleurs de toutes les fonctions
polynomiales)
Exemple 6.2 :
K.REDJDAL
La fonction f(x) =
2x  3
est définie sur R-{-2;1} soit
2
x  x 2
2;1[]1;+[ car les valeurs –2 et 1 sont les racines du trinôme
]- ; –2[]x2 + x-2.
Exemple 6.3 :
La fonction f(x) =
3/2][-1 ; +[ .
2x 2  5 x  3 est définie pour 2x2+5x+30 soir sur l’intervalle ]- ; –
 La détermination des limites aux bornes de l’intervalle de définition
 La détermination de la dérivée et de son signe
Cette dérivée permet d’obtenir les variations de la fonction ainsi que
les extrémums.
 Le tableau de variation
Ce tableau comporte le domaine de définition, la dérivée et son signe, les extrémums, les
limites et les variations de la fonction. Il se présente sous la forme suivante.
x
Domaine de définition + racines de la dérivée
f ’ (x)
Signe de la dérivée
f (x)
Limites + ordonnées des extrémums éventuels + variations de f
Ce tableau qui est un résumé des étapes précédentes, permet de vérifier la cohérence de
ces étapes et notamment la concordance entre les limites et le signe de la dérivée.
Exemple 6.4:
Déterminons le tableau de variation de la fonction f(x) = x3 - 3x-2
Domaine de définition : D = R = ]- , + [
Limites aux bornes du domaine : Lim f(x) = -  lorsque
Lim f(x) = + lorsque x  +∞
Dérivée et signe
f ‘ (x) = 3x2 - 3x = 3 (x2 -1) = 3(x-1)(x+1)
f ‘ (x) = 0 pour x= -1 et pour x= 1
f ‘ (x) > 0 pour x  ]- , -1[  ] 1 , + [
f ‘ (x) < 0 pour x  ] -1 , 1[
x -∞ et
K.REDJDAL
Tableau de variations
Détermination des asymptotes
On peut, à partir du tableau de variation, voir les différentes asymptotes éventuelles. Ainsi
dans le tableau précédent, la courbe n’admet ni asymptote verticale, ni horizontale



Courbe représentative dans un repère
repère quelconque : axes quelconques et unités sur les axes quelconques
repère orthogonal : axes perpendiculaires et unités sur les axes quelconques
repère orthonormé : axes perpendiculaires et unités sur les axes égales.
Points particuliers ( facultatifs)
Pour une meilleure précision de la courbe, on peut, lorsque cela est possible, affiner la
construction en déterminant quelques points particuliers notamment :
 les points d’intersections avec les axes
 les points d’inflexion éventuels
 les points de tangence particulière
Les points d’intersection avec les axes sont donnés par f(0) pour l’axe des ordonnées et par
les solutions de f(x)=0 pour l’axe des abscisses.
Les points d’inflexion sont les valeurs de x pour lesquelles la dérivée seconde s’annule et
change de signe.
Les points de tangence particulière sont les valeurs de x où la tangente est particulière
(tangentes perpendiculaires, demi tangentes….)
6-1- Etude d’une fonction trinôme
Exemple 6.5 :
f(x) = x2 + x –2
 Domaine : D = ]- , + [
( il n’existe donc pas d’asymptote verticale)
2
 Limites : Lim f(x) = Lim x = +  lorsque  x   ( il n’exite donc pas
d’asymptote horizontale)
 Dérivée et signe : f ’ (x) = 2x + 1
f ’ (x) = 2x + 1 = 0 pour x = - 1/2
K.REDJDAL
f ’ (x) = 2x + 1 > 0 pour x > - 1/2
f ’ (x) = 2x + 1 < 0 pour x < - 1/2

Tableau de variations
 Asymptotes
On a vu qu’il n’existe pas d’asymptote verticale, ni d’asymptote horizontale. On étudie donc
l’existence de l’asymptote oblique.
Lorsque x tend vers - 
f(x)
x2  x  2
x2
 = Lim
= Lim
= Lim
= Lim x = - 
x
x
x
Lorsque x tend vers + 
f(x)
x2  x  2
x2
 = Lim
= Lim
= Lim
= Lim x = + 
x
x
x
Il n’existe donc pas d’asymptote oblique mais une branche parabolique de direction l’axe des
ordonnées.
 Points particuliers
f(0) = - 2 . La courbe de f coupe l’axe des ordonnées en –2
f(x)=0  x2 + x –2 =0 soit x = -2 et x=1 . La courbe de f coupe l’axe des abscisses en deux
points -2 et 1. La dérivée seconde est f(2) (x) = 2 > 0 x D
 Courbe représentative de f dans un repère orthonormé
6-2- Etude d’une fonction polynomiale (3° degré)
Exemple 6.6:
f(x) = 2x3 + 3x2 – 5
K.REDJDAL
 Domaine : D = ]- , + [
( il n’existe donc pas d’asymptote verticale)
 Limites : Lim f(x) = Lim 2x3= + lorsque x  + 
= - lorsque x  - 
( il n’exite donc pas d’asymptote horizontale)
 Dérivée et signe : f ‘ (x) = 6x2 + 6x
f ‘ (x) = = 0 pour x = - 1 et x = 0
f ‘ (x) > 0 pour x  ]- , -1[  ]0 , +[
f ‘ (x) < 0 pour x  ] -1 , 0[
 Tableau de variations
 Asymptote
On a vu qu’il n’existe pas d’asymptote verticale, ni d’asymptote horizontale. On étudie donc
l’existence de l’asymptote oblique.
Lorsque x tend vers -  ou + 
f(x)
2x 3  3x 2  5
2x 3
 = Lim
= Lim
= Lim
= Lim 2x2 = + 
x
x
x
Il n’existe donc pas d’asymptote oblique mais une branche parabolique de direction l’axe des
ordonnées.
 Points particuliers
f(0) = - 5 . La courbe de f coupe l’axe des ordonnées en –5
f(x)=0  2x3 + 3x2 – 5 =0
Cette équation a une solution évidente x = 1. Les autres solutions éventuelles sont
déterminées après factorisation par division ou identification.
2x3 + 3x2 – 5 =( x-1) ( x2 +5x+5)
Comme x2 +5x+5 n’admet pas de racines (  < 0) , f(x) =0 a une seule solution qui est x=1. .
La courbe de f coupe l’axe des abscisses au point x=1 .
La dérivée seconde s’écrit : f(2) (x) = 12x+6  0 pour x  -6/12 =-1/2 et
f(2) (x) = 12x+6  0 pour x  -6/12 =-1/2 . Le point I( -1/2 , -9/2 ) est un point
d’inflexion.

Courbe représentative de f dans un repère orthogonal
K.REDJDAL
6-3- Etude d’une fonction homographique (
Exemple 6.7 : f(x) =
ax  b
)
cx  d
2x  3
x1
 Domaine : D = ]- ,1[  ]1 , + [
car x-1  0 soit x  1.
 Limites :
 Lim f(x) = Lim 2x/x = 2 lorsque  x  +  ( il exite donc une asymptote
horizontale d’équation y=2)
 Lim f(x) = +  car 2x+3 tend vers 5 et x-1 tend vers 0+
x1+
 Lim f(x) = -  car 2x+3 tend vers 5 et x-1 tend vers 0x1( il existe donc une asymptote verticale d’équation x=1)

Dérivée et signe :
2( x  1)  ( 2x  3)1
5
f ‘ (x) =
=
2
( x  1)
( x  1) 2
f ‘ (x) < 0 pour x  D

Tableau de variations
K.REDJDAL

Asymptotes
On a vu qu’il existe une asymptote verticale x=1 et une asymptote horizontale y=2
. On n’étudie donc pas l’existence de l’asymptote oblique.

Points particuliers
f(0) = - 3 . La courbe de f coupe l’axe des ordonnées en –3
f(x)=0  2x +3=0 soit x = -3/2 . La courbe de f coupe l’axe des
abscisse en –3/2.
Dérivée seconde : f(2) (x) =
10
( x  1) 3
Cette dérivée ne s’annule jamais . Il n’existe donc pas de point d’inflexion.

Courbe représentative de f dans un repère orthonormé
K.REDJDAL
6-4- Etude d’une fonction quelconque
x2  x  5
x 2
 Domaine : D = ]- ,2[  ]2 , + [
car x-2  0 soit x  2.
 Limites :
o Lim f(x) = Lim x2/x = Lim x = - lorsque x  - 
= + lorsque x  + 
( il n’exite donc pas d’asymptote horizontale)
o Lim f(x) = +  car x2+x-5 tend vers 1 et x-2 tend vers 0+
Exemple 6.8 : f(x) =
x2+
o Lim f(x) = -  car x2+x-5 tend vers 1 et x-2 tend vers 0x2( il existe donc une asymptote verticale d’équation x=2)
 Dérivée et signe :
f ’ (x) =
( 2x  1)( x  2)  ( x 2  x  5 )1 x 2  4 x  3
=
( x  2) 2
( x  2) 2
f ‘ (x) = 0 pour x2-4x+3 = 0 soit x = 1 et x=3
f ‘ (x) > 0 pour x  ]- , 1[]2 , +[
f ‘ (x) < 0 pour x  ] 1 , 2 [
 Tableau de variations
 Asymptotes
On a vu qu’il existe une asymptote verticale x=2 et qu’il n’existe pas d’asymptote
horizontale. On étudie donc l’existence de l’asymptote oblique.
On peut vérifier ( par identification ou par division ) que f(x) peut s’écrire sous la forme
1
f ( x)  x  3 
x2
1
Comme l’expression E(x) =
tend vers 0 lorsque x  , on déduit que la droite
x 2
d’équation y = x+3 est une asymptote à la courbe représentative de f
La position de la courbe par rapport à cette asymptote est donnée par la signe de E(x) soit :
E(x)  0  x  D
E(x) > 0 pour x > 2 et E(x) < 0 pour x < 2.
La courbe est donc au dessus de l’asymptote oblique pour x > 0 et au dessous pour x < 2.
K.REDJDAL
 Points particuliers
f(0) = 5/2 . La courbe de f coupe l’axe des ordonnées en 5/2
 1  21
 1  21
f(x)=0  x2+x-5 =0 soit x =
et x=
. La courbe de f
2
2
coupe l’axe des abscisse en 2 points
 Courbe représentative de f dans un repère orthonormé
Exemple 6.9 :
f(x) =
x2  x  2
 Domaine : D = ]- ,-1[  ]2 , + [
car x2-x-2  0
 Limites :
Lim f(x) = Lim x 2  x  2 = Lim x 2 = x = + aussi bien lorsque x  -  que
lorsque x  +  ( il n’exite donc pas d’asymptote horizontale)
f(-1) =f(2) =0 ( il n’existe pas d’asymptote verticale)
 Dérivée et signe :
2x  1
2 x2  x 2
f ‘ (x) = 0 pour 2x-1 = 0 soit x = 1/2
f ‘ (x) > 0 pour 2x-1 > 0 soit x > 1/2 et f ‘ (x) < 0 pour x < 1/2.
f ’ (x) =
 Tableau de variations
K.REDJDAL
 Asymptote
On a vu qu’il n’existe ni asymptote verticale ni asymptote horizontale . On étudie donc
l’existence de l’asymptote oblique.
Calcul de 
f(x)
x
x2  x  2
Lim
= Lim
= Lim
= 1 si x -> +
x
x
x
et –1 si x -> -
Calcul de  lorsque x tend vers + (  = 1)
(x 2  x  2)  (x 2 )
2
Lim [f(x) -  x ] = Lim [ x  x  2 - x ] = Lim
x2  x  2  x
( en multipliant et en divisant par l’expression conjuguée de
[ x 2  x  2 -x ] soit [ x 2  x  2 + x ]
Lim [f(x) -  x ] = Lim
 x 2
= Lim
x
= -1/2
2x
x2  x  2  x
( le dénominateur a la même limite que 2x lorsque x tend vers + car
x 2  x  2 a la même limite que x lorsque x tend vers + )
Au voisinage de + : il existe donc une asymptote oblique d’équation y= x - 1/2
Calcul de  lorsque x tend vers - (  = -1)
(x 2  x  2)  (x 2 )
2
Lim [f(x) -  x ] = Lim [ x  x  2 + x ] = Lim
x2  x  2  x
( en multipliant et en divisant par l’expression conjuguée de
[ x 2  x  2 + x ] soit [ x 2  x  2 - x ]
Lim [f(x) -  x ] = Lim
 x 2
= Lim
x
= 1/2
 2x
x2  x  2  x
( le dénominateur a la même limite que -2x lorsque x tend vers - car
x 2  x  2 a la même limite que -x lorsque x tend vers -  )
Au voisinage de -  : il existe donc une asymptote oblique d’équation y= -x+1/2
 Points particuliers
La valeur 0 n’appartient pas au domaine de définition, la courbe de f ne coupe pas l’axe des
ordonnées .
K.REDJDAL
f(x)=0  x2-x-2 = 0 soit x – 1 et x = 2 . La courbe de f coupe l’axe
des abscisse en 2 points
On remarquera que la fonction est définie en –1 et 2 mais ce n’est pas le cas de la dérivée.
On peut vérifier que f ‘(x) -  lorsque x -1- et f ‘(x) +  lorsque x  2+
La courbe de f admet aux points d’abscisses –1 et 2 des tangentes perpendiculaires à l’axe
des abscisses.
 Courbe représentative de f dans un repère orthonormé
7-FONCTIONS CIRCULAIRES
Avant d’étudier les fonctions trigonométriques, on rappellera les notions fondamentales de
trigonométrie.
7-1-Cercle trigonométrique
On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre (0,0) et de rayon 1, orienté
positivement dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.
K.REDJDAL
L’axe x’0x est l’axe des cosinus, l’axe y’0y est l’axe des sinus, l’axe t’At est l’axe des
tangentes et l’axe z’0z celui des cotangentes.
Tout angle ou arc est défini par un point sur le cercle trigonométrique. L’origine de cet arc est
le point A.
Le cosinus de l’angle x (ou de l’arc AM) est l’abscisse du point M c'est-à-dire la mesure
algébrique de OH. Son sinus est l’ordonnée du point M c'est-à-dire la mesure algébrique de
OK
Sa tangente est la mesure algébrique de AT et sa cotangente la mesure algébrique de BZ
Notations : On notera respectivement le sinus, cosinus, tangente et cotangente de x par
sinx , cosx, tgotx et cotgx. La fonction qui à tout x fait correspondre sinx ( cosx , tgx ou
cotgx) est appelée fonction circulaire.
7-2-Relations fondamentales
On déduit immédiatement des définitions précédentes que :
Le cercle trigonométrique est par définition de rayon 1, donc :
 1  cos x  1 et  1  sin x  1
D’après le théorème de PYTHAGORE dans le triangle OHM : cos2 x  sin2 x  1
D’après le théorème de THALES dans les triangles OHM et OAT :
sin x
cos x
1
 tgx et
 cot gx soit
 cot gx
cos x
sinx
tgx
K.REDJDAL
Par ailleurs, on peut également constater que tous les arcs AM ( quelque soit le nombre de
circonférences parcourues par M , ont toujours le même sinus et le même cosinus. Ceci
s’exprime comme suit :
cos(x  2 )  cos x et sin(x  2 )  sin x
et plus généralement
cos(x  2k )  cos x et sin(x  2k )  sin x pour tout k  Z
On dit que le sinus et le cosinus sont périodiques et de période 2
Par contre, si x augmente de , on obtient un point M’ opposé à M par rapport à l’origine O,
l’arc AM’ aura la même tangente et cotangente que x. La tangente et la cotangente sont
périodiques et de période 
tg( x   )  tgx et cot g( x   )  cot gx
et plus généralement
tg( x  k )  tgx et cot g( x  k )  cot gx pour tout k  Z
7-3-Arcs particuliers
Le tableau suivant donne les valeurs des fonctions circulaires des arcs particuliers.
Arcs
0 (0°)
/6 (30°)
/4 (45°)
/3 (60°)
/2 (90°)
Sinus
0
½
2/2
3/2
1
Cosinus
1
3/2
2/2
1/2
0
Tangente
0
1/ 3
3
+
Cotangente
1
1
3
1/ 3
On rappelle que 180 degrés correspondent à  radians et à 200 grades.
+
0
7-4-Arcs associés

Arcs opposés : Les points M et M’ sont symétriques par rapport à l’axe des
cosinus. On a :
K.REDJDAL

Arcs supplémentaires : ( arcs dont la somme des mesures en radians est égale à  ).
Les points M et M’ sont symétriques par rapport à l’axe des sinus.
 Arcs complémentaires : ( arcs dont la somme des mesures en radians est égale à
/2 ).
Les points M et M’ sont symétriques par rapport
à la première bissectrice.
cos(-x) = - cosx
sin(-x) = sinx
tg(-x)= - tgx
K.REDJDAL
sin(/2 - x) = cosx
cos (/2 - x) = sinx
tg(/2 - x) = cotg x
 Arcs dont la différence est  radians
Il s’agit des arcs x et (+x)
sin(+x)=- sinx
cos(+x)=- cos x
tg(+x) = tgx
 Arcs dont la différence est /2 radians
Il s’agit des arcs (/2 + x)
et /2
K.REDJDAL
7-5-Equations Trigonométriques
 Signe des fonctions circulaires en fonction des quadrants
A partir du cercle trigonométrique et de la définition des fonctions circulaires, on
déduit le tableau des signes suivant :
Sinus
Cosinus
Tangente
1er Quadrant
+
+
+
2° Quadrant
+
-
3° Quadrant
+
Ainsi l’arc ( ou l’angle) dont le sinus est -1/2 et le cosinus
près).
 Equation cos x = cos 
On a vu précédemment que deux arcs opposés ont le même cosinus.
Ainsi l’équation cos x = cos  admet pour solutions
cos x = cos   x= +2k ou x = - +2k
4°Quadrant
+
-
est égal à 7/6 ( à 2k
K.REDJDAL
 Equation sin x = sin 
Deux arcs AM et AM’ où M et M’ sont symétriques par rapport à l’axe des sinus, ont le
même sinus.
L’équation sin x = sin  admet pour solutions
sin x = sin   x= +2k ou x = - +2k
 Equation tg x = tg 
Deux arcs AM et AM’ où M et M’ sont symétriques par rapport l’origine des axes (centre
du cercle trigonométrique) ont la même tangente.
L’équation l tg x = tg  admet pour solutions
tg x = tg   x= +k
2

)  cos(  x) a pour solutions :
3
3
L’équation cos(2 x 
Exemple 7.1 :

Ou

(2 x 
Exemple 7.3 :
(x 
ou

3
x
Soit
sin(2 x 
L’équation
Exemple 7.2 :

4
)  (x 

6

6
 2k
)  2k
ou
x

4


3

3
3

4
)  sin( x 
(2 x 
x
ou
L’équation tg ( x 
)  (2 x 


2


3

6
) a pour solutions
)    (x 

6
)  2k
2k
3
)  tg ( 2 x 

3
)
admet pour solutions
)  k
 k
ce qui
donne
x

12
 k
K.REDJDAL
7-6-Principales formules de trigonométrie
7-6-1- Formules d’addition
Le but de ces formules est le calcul des fonctions circulaires de la somme (a+b) et de
la différence (a-b) en fonction de celles de a et b.
Calcul de cos(a-b)
On considère sur le cercle trigonométrique, les points A et B de coordonnées respectives
A(cosa ; sina) et B(cosb ; sinb).
(schéma ci-dessous).
L’angle formé par les vecteurs OA et OB est la différence (a-b).
Sachant que le produit scalaire de deux vecteurs U (x,y) et V(x’ , y’) est
- D’une part, égal au produit de leurs mesures algébriques et du cosinus de l’angle
formé par ces deux vecteurs.
- D’autre part, égal à xx’ + yy’ ( expression analytique du produit scalaire)
Le produit scalaire des vecteurs OB et OA est égal :
- D’une part à cos(a-b) ( les mesures algébriques de OA et OB sont égales à 1 ;
comme rayons du cercle trigonométrique)
- D’autre part cosa cosb + sina sinb
Ainsi :
Calcul de cos(a+b)
Il suffit de remplacer dans l’expression précédente b par (-b).
Comme cos(-b) = cosb et sin(-b) = - sinb ;
on obtient :
K.REDJDAL
Calcul de sin(a+b)
Sachant que
Calcul de sin(a-b)
On remplace dans l’expression de sin(a+b) b par (-b) et comme cos(-b) = cos(bet sin(-b) = sin(b) ; on obtient :
Calcul de tg(a+b)
sin( a  b) sin a cos b  sin b cos a

On a tg ( a  b) 
cos(a  b) cos a cos b  sin a sin b
On divise le numérateur et le dénominateur par cosa cosb
tg(a  b) 
sin(a  b) tga  tgb

cos(a  b) 1  tga tgb
Calcul de tg(a-b)
Il suffit de remplacer dans l’expression précédente (b) par (-b) et sachant que tg(-b)= - tg(b) ,
on obtient :
tg(a  b) 
sin(a  b) tga  tgb

cos(a  b) 1  tga tgb
Des relations précédentes, on peut déduire les fonctions circulaires de (2a). Il suffit de
remplacer b par a dans les expressions de cos(a+b) ; sin(a+b) et tg(a+b) .
cos(2a)  cos2 a  sin2 a
Ou encore :
cos(2a)  cos2 a  (1  cos2 a)  2 cos2 a  1
cos(2a)  (1  sin 2 a)  sin 2 a  1  2 sin 2 a
sin(2a )  cosa sinb  sina cosb  2 sina cosb
tg( 2a) 
tga  tga
2tga

1  tga tga 1  tg2a
K.REDJDAL
7-6-2- Transformations d’une somme et différence en produit
Pour résoudre des équations trigonométriques, on est souvent amené à transformer des
sommes ou différences en produits.
On reprend les expressions de cos(a+b) ; cos(a-b) ; sin(a+b) et sin(a-b)
cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b
cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b
sin(a  b)  sin a cos b  sin b cos a
sin(a  b)  sin a cos b  sin b cos a
(1)
(2)
(3)
(4)
En additionnant membre à membre les égalités (1) et (2) , on obtient :
cos(a  b )  cos(a  b )  2 cosa cosb
( 5)
En faisant la soustraction membre à membre des égalités (1) et (2), on trouve
cos(a  b )  cos(a  b )  2 sina sinb
( 6)
De la même manière, en additionnant les égalités (3) et (4) , on obtient
sin(a  b )  sin(a  b )  2 sina cos b
sin(a  b )  sin(a  b )  2 sinb cosa
En posant a+b=p et a-b = q
(6) et (7) et (8) s’écrivent :
ce qui donne p 
(7)
( 8)
ab
2
et q 
ab
2 , les expressions (5)
pq pq
cosp  cosq  2 cos
 cos

 2   2 
pq pq
cosp  cosq  2 sin
 sin

 2   2 
pq pq
sinp  sinq  2 sin
 cos

 2   2 
pq pq
sinp  sinq  2 sin
 cos

 2   2 
7-6-3- Transformations de produits en somme
Les relations (5) (6) (7) et (8) peuvent s’écrire également :
cos a cos b 
1
cos(a  b)  cos(a  b)
2
K.REDJDAL
sina cos b 
1
sin(a  b)  sin(a  b)
2
sina sinb  
1
cos(a  b)  cos(a  b)
2
7-7-Quelques applications de ces formules
Exemple 7.4 : Calculer le sinus et cosinus de 75° et de 15°
75° correspond à 5/12 et 15° à /12
5
 




2 3
21
2
cos( )  cos(  )  cos cos  sin sin 


3 1
12
4 6
4
6
4
6
2 2
2 2
4

 




2 3
21
2
cos( )  cos(  )  cos cos  sin sin 


3 1
12
4 6
4
6
4
6
2 2
2 2
4
5
 




2 3
21
2
sin( )  sin(  )  sin cos  sin cos 


3 1
12
4 6
4
6
4
6
2 2
2 2
4
5

( on retrouve le résultat précédent car sin( )  cos( )
12
12

 




2 3
21
2
sin( )  sin(  )  sin cos  sin cos 


3 1
12
4 6
4
6
4
6
2 2
2 2
4

5
( on retrouve le résultat précédent car sin( )  cos( )
12
12








Exemple 7.5 : Transformer l’expression E(x)= sinx+ sin2x+ sin3x en un produit de facteurs
pour résoudre ensuite E(x)=0
 Transformation de E(x)
On considère la somme sinx+sin3x et on lui applique la transformation en produit
 pq  pq
sin p  sin q  2 sin
 cos

 2   2 
On trouve : sinx+ sin3x = 2 sin2xcosx
On remplace dans E(x)
sinx+sin2x+sin3x= sin2x + 2 sin2xcosx = sin2x (1+2cosx)
Il suffit alors de résoudre sin2x=0 et 1+2cosx=0 .
Les solutions de sin2x=0 sont données par : x=kπ ou x= π/2 + kπ ( k Z)
Les solutions de 1+cos2x=0 sont : x =π/2+kπ ou x = -π/2 + kπ (k Z)
Remarque : On peut développer davantage cette expression . En effet, sinx+sin2x+sin3x=
sin2x + 2 sin2xcosx = 2sinx cosx+ 2 sin2x cosx sachant que
sin2x = 2 cosx sinx ce qui
donne E(x) = 2 cosx ( sinx + sin2x)
Comme (sinx+sin2x) = 2 sin(3x/2) cos(x/2) on obtient : E(x)= 4 cosx sin(3x/2) cos(x/2)
7-8-Transformation de l’expression a cosx+ b sinx ( a0)
K.REDJDAL
En mettant en facteurs et en posant tg 
b
on a :
a
b
sin




a cos x  b sin x  a cos x  sin x   acos x  tg sin x   a cos x 
sin x 
a
cos 




a
cos x cos   sin sinx
a cos x  b sin x 
cos 
a cos x  b sin x 
a
cosx  
cos 
Exemple 7.6 :
3 cosx  sinx 
3 cos x  sinx 
3
cosx  
cos
avec
 

cos x  (  )  =

6 
cos( ) 
6
3
tg 
1
3
soit  

 k
6




cos x    2 cos x  
6
6
3


2
3
soit


3 cos x  sinx  2 cos x  
6

7-9 - Transformations à l’aide du changement de variable t=tg(x/2)
 x x
 x
x
cos x  cos    cos2    sin2  
 2 2
 2
 2
 x
 x
Comme cos2    sin2    1 on peut écrire
 2
 2
On a :
 x
 x
2  x 
2  x 
cos2    sin2   cos   1  tg   
 2 
 2 
 2
 2 
cos x 
 x
 x
 x 
 x 
cos2    sin2   cos2   1  tg 2   
 2
 2
 2 
 2 
En posant
t = tg(x/2) on a :
De même
sinx 
2t
1  t2
cos x 
1  t2
1  t2
 x 
 x 
 x  x
cos2   2 tg  
2 sin  cos 
 x  x
 2 
 2 
 2  2 
sinx  2 sin  cos  
soit
 2   2  cos2  x   sin2  x 
2  x 
2  x 
 
  cos   1  tg  
 2
 2
 2 
 2 
K.REDJDAL
Ces relations permettent de transformer des expressions trigonométriques en fractions
rationnelles.
Exemple 7.7 : Résoudre l’équation suivante
3 cos x  sinx  0
3 cos x  sinx en utilisant la transformation de la forme
On peut transformer l’expression
a cosx + b sinx ( voir 7-8) ou en utilisant le changement de variable précédent (7-9). :
En posant t = tg(x/2) l’équation 3 cos x  sinx  0 devient, en fonction de t :
1  t2
2t
3

 0 soit
équation du second de gré
3 (1  t 2 )  2t  0
2
2
1 t
1 t
 3t 2  2t  3  0 dont les racines sont : t   3 et t   3
x
x 

 k
C’est à dire : tg( )   3 soit
2
2
3
x
1
Et tg( ) 
2
3
soit
x 
  k
2 6
ou x 
ou x 
 2
 2k
3

 2k
3
Remarque :
D’après 7-8- l’équation
Ce qui donne

x


x

3 cos x  sinx  0


cos x    0
6

 
   2k
6 2


    2k
6
2
s’écrit
3


cos x    0
cos(  / 6) 
6
soit

 2k
3
2
 2k
ce qui donne x  
3
ce qui donne x 
7.10 Etude des fonctions circulaires classiques
7-10-1- La fonction sinus
La fonction f(x) = sinx est définie sur R. Elle est périodique et de période 2. On peut donc
l’étudier sur n’importe quel intervalle d’amplitude 2 par exemple sur [0 ; 2]
La dérivée de la fonction f(x) = sinx est f’(x) = cosx
( D’une manière plus générale, pour une fonction composée sinU : la dérivée de sinU est
sinU '  U ' cosU
égale à U’ cosU ) :
K.REDJDAL
La dérivée de f(x) = sinx s’annule dans l’intervalle [0 ; 2], pour x=/2 et 3/2. Le tableau
de variation de f est alors :
La courbe de f(x)= sinx est représentée ci-dessous :
Sur R la représentation de f est :
Remarque : La fonction f(x) = sinx étant impaire, on aurait pu l’étudier sur [0 , ] et
ensuite faire une symétrie par rapport au point de coordonnées ( ; 0) pour avoir la courbe sur
la période [0 ; 2].
7-10-2- La fonction cosinus
La fonction f(x) = cosx est définie sur R. Elle est périodique et de période 2. On peut donc
l’étudier sur n’importe quel intervalle d’amplitude 2 par exemple sur [0 ; 2]
K.REDJDAL
La dérivée de la fonction f(x) = cosx est f’(x) = - sinx
( D’une manière plus générale, pour une fonction composée cosU : la dérivée de cosU est
cos U'  U ' sinU
égale à - U’ sinU )
La dérivée de f(x) = cosx s’annule dans l’intervalle [0 ; 2], pour x=0 ; x= et x=2
Le tableau de variation de f est alors :
La courbe de f(x)= cos x est représentée ci-dessous :
Sur R , la représentation de f(x) = cosx est :
7-10-3- La fonction Tangente
sinx
est définie pour toute valeur de x différente de  /2 + 2k (
cos x
valeurs qui annulent cosx). Elle est périodique et de période . On peut donc l’étudier sur
n’importe quel intervalle d’amplitude  par exemple sur ]-/2 ; /2[
La fonction f ( x)  tgx 
K.REDJDAL
1
La dérivée de la fonction f(x) = tgx est f ' ( x)  1  tg 2 x 
cos2 x
( D’une manière plus générale, pour une fonction composée tgU : la dérivée de tgU est
égale à - U’ (1+tg2U)
tgU'   U ' 1  tg 2 U  U2'
cos U
La dérivée de f(x) = tgx est strictement positive dans l’intervalle ]-/2 ; /2[
La fonction tangente est donc strictement croissante sur sa période.
Le tableau de variation de f est alors :


Les droites horizontales x= -/2 et x = /2 sont des asymptotes verticales.
La courbe de la fonction tangente sur la période ]-/2 ; +/2 [ est :
La représentation de la fonction tangente sur tout le domaine de définition est comme suit :
K.REDJDAL
7-10-4- Etude d’une fonction trigonométrique quelconque
Exemple 7.8
cos 2x
sin x
1)
Domaine de définition : sinx 0 soit x  k ou k  Z
2)
Périodicité : cos2x est périodique de période  ( on rappelle que cos(ax) est
périodique de période 2/a) (a0) et sinx est périodique de période 2
La fonction f est donc périodique et de période 2 ( la plus grande des périodes)
On étudiera la fonction sur ]- ; [ dans lequel on ôtera les valeurs interdites ; soit ]- ; 0[
 ]0 ; [
cos(2x) cos 2x
3) Parité : f (  x) 

 f ( x)
sin(x)
 sin x
f est impaire, on l’étudiera donc sur ]0 ; [ et on fera la symétrie par rapport à l’origine O.
Etudions la fonction f définie par f ( x) 
4) La dérivée de f s’écrit ( de la forme U/V) :
f ' (x) 
f ' ( x) 
 2 sin 2x(sinx)  cos 2x(cos x)
sin2 x
 3 sin2 x cos x  cos3 x

sin2 x
La dérivée est du signe de – cosx .
5) Tableau de variations

 4 sin2 x cos x  (cos2 x  sin2 x) cos x
sin2 x
 cos x( 3 sin2 x  cos2 x)
sin2 x
K.REDJDAL
6) Asymptotes :
Lim f(x) = + lorsque x  0
Il en est de même de x=
donc x=0 est une asymptote verticale.
7) Courbe de f sur ]0 ; [ et sur ]- ; +[
Les points d’intersection avec l’axe des abscisses sont solutions de f(x)=0 soit cos2x=0.
Cos2x=0  2x =  + 2k ( k  Z) soit sur]0 ; + [ , les solutions sont : x=/4 et x=
3/4 .
Sur le domaine de définition, la courbe de f est comme suit :
K.REDJDAL
Exemple 7.9 : ( A faire en exercice) Etude complète de f ( x) 
sin 2x
1  sinx
La courbe de cette fonction est représentée ci dessous :
7-10-5- Etude de la limite de
sinx
lorsque x 0
x
Considérons le cercle trigonométrique ci-dessous :
On constate sur ce cercle que l’aire du triangle OMA est plus petite que l’aire du secteur
OAM qui elle même est plus petite que l’aire du triangle OAT.
sinx x tgx
sinx
 
On peut donc écrire, pour 0< x < π/2 :
soit sinx  x 
2
2
2
cos x
x
1

En divisant par sinx qui est positif sur ]0 ; π/2[ , on a : 1 
sinx cos x
1
Lorsque x0
tend vers 1
cos x
sin x
On a donc le résultat important suivant :
 1 lorsque x  0
x
K.REDJDAL
8- FONCTIONS RECIPROQUES DES FONCTIONS
CIRCULAIRES
Théorème fondamental :
Soit f une fonction définie strictement monotone et continue d’un intervalle [a ; b] vers
un intervalle [c ; d] . On peut définir une fonction f -1 de [c ; d] vers [a ; b] telle que :
y = f(x)  x= f-1(y)
f -1 est définie monotone et continue.
La dérivée de f -1 est égale à l’inverse de la dérivée de f au point x= f-1(y)
1
f ' ( x )  1
[ f ( y )]'
Les courbes représentatives de f et f -1 sont symétriques par rapport à première
bissectrice.
8-1- Fonction Arcsinus (Arcsin)
On a vu précédemment que la fonction sinx est définie continue et strictement croissante de
[-/2 ; +/2] à valeurs de [-1 ; 1]. Elle admet une fonction réciproque que l’on appelle
Arcsinx définie continue et strictement croissante de [-1 ; 1] à valeurs dans [-/2 ; +/2]
y  Arc sin x 
x  sin y
La dérivée de Arcsinx est donnée par :
1
1
1
1



2
(sin y)' cos y
1  sin y
1  x2
( le cosinus étant positif ou nul sur [-/2 ; +/2]
( Arc sin x )' 
1
( Arc sin x )' 
1  x2
En utilisant la dérivée
des fonctions
composées
(Arcsin u(x) )’=
u'
1  u2
K.REDJDAL
8-2-Fonction Arccosinus ( Arccos)
On a vu que la fonction cosx est définie continue et strictement décroissante de [0 ; +] à
valeurs de [-1 ; 1] . Elle admet une fonction réciproque que l’on appelle Arccosinus définie
continue et strictement décroissante de [-1 ; 1] à valeurs dans [0 ; +]
y  Arc cos x

x  cos y
La dérivée de Arccosx est donnée par :
1
1
1
1
( Arc cos x )' 



2
(cos y)'  sin y
1  cos y
1  x2
( le sinus étant positif ou nul sur [0 ; ]
( Arc cos x )' 
En utilisant la dérivée
des fonctions
composées
(Arccos u(x) )’=
 u'
1  u2
1
1  x2
K.REDJDAL
8-3- Fonction Arctangente (Arctg)
La fonction tgx est définie continue et strictement croissante de ] - /2; +/2[ à valeurs dans
]-; + [ . Elle admet une fonction réciproque que l’on appelle Arctangente définie
continue et strictement croissante de
]-; + [ à valeurs dans ] - /2; +/2[
y  Arctgx 
x  tgy
La dérivée de la fonction Arctg est donnée par :
1
1
1
( Arctgx)' 


2
(tgy)' 1  tg y 1  x 2
( Arctgx)' 
1
1  x2
En utilisant la dérivée
des fonctions composées
(Arctg u(x) )’=
8-4- Propriétés importantes
Par définition de la fonction réciproque :
Sin(arcsinx ) = x pour tout -1  x  1
Arcsin(sinx) = x
pour tout
-/2  x /2
Cos(arccosx ) = x
pour tout
-1  x  1
Arccos(cosx) = x
pour tout
0x
Arctg(tgx)
Tg(arctgx)
= x pour tout
=x
-/2 < x < /2
pour tout
- < x < 
On peut vérifier les autres propriétés suivantes :
Cos( Arc sin x)  Sin( Arc cos x )  1  x 2 pour tout  1  x  1

Arc sinx  Arc cos x 
pour tout  1  x  1
2
u'
1  u2
K.REDJDAL
Tg ( Arc sinx) 
Tg ( Arc cos x) 
Sin( Arctgx) 
Cos( Arctgx) 
x
1  x2
1  x2
x
x
1  x2
1
1  x2
pour tout  1  x  1
pour tout x ]  1 , 0[]0 , 1[
pour tout    x  
pour tout    x  
Indications :
On a : Cos 2 ( Arc sin x)  Sin 2 ( Arc sin x)  1 pour tout  1  x  1
Soit Cos 2 ( Arc sin x)  x 2  1 pour tout  1  x  1
Cos 2 ( Arc sin x)  1  x 2 pour tout  1  x  1
Le cosinus étant positif entre - /2 et +/2
Cos( Arc sin x )  1  x 2
pour tout  1  x  1
9- FONCTIONS HYPERBOLIQUES ET RECIPROQUES
Les fonctions hyperboliques classiques, sinus hyperbolique, cosinus hyperbolique, tangente
hyperbolique, ne sont autres que des fonctions exponentielles particulières. On définit :
e x  ex
shx 
2
e x  ex
chx 
2
shx e x  e  x 2e x  1
thx 


chx e x  e  x 2e x  1
9-3- Fonction sinus hyperbolique
D’après la définition de shx , on peut déduire que shx est définie sur R.
Sa dérivée s’écrit :
e x  ex
( shx )' 
 chx qui est positif pour tout x réel. La fonction shx est donc
2
croissante sur R.
Les variations de shx sont données par :
La fonction shx a pour représentation :
K.REDJDAL
y
f(x)=shx
5
On remarquera la symétrie de la
fonction Shx
Shx est une fonction impaire
Sh(-x) = - Sh(x)
4
3
2
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
-1
-2
-3
-4
9-4- Fonction cosinus hyperbolique
D’après la définition de chx , on peut déduire que chx est définie sur R.
Sa dérivée s’écrit :
e x  ex
( chx )' 
 shx qui s’annule pour x =0 ; positive pour x>0 et négative pour x <0.
2
La fonction chx est donc croissante sur [0 ; +[ et décroissante sur ]- ; 0]
Les variations de chx se résument comme suit :
La fonction chx est représentée comme suit :
(La courbe de la fonction ch correspond à la position d’équilibre d’un fil inextensible
suspendu par deux de ses points. On l’appelle la chaînette.
K.REDJDAL
9-5- Fonction tangente hyperbolique
shx e x  e  x e 2x  1


La fonction thx définie par thx 
chx e x  e  x e 2x  1
est définie sur R tout entier.
La dérivée de thx s’écrit :
(thx)' 
2e 2x (e 2x  1)  (e 2x  1)2e 2x

4e 2x

1
ch 2 x On remarquera la symétrie
de la fonction Chx
Chx est une fonction paire
La dérivée est strictement positive sur R . La fonction
Ch(-x) = Ch(x)
thx est strictement croissante sur R.
(e 2x  1) 2
La courbe de thx est alors :
(e 2x  1) 2
K.REDJDAL
y
f(x)=thx
5
4
3
2
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
On remarquera la symétrie de
la fonction Thx
Thx est une fonction impaire
Th(-x) = - Th(x)
x
-1
-2
-3
-4
Remarque : En utilisant la formule de dérivation d’une fonction composée, on peut écrire :
( ShU )'  U ' ChU
(ChU )'  U ' ShU
U'
(ThU )' 
Ch 2U
9-6- Propriétés des fonctions hyperboliques
On peut vérifier à partir des définitions de shx et chx que :
1- Relation fondamentale :
e x  ex
2
x
e  ex
chx 
2
shx 
ch2 x  sh2 x  1
e 2 x  e 2 x  2
2
2x
e  e 2 x  2
ch2 x 
2
sh2 x 
2- Formules de la somme et différence
ch( a  b )  cha chb  sha shb et
sh( a  b )  sha chb  cha shb
K.REDJDAL
e a  e  a e b  e  b e ab  e ab

2
2
e a  e  a e b  e  b e ab  e ab
sha shb 

2
2
 e ba  e  ( ab )
4
 e ba  e  ( ab )
4
e ab  e  ( ab )
 ch( a  b )
La somme membre à membre donne bien :
2
cha chb 
 Même vérification pour sh(a+b)
On déduit des deux relations précédentes , en prenant a=b :
ch( 2a )  ch2 a  sh2 a
Des relations :
sh( 2a )  2sha cha
et
ch2 x  sh2 x  1 et ch( 2a)  ch2 a  sh2 a on déduit
ch( 2a )  ch2a  ch2a  1  2ch2a  1
ch( 2a )  1  sh2a  sh2a  1  2sh2a
9-7- Fonctions hyperboliques réciproques
9-5-1- Fonction Argsh ( Argument sinus hyperbolique)
La fonction shx est définie , continue, de R dans R et est strictement croissante. Elle admet
donc une fonction réciproque qu’on appelle Argsh définie et continue de R dans R et
également strictement croissante.
y  Argshx  x  shy
Les courbes des fonctions Sh et ArgSh
bissectrice.
sont symétriques par rapport à la première
La dérivée de la fonction réciproque Argsh est donnée par :
( Argshx)' 
1
1
1
1



2
( shy)' chy
1  sh y
1  x2
En utilisant la dérivée des fonctions composées : ( Argsh u(x))'
( Argshx)' 
u'
1  u2
1
1  x2
K.REDJDAL
y
Argshx
5
4
3
2
Shx
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
x
-1
-2
-3
-4
9-5-2-Fonction Argch ( Argument cosinus hyperbolique)
La fonction chx est définie , continue, de R dans R et est strictement croissante sur [0 ; +[.
Elle admet donc une fonction réciproque qu’on appelle Argch définie et continue de [1 ;+[
y  Argchx  x  chy
dans [0 ; +[ .
Les courbes des fonctions Ch et ArgCh sont symétriques par rapport à la première
bissectrice.
La dérivée de la fonction réciproque ArgCh est donnée par :
1
1
1
1
( Argchx)' 



( chy)' shy
 1  ch2 y
x2  1
( ArgChx)' 
Pour une fonction composée u(x) :
( Argch u(x))'
u'
u2  1
1
x 1
2
K.REDJDAL
y
6
chx
5
4
3
Arcchx
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
9-5-3-Fonction Argth ( Argument tangente hyperbolique)
La fonction Thx est définie , continue, de R dans ]-1 ; 1[ et est strictement croissante. Elle
admet donc une fonction réciproque qu’on appelle ArgTh définie et continue de ]-1 ; 1[
dans R et également strictement croissante.
y  ArgThx  x  Thy
Les courbes des fonctions Th et ArgTh sont symétriques par rapport à la première
bissectrice.
La dérivée de la fonction réciproque ArgTh est donnée par :
1
1
1
1
1
( ArgThx )' 

 2


2
2
1
(Thy )'
ch y  sh y 1  th y 1  x 2
ch2 y
ch2 y
1
( ArgThx )' 
1  x2
Pour une fonction composée u(x) :
( Argthx)' 
u'
1  u2
K.REDJDAL
6y
ArgThx
5
4
3
2
Thx
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
9-8- Propriétés des fonctions hyperboliques et de leurs réciproques
Comme pour les fonctions circulaires et leurs réciproques, on peut vérifier les propriétés
suivantes pour les fonctions hyperboliques et leurs réciproques.
Sh( Argsh x )  Argsh(Sh x )  x pour
Ch( Argch x )  xpour tout 1  x  
Argch(ch x )  x
tout 0  x  
pour
Argth( th x )  x
tout    x  
pour
tout    x  
On peut également vérifier assez facilement que :
Sh( ArgCh x)  x 2  1 pour tout 1  x  
Sh( ArgTh x) 
x
1  x2
pour tout  1  x  1
Ch( ArgSh x)  x 2  1 pour tout    x  
Ch( ArgTh x) 
1
1  x2
pour tout  1  x  1
K.REDJDAL
Th ( Argsh x) 
Th ( ArgCh x) 
x
1  x2
pour tout    x  
x2  1
x
pour tout 1  x  
9-9- Fonctions hyperboliques réciproques et logarithmes
Par définition des fonctions hyperboliques et de leurs réciproques :
y  Argshx  x  shy
e y  e  y e 2y  1
on a :

2
2ey
Il s’agit alors d’exprimer y en fonction de x
Comme
shy 
x
e 2y  1
2ey
e 2y  1
 e 2 y  2xe y  1  0
y
2e
En posant Y  e y on a une équation du second degré en Y :
discriminant est : 4x2 +4 =4(x2+1)
x
Y 2  2xY  1  0 dont le
2x  4( x 2  1)
On a alors : Y 
 x  x2  1
2
Et
Y
2x  4( x 2  1)
 x  x2  1
2
Comme Y doit être constamment positif, on ne retiendra que la solution Y  x  x 2  1
soit
ey  x  x2  1
ce qui est équivalent à : y  Ln( x  x 2  1 )
finalement , : x  R Argshx  Ln( x  x 2  1 )
On peut de la même manière montrer que :
x  [1,[
Argchx  Ln( x 
x ]  1,  1[ ArgThx 
x2  1 )
1 1 x
Ln

2 1 x
K.REDJDAL
EXERCICES SUR LE CHAPITRE 2
Exercice 1 : Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes
f ( x) 
x1
f ( x)  2
x x6
x2  1
f ( x) 
f ( x) 
x 2  3x  5
x1
x  3x  2
2
4  x2
x 2  3x  4
Exercice 2 : Calculer les limites suivantes
f ( x) 
f ( x) 
f ( x) 
x2  1
x2  x  2
2x 2  1
x3  x  2
2x 3  x  1
x 2  2x  2
x2  1
f ( x)  2
x x2
lorsque x tend vers  
lorsque x tend vers  
lorsque x tend vers  
lorsque x tend vers 1
1  x  1  x2
x
f ( x) 
f (x)  x  1  x  2
lorsque x tend vers 0
lorsque x tend vers  
1  x2  1
f ( x) 
lorsque x tend vers 0
x2
3
f ( x)  x 2  x  1  x lorsque x tend vers  
f (x)  x  1  x lorsque x tend vers  
Exercice 3 : Limites en un point (expressions irrationnelles)
Calculer les limites suivantes (on précisera si nécessaire les limites à droite et à gauche)
K.REDJDAL
Exercice 4 : Continuité
 x2  x  2

 x  2
On considère la fonction définie par : f ( x)  
3


si x  2
si x  2
Etudier la continuité de f sur R.
Exercice 5 :
Etudier la continuité sur R de la fonction f
si x  1
  2x  3

f ( x)   x
si  1  x  1
  3x
si x  1

définie par
Exercice 6 :

2
x  x
On considère la fonction f définie par f ( x )  
x

 0
Tracer la courbe de f .
Etudier la continuité en 0
si
x0
si x  0
Exercice 7 :
On appelle E(x) la partie entière du réel x , c’est à dire le plus grand entier inférieur ou égal à
x ( exemple E(2.54) = 2 ; E(3.7) = 3 ; ……)
Etudier la continuité de la fonction f(x)=E(x) sur R
K.REDJDAL
Exercice 8 :
 x3  1

si x  1
On considère la fonction f définie par f ( x)   x  1
 a
si x  1

Pour quelle valeur de la constante a, la fonction f est-elle continue en 1 ?
EXERCICE 9 :
Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes
f ( x )  2x 2  3x  4
f ( x) 
f ( x) 
3x  7
x

f ( x)  sin x 

3x
2x
1

x
1  sin x
3  cos x
f (x)  sincos x
f ( x) 
f ( x)  tg 3 3x 
f ( x)  Arc cos 2x 2  1

f ( x )  Arc sin x 2  1



 2x 

f ( x)  Arctg
 1  x2 
Exercice 10
a) Trouver la fonction f polynôme du 3ème degré passant par l’origine et admettant deux
extrémums M(1 , 4) et m( 3 ,0) .
b) Faire l’étude complète et tracer sa courbe.
Exercice 11
Du sommet d’un bâtiment, on lance une balle vers le haut. La position ( en mètres) de la balle
par rapport au sol à l’instant t ( t exprimé en secondes) est donnée par : s(t) = -4.9 t2 +25
t +30
1) Trouver la vitesse de la balle à la première et troisième seconde et interpréter ces
résultats.
2) Trouver l’accélération de la balle à la première et troisième seconde et interpréter ces
résultats.
K.REDJDAL
Exercice 12
On considère le schéma suivant dans lequel le polygone PQRS est un carré.
Pour quelle valeur de l’angle α , l’aire A est-elle maximale ? Donner alors la longueur du
segment PS.
Exercice 13
On désire construire, un tiroir en découpant un carré à chaque coin d’une plaque rectangulaire
de 20 cm de longueur et 10 cm de largeur et en relevant les bords rectangulaires restants.
Quels carrés faut-il découper pour que le tiroir ait des dimensions telles que son volume soit
le plus grand possible ?
Exercice 14
Un génératrice de force électromotrice E et de résistance interne r agit sur une résistance
externe R . Trouver la valeur de R pour que la puissance dégagée dans R soit maximale si E
et r sont constants. La puissance dans un tel circuit est donnée par la loi de Joule
K.REDJDAL
Exercice 15
Dans une plaque circulaire de diamètre 100 cm, on veut découper une plaque rectangulaire
de surface maximale. Quelles sont les dimensions de cette plaque rectangulaire.
Exercice 16 : Trigonométrie
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Exercice 17 : Trigonométrie et optimisation
Une gouttière est obtenue en repliant de chaque côté un tiers d’une longue
feuille de zinc de 30 cm de large.
Comment faut-il choisir  pour que la gouttière puisse retenir la plus grande
quantité d’eau possible ?
K.REDJDAL
Exercice 18 : Fonctions trigonométriques réciproques
a)
Donner les valeurs des expressions suivantes
b) Calculer
c) Propriétés à démontrer
d) Résoudre les équations suivantes
K.REDJDAL
Exercice 19 : Fonctions hyperboliques et hyperboliques réciproques
a) Montrer les égalités suivantes
a2)
b) Résoudre les équations et systèmes suivants
c)
On pose
C1) Déterminer le domaine de définition de f
C2) Calculer la dérivée f’ en précisant son domaine
C3) En déduire une expression simplifiée de f
K.REDJDAL
REPONSES AUX EXERCICES SUR LE CHAPITRE 2
Exercice 1 :
f ( x) 
Domaine de définition
x1
x x6
x1
f ( x) 
x2  1
x 2  3x  5
x 2  3x  4
Exercice 2 :
f ( x) 
f ( x) 
]-∞ ; +∞[
Réponse :
]1 ; 2]
Limites
x2  1
x2  x  2
2x 2  1
x3  x  2
2x 3  x  1
x 2  2x  2
x2  1
x2  x  2
lorsque x tend vers  
Réponse : 1
lorsque x tend vers  
Réponse : 0
lorsque x tend vers  
lorsque x tend vers 1
1  x  1  x2
x
f ( x) 
f (x)  x  1  x  2
f ( x) 
Réponse :
4  x2
f ( x) 
f ( x) 
Réponse : ]-∞ ; 1[]2 ; +∞[
x 2  3x  2
f ( x) 
f ( x) 
Réponse : ]-∞ ; -3[]-3 ; 2[]2 ; +∞[
2
3
lorsque x tend vers 0
lorsque x tend vers  
1  x2  1
lorsque x tend vers 0
x2
Réponse : - 
Réponse : 2/3
Réponse : 1/2
Réponse : 0
Réponse : 1/3
K.REDJDAL
f ( x)  x 2  x  1  x lorsque x tend vers  
Réponse : 1/2
f (x)  x  1  x lorsque x tend vers  
Réponse - 
Exercice 3 : Limites en un point (expressions irrationnelles)
Réponses :
a) 1/24
b) 18
c) 3/2
d) 1
e) -4/9
f) +1/2
Exercice 4 : Continuité
 x2  x  2

 x  2
On considère la fonction définie par : f ( x)  
3


si x  2
si x  2
Etudier la continuité de f sur R.
Réponse : f est continue sur R
Exercice 5 :
Etudier la continuité sur R de la fonction f
si x  1
  2x  3

f ( x)   x
si  1  x  1
  3x
si x  1

définie par
K.REDJDAL
Réponse : f (1+)= -3
et f(1-)= 1 . La fonction n’est pas continue en 1
Exercice 6 :

2
x  x
On considère la fonction f définie par f ( x )  
x

0

Tracer la courbe de f .
Etudier la continuité en 0
si
x0
si x  0
Réponse : f (0+) = 1 et f(0-) = -1 donc f n’est pas continue en 0
Exercice 7 :
On appelle E(x) la partie entière du réel x , c’est à dire le plus grand entier inférieur ou égal à
x ( exemple E(2.54) = 2 ; E(3.7) = 3 ; ……)
Etudier la continuité de la fonction f(x)=E(x) sur R
Réponse :
sur Z
f( k+) = k
et f(k-)= k-1 pour tout k  Z . La fonction n’est pas continue
K.REDJDAL
Exercice 8 :
 x3  1

si x  1
On considère la fonction f définie par f ( x)   x  1
 a
si x  1

Pour quelle valeur de la constante a, la fonction f est-elle continue en 1 ?
Réponse : a=3
Exercice 9 : Dérivées
f ( x )  2x 2  3x  4
f ( x) 
f ( x) 
Réponse : f ' ( x) 
3x  7
Réponse : f ' ( x) 
x
3x
2x
Réponse : f ' ( x ) 

f ( x)  sin x 

1

x
f ( x)  tg 3 3x 


f ( x)  Arc cos 2x 2  1

3x  7
2x x
3 2x
( 2  x ) 2 3x
Réponse : f ' ( x)  (  sin x)coscos x 
1  sin x
3  cos x
f ( x )  Arc sin x 2  1
2 2x 2  3x  4
1  
1

Réponse : f ' ( x)   1  2  cos x  
x
x  

f (x)  sincos x
f ( x) 
4x  3

 2x 

f ( x)  Arctg
 1  x2 
Réponse : f ' ( x) 
 3 cos x  sin x  1
( 3  cos x) 2
Réponse : f ' ( x) 
9 tg 3 ( 3x)
cos2 ( 3x)
'
Réponse : f ( x) 
'
Réponse : f ( x ) 
Réponse :
f ' ( x) 
 2x
x 1  x2
2x
1  (1  x 2 ) 2
2
(1  x 2 )
K.REDJDAL
Exercice 10 :
Réponse : f(x)= x3-6x2+9x
Exercice 11 :
Réponses :
a)
A la première seconde, la vitesse est de 15.2 m/s et à la troisième seconde elle
est de -4.4 m/s
b)
A la première seconde, l’accélération est de -9.8 m/s2 et à la troisième seconde
elle est de -9.8 m/s2
Exercice 12 : Réponse : l’air e A est maximale lorsque α vaut envion 63.345
degrés (plus précisemment lorsque α vérifie l’équation tgα =2) et alors PS mesure
0.894 unités
Exercice 13 : Réponse : carré de côté 5 
5 3
cm
3
Exercice 14 : Réponse : R =r
Exercice 15 : Réponse : Longeur en mètres = largeur en mètres =
Exercice 16 : Réponse :
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
2
2
K.REDJDAL
Exercice 17 : Réponse :
Exercice 18 : Réponses
π
π
π
π
π
π
π
π
=
π
π
Exercice 19 :