I Des statistiques aux probabilités

I Des statistiques aux probabilités
I.1 La situation proposée
Un centre de loisirs offre à ses adhérents la possibilité de pratiquer le tennis, le cheval et le V.T.T.
Une étude statistique faite sur une année a mis en évidence les résultats suivants:
Tennis
27
18
5
12
8
17
7
Cheval
6
58% des adhérents ont pratiqué le tennis
32% ont pratiqué le cheval,
VTT
52% ont pratiqué le V.T.T.,
23% ont pratiqué le tennis et le V.T.T.,
13% ont pratiqué le tennis et le cheval;
17% ont pratiqué le V.T.T. et le cheval,
5% ont pratiqué les trois sports.
Tous les résultats sont alors consignés
dans le diagramme ci-contre.
Centre de loisir
I.2 Analyse en termes de probabilités
● Expérience aléatoire : On choisit au hasard, à un instant donné, un adhérent dans le
centre de loisirs, et on s'intéresse aux sports qu'il pratique. On suppose qu'à cet instant, les
proportions précédentes sont respectées.
● Cette expérience aléatoire permet alors de définir trois événements
• T: « L'adhérent choisi pratique le tennis »
• C : « L'adhérent choisi pratique le cheval »
• V: « L'adhérent choisi pratique le V.T.T. »
A chaque événement, nous affectons un nombre de l'intervalle [0,1] appelé probabilité de
l'événement, qui n'est autre que la proportion d'adhérents pratiquant l'activité indiquée.
On notera: P (T) = 0,58, P (C) = 0,32, P (V) = 0,52.
● Intersection de 2 événement (T ∩ V) : « L'adhérent choisi pratique le tennis et le
V.T.T. ». Les données nous donnent directement le résultat: P (T ∩ V) = 0,23
● Réunion de 2 événement (T ∪ V) : « L'adhérent choisi pratique le tennis ou le V.T.T. ».
Les données ne nous donnent pas ici le résultat, mais on observe sur le diagramme que l'on
peut écrire :
P (T ∪ P) = P (T) + P (V) – P(T ∩ V) = 0,87.
● Evénement contraire T : « L'adhérent choisi ne pratique pas le tennis ». On l'appelle
événement contraire de T.
Les données nous permettent de dire que 58 % des adhérents pratiquent le tennis et alors
P  T  =1 – P T =0,42
I.3 Probabilité
I.3.1 Vocabulaire complémentaire
Univers : ensemble Ω = (e1, e2, ...) d'éventualités ou de possibles.
Evénement élémentaire : événement ne comportant qu'une seule éventualité (singleton).
Evénements incompatibles : parties A et B disjointes (A ∩ B = ∅).
Par exemple : on lance un dé A : « obtenir un numéro pair » et B : « obtenir le 3 »
I.3.2 Définition
Soit Ω un univers fini. Une probabilité sur Ω est une application P de l’ensemble P(Ω) des
événements dans l’intervalle [0 ;1] telle que :
Axiome 1 : P(Ω) = 1
Axiome 2 : Pour tous événements A et B, si A ∩ B = ∅, alors P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
I.3.3 Propriétés
✔
✔
✔
✔
✔
0  Prob(A)  1
Prob ( A ) = 1 – Prob (A)
Prob(∅) = 0 d’où Prob() = 1
A∩ B=∅
Prob(A ∪ B) = Prob (A) + Prob(B)
A∩ B≠∅
Prob(A ∪ B) = Prob (A) + Prob(B) – Prob(A ∩ B)
I.3.4 Equiprobabilité
L’équiprobabilité correspond au cas où tous les événements élémentaires ont la même
probabilité.
Si les n événements sont équiprobables, chacun a la probabilité .
Dans le cas où tous les événements élémentaires ont la même probabilité, la probabilité d’un
événement A, est :
card  A
P  A=
card  B
II Des statistiques aux probabilités conditionnelles
II.1 La situation proposée
La production de pièces dans une entreprise s'effectue à l'aide de trois machines ml , m2 , m3
dans les proportions suivantes :
ml fabrique 5 0 % de la production totale,
m2 fabrique 30 % de la production totale,
m3 fabrique 20 % de la production totale.
On admet que la production est homogène dans le temps, c'est-à-dire que, à tout instant, les
proportions précédentes sont respectées.
Un contrôle de qualité révèle que m 1 produit 88 % de pièces conformes aux normes de fabrication,
m2 en produit 90 % et m3 85 %.
On prélève au hasard une pièce dans la production et on s'intéresse à la machine dont elle provient.
II.2 Analyse en termes de probabilités
II.2.1
Des fréquences aux probabilités
La locution « au hasard » sous-entend que deux pièces quelconques de la production ont la même
probabilité d'être prélevées. A cette expérience aléatoire sont associés trois événements :
● Pour tout entier i de 1 à 3 on note M i l'événement : « la pièce fabriquée provient de la
machine mi ». D'après l'énoncé, on a: P  M 1 =0,5 , P  M 2 =0,3 , P  M 3 =0,2 .
● Les données permettent de définir un nouvel événement C : « la pièce prélevée est conforme
aux normes » et C son contraire.
Néanmoins, les données statistiques précédentes ne nous permettent pas de déterminer directement
la probabilité de l'événement C (et donc de son contraire) sur la production totale.
II.2.2
Probabilités conditionnelles
On peut alors définir de nouvelles probabilités, non plus sur la production totale, mais plutôt sur la
production de chaque machine. Notons P M , la probabilité définie sur la production de la machine
M 1 . Dire que « ml produit 88% de pièces conformes aux normes » sera noté P M C  = 0,88.
1
1
Ce raisonnement est fondé sur un changement d'univers, et on a :
P M C  = 0,88 ;
P M C  = 0,9 ,
P M C  = 0,85.
P C / M 1
On utilise souvent l'écriture P M C =P  C / M i  .
1
2
3
i
On en déduit les probabilités de l'événement
dans la production :
P M C =P  C /M 1 =1− P  C / M 1 =0,12
P M C =P C /M 2 =1−P  C /M 2 =0,1
P M C =P  C /M 3 =1−P  C / M 3 =0,15
conditionnés par la provenance de la pièce prélevée
1
2
3
On peut présenter la situation sous forme d'un arbre :
P  M 1
M1
M3
M2
P C / M 1 P C / M 1
C
P  M 3
P  M 2
C
P C / M 2
C
P C / M 2
C
P C / M 3 P C / M 3
C
C
La proportions de pièces conformes fabriquées par m1 dans la production totale est donc 88 % des
50 % de pièces fabriquées par m1 c'est à dire 0,88×0,5=0,44 donc 44 % des pièces de la
production totale sont conformes et fabriquées par m1 .
On a donc: P C ∩M 1 =P  C / M 1 ×P  M 1=0,88×0,5=0,44
De même P C ∩M 2 =P  C / M 2 × P M 2=0,9×0,3=0,27
et P C ∩M 3 =P  C / M 3 ×P  M 3 =0,85×0,2=0,17
Définition : Soit un événement B tel que P(B) ≠ 0.
On appelle probabilité de A sachant que B est réalisé ou probabilité de A sachant B :
P  A∩B
P B  A=P  A /B =
P  B
Propriété : Pour tous événements A et B de probabilités non nulles.
P(A ∩ B) = P(A/B) P(B) = P(B/A) P(A)
Ccl : P C =P C ∩M 1  P C ∩M 2 P C ∩M 3 car les événements sont incompatibles.
P (C) = 0,44 + 0,27 + 0,17 = 0,88.
La probabilité d'obtenir une pièce conforme est de 88 %.
On peut résumer la situation sous la forme d'un tableau :
III
M1
M2
M3
Total
C
0,44
0,27
0,17
0,88
C
0,06
0,03
0,03
0,12
Total
0,50
0,30
0,20
1
Evénements indépendants
Soit Ω un espace probabilisé. Les événements A et B sont indépendants si :
Prob (A/B) = Prob (A)
ce qui signifie que la probabilité que A se réalise est indépendante du fait que B soit réalisé ou non.
Deux événements sont indépendants si et seulement si :
Prob (A ∩ B) = Prob (A) × Prob(B) ou Prob (A/B) = Prob (A)
En reprenant l'exemple précédent, on a :
P  C / M 1 =0,88 et P C =0,88 donc P  C / M 1 =P C  donc les événements C et M 1 sont
indépendants.
P  C / M 2 =0,9 et P C =0,88 donc P  C / M 2  ≠P C  donc les événements C et M 2 sont
indépendants.