Fiche Professeur - Gradus ad Mathematicam

11
6 882 309 est-il divisible
par 7 ? 11 ? 13 ?
Fiche Professeur
TS
Spé
Math
Auteurs : Pierre Lapôtre & Raymond Moché
Objet de l’activité : Arithmétique En fait, on se pose la question de la divisibilité pour un entier
n ⩾ 1 quelconque. Cela donne un exercice d’arithmétique sur les congruences. On utilise aussi la division euclidienne de a par b ⩾ 1, a pouvant être négatif. La mise en œuvre algorithmique est donnée
ci-dessous mais n’est pas demandée. L’activité se termine par deux applications assez agréables.
Commentaires :
• Cette activité est plutôt facile.
• Pour savoir si un nombre est divisible par sept, on peut, bien sûr, poser la division ou la faire à la
machine (calculatrice, ordinateur). C’est plus simple que ce qui suit. Aussi, les résultats démontrés
ici sont sans réel intérêt pratique.
• Il aurait peut-être été préférable de remplacer cette activité par la démonstration de : « un nombre
entier est divisible par 3, respectivement 9, si la somme de ses chiffres est divisible par 3, respectivement 9 ». Cela repose sur la congruence 10 ≡ 1 [3, 9]. C’est plus simple et ce critère de divisibilité
est utile.
Pré-requis (arithmétique) : division euclidienne (avec dividende de signe quelconque), congruences,
nombres premiers, unicité de la décomposition d’un nombre entier en produit de nombres premiers.
Rappel sur les congruences : soit a, a′ , b, b′ des entiers de signe quelconque et p un entier ⩾ 2. Alors,
(a ≡ b [p] et a′ ≡ b′ [p]) =⇒ (a + b ≡ a′ + b′ [p] et a· b ≡ a′ · b′ [p])
Matériel utilisé (professeur) : Ordinateur équipé de scilab pour les lycées.
Durée indicative : Une heure.
Fichiers téléchargeables :
• Pour les élèves : Fiche Élève (.pdf).
• Pour les professeurs : Fiche Professeur (.pdf) & fichier Div (.sci).
Solution :
2
1.a - 106 = (103 ) ≡ (−1)2 = 1 [7], puis 109 = 106 · 103 ≡ 1· (−1) = −1 [7].
1.b - De même, pour tout entier k ⩾ 1,
(
106k = 106
2.a - Facile :
)k
≡ 1k = 1 [7] puis 106k+3 = 106k · 103 ≡ 1· (−1) = −1 [7]
6 882 309 = 6· 106 + 882· 103 + 309
≡ 6· (1) + 882· (−1) + 309 [7]
= −567
En fait, dans les questions 1.a et 1.b, on peut remplacer le modulo 7 par n’importe lequel des
modulos envisagés ci-dessus, parce que ces nombres divisent 1001. Par conséquent, nous venons de
démontrer que
6 882 309 ≡ −567 [7, 11, 13, 77, 91, 143, 1001]
1
2.b - En divisant -567 par les différents modulos, on fait apparaître les restes demandés :
6 882 309 ≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
0 [7]
5 [11]
5 [13]
49 [77]
70 [91]
5 [143]
434 [1001]
Cela peut se faire à la main. Le but est d’écrire -567 comme la somme d’un multiple du modulo
considéré et d’un entier naturel strictement plus petit que ce modulo. Avec scilab, respectivement
Xcas, on utilisera la commande pmodulo, respectivement mod.
2.c - On constate que 6 882 309 est divisible par 7 seulement.
3.a - Voir 2.a.
3.b - On déduit de 3.a que n = ap ap−1 . . . a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 est divisible par 7 si et seulement si
m = a2 a1 a0 − a5 a4 a3 + a8 a7 a6 − . . . est divisible par [7]. Même chose pour les autres modulos. Ce
n’est pas folichon mais c’est programmable facilement. La fonction-scilab ci-dessous associe à tout
entier n (⩾ 1) le nombre m correspondant. Elle est téléchargeable (fichier Div (.sci)) et peut être
utilisée pour une démonstration en classe.
function N=Div ( n ) // n e s t un e n t i e r >=1 donne .
m=0 ;
k=0 ;
while n>=1
r=r e s t e ( n , 1 0 0 0 ) ;
m=m+(−1)^k∗ r ;
n=(n−r ) / 1 0 0 0 ;
k=k+1 ;
end
N=m;
endfunction
Retrouvons les résultats de la question 2.b à l’aide de scilab :
−−>exec ( ’ Chemin␣ de ␣ Div ’ , −1)
−−>m=Div ( 6 8 8 2 3 0 9 )
m =
− 567.
−−>r=pmodulo(m, 7 )
r =
0.
−−>r=pmodulo(m, 1 1 )
r =
5.
−−>r=pmodulo(m, 1 3 )
r =
5.
−−>r=pmodulo(m, 7 7 )
r =
2
49.
−−>r=pmodulo(m, 9 1 )
r =
70.
−−>r=pmodulo(m, 1 4 3 )
r =
5.
−−>r=pmodulo(m, 1 0 0 1 )
r =
434.
−−>
4.a - Si n = ap ap−1 . . . a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 est une puissance de 10, ap = 1 tandis que tous les autres
chiffres sont égaux à 0. Par conséquent, les seules valeurs possibles de m sont : 1, 10, 100, -1, -10
et -100. Ces valeurs ne sont pas divisibles par 7. Aucune puissance de 10 n’est donc divisible par 7.
Même chose pour la divisibilité par 11 et 13 et a fortiori pour les autres modulos.
Autre solution : si n = 10k = 2k · 5k (décomposition de 10k en produit de nombres premiers), n
n’est divisible que par 2 et par 5. Il n’est donc pas divisible par 7, 11 ou 13 ou des produits de ces
nombres.
4.b - Si n = ap ap−1 . . . a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 = 10 . . . 01, ap = a0 = 1, les autres chiffres sont égaux à
0. Considérons le tableau suivant qui donne les premières valeurs de n et les valeurs correspondantes
de m :
n 1 001 10 001 100 001 1 000 001 10 000 001 100 000 001
m
0
-9
-99
2
11
101
Ensuite, à partir de 1 000 000 001, on retrouve la même succession de valeurs pour m, indéfiniment,
avec la période 6 (d’après la question 3.a, si on efface dans n deux blocs consécutifs de 3 zéros, on
ne change pas m). Par conséquent, les seuls nombres de la forme 10 . . . 01 qui sont divisibles par 7
sont ceux qui ont 6· k + 2 (k ⩾ 0) zéros.
3