Corrigé énoncé non spacialistes

Epreuve de Mathématiques
Terminale S
La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part
importante dans l'appréciation des copies.
L'usage de la calculatrice est autorisé.
Exercice 1
5 points
Commun à tous les candidats
Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la
copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune
justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l'absence de
réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct d'origine O.
Question 1
1
Soit z un nombre complexe non nul. L'équation z + = 0 a pour solution(s) :
z
a) {−1 ; i}
b) Ø
c) {−i ; i}
Question 2
La mesure principale de l'argument de −2e−iπ/3 est :
2π
2π
a)
b) −
c) π
d) – π
3
3
3
3
Question 3
A, B et C sont les points d'affixes respectives zA = 3 + 2i 3, zB= − i 3 et zC = −3 + 2i 3.
z −z
La forme exponentielle du nombre complexe Z = A B est :
zC − zB
a) 2e
−iπ/3
b) e
−iπ/6
c) e
−iπ/3
d) e
2iπ/3
Question 4
 2
22013
La forme trigonométrique sur nombre complexe  − i 
est
2
2
2013π
2013π
a) 1 − i
b) cos
 − sin

 4 
 4 
3π
3π
2
2
c) cos  + isin 
d)
−i
4
4
2
2
 
 
Question 5
A tout nombre complexe z ≠ −2, on associe le nombre complexe z' défini par z' =
L'ensemble des points M d'affixe z tels que | z' | = 1 est
a) Un cercle de rayon 1
b) Une droite
c) Une droite privée d'un point
d) Un cercle privé d'un point.
z − 4i
z+2
Exercice 2
Commun à tous les candidats
On considère la fonction numérique f définie sur r par : f ( x ) = x ² e x −1 −
5 points
x²
.
2
Le graphique ci-après est la courbe représentative de
cette fonction telle que l’affiche une calculatrice
dans un repère orthonormal.
Partie A – Conjectures
A l’observation de cette courbe, quelles conjectures
pensez-vous pouvoir faire concernant :
1) Le sens de variation de f sur l’intervalle [− 3;2] ?
2) La position de la courbe par rapport à l’axe des
abscisses ?
Dans la suite de ce problème, on se propose de
valider ou non ces conjectures.
Partie B – Contrôle de la première conjecture.
1) Un logiciel de calcul formel, Xcas, a fourni les
résultats suivants :
Retrouver le résultat obtenu pour f ' ( x ) , pour tout réel x, et l’exprimer à l’aide de l’expression
g (x ) où g est la fonction définie sur r par : g ( x ) = ( x + 2)e x −1 − 1
2) Calculer g ' ( x ) et étudier son signe suivant les valeurs de x.
3) En déduire le sens de variation de g et dresser son tableau de variation complet (en
justifiant la limite) sur [−3 ; +∞[.
4) Montrer que l’équation g ( x ) = 0 possède une unique solution dans [−3 ; 2]. On note α
cette solution. Montrer que 0,20 < α < 0,21 .
5) Déterminer le signe de g (x ) sur [−3 ; 2] suivant les valeurs de x.
6) Etudier, suivant les valeurs de x, le signe de f ' ( x ) sur l’intervalle [–3 ; 2] et en déduire le
sens de variation de la fonction f sur ce même intervalle. Que pensez-vous de votre première
conjecture ?
Partie C – Contrôle de la deuxième conjecture
−α 3
1) Montrer que f (α ) =
.
2(α + 2)
2) On considère la fonction h définie sur l’intervalle [0;1] par : h( x) =
− x3
.
2( x + 2)
a) Déterminer le sens de variation de h.
b) En utilisant l'encadrement de α trouvé dans la partie B, en déduire un encadrement de
f (α ) .
c) Que pensez-vous de votre deuxième conjecture ?
Exercice 3
Commun à tous les candidats
Partie A
On considère l’algorithme suivant :
Les variables sont le réel U et les entiers naturels k et N.
5 points
Entrée
Saisir le nombre entier naturel non nul N
Traitement
Affecter à U la valeur 0
Pour k allant de 0 à N − 1
Affecter à U la valeur 3U − 2k + 3
Fin Pour
Sortie
Afficher U
Quel est l’affichage en sortie lorsque N = 3 ?
Partie B
On considère la suite (un) définie par u0 = 0 et, pour tout entier naturel n, un + 1 = 3un −2n +3.
1) Calculer u1 et u2.
2) a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un ≥ n.
b) En déduire la limite de la suite (un).
3) Démontrer que la suite (un) est croissante.
4) Soit la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn = un − n +1.
a) Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique.
b) En déduire que, pour tout entier naturel n, un = 3n + n −1.
5) Soit p un entier naturel non nul.
a) Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe au moins un entier n0 tel que,
pour tout n ≥ n0, un ≥ 10 p ?
On s’intéresse maintenant au plus petit entier n0.
b) Justifier que n0 £ 3p, pour p supérieur ou égal à 1.
c) Déterminer à l’aide de la calculatrice cet entier n0 pour la valeur p = 3.
d) Proposer un algorithme qui, pour une valeur de p donnée en entrée, affiche en sortie la
valeur du plus petit entier n0 tel que, pour tout n ≥ n0 , on ait un ≥ 10p.
Exercice 4
Pour les élèves n'ayant pas choisi la spécialité mathématiques
5 points
Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à 10 − 4.
Dans un pays, il y a 2% de la population contaminée par un virus.
Partie A
On dispose d’un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :
• La probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité du test).
• La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97 (spécificité du
test).
On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.
On note V l’événement « la personne est contaminée par le virus » et T l’événement « le test
est positif ».
− −
V et T désignent respectivement les événements contraires de V et T.
−
1) a) Préciser les valeurs des probabilités P(V), PV(T) et P V−( T ).
Traduire la situation à l’aide d’un arbre de probabilité.
b) En déduire la probabilité de l’événement V ∩ T.
2) Démontrer que la probabilité que le test soit positif est 0,049 2.
3) a) Justifier par le calcul la phrase :
« Si le test est positif, il n’y a qu’environ 40% de « chances » que la personne soit
contaminée ».
b) Déterminer la probabilité qu’une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant
que son test est négatif.
PARTIE B
On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les
tirages sont indépendants.
On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus
parmi ces 10 personnes.
1) Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
2) Calculer la probabilité qu’il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10.