NOMBRES PREMIERS

FICHE 5
NOMBRES PREMIERS
Dénition
On dit qu'un entier naturel p est premier s'il possède exactement deux diviseurs positifs (1 et lui-même).
Un entier naturel non premier est dit composé.
Exemples 0 et 1 ne sont donc pas premiers. 2 est le plus petit nombre premier.
C'est le seul qui est pair. Les suivants sont : 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, . . .
Théorème
Soit a ≥ 2 un entier naturel.
? a admet un diviseur premier ;
? Si a n'est pas premier, il admet un diviseur premier p tel que :
√
2 ≤ p ≤ a.
Démonstration
Supposons que a ne soit pas premier.
a doit admettre un diviseur positif autre que 1 et a : soit p le plus petit diviseur
positif de a autre que 1. On a donc : 2 ≤ p < a. p est premier car s'il avait un
diviseur positif d autre que 1 et p, il diviserait a et on aurait : 2 ≤ d < p < a et p
ne serait pas le plus petit diviseur positif de a autre que 1.
De plus, p divisant a il existe√p0 diviseur de a tel que 2 ≤ p ≤ p0 et pp0 = a d'où :
p2 ≤ pp0 = a et donc 2 ≤ p ≤ a.
Pour tester si un entier naturel a > 1 est premier,
il sut donc de tester qu'il n'a
√
pas de diviseur premier p tel que : 2 ≤ p ≤ a.
Crible d'Eratosthène
Il s'agit d'une méthode permettant de trouver tous les nombres premiers compris
entre 2 et n (entier naturel donné). On écrit tous les entiers entre 2 et n, puis on
entoure le premier nombre 2 (il est premier) puis on raye tous ses multiples.
On entoure le premier nombre non barré (3 donc) puis on raye√tous ses multiples.
On continue . . . Dès que le premier nombre non barré a dépassé n, on peut entourer
de conance tous les entiers non encore barrés : ils sont tous premiers.
FICHE 5
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NOMBRES PREMIERS
Théorème
Il existe une innité de nombres premiers.
Démonstration par l'absurde (due à Euclide)
Supposons qu'il n'existe qu'un nombre ni de nombres premiers, le plus grand de
tous les nombres premiers étant noté P .
Considérons l'entier N = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × . . . × P + 1. (produit de tous les
nombres premiers plus un)
D'après le théorème précédent N admettrait un diviseur premier p. p diviserait N
et p diviserait le produit 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × . . . × P , donc p diviserait leur diérence
qui vaudrait 1. Ceci est impossible.
Il y a donc une innité de nombres premiers.
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§Ex
¥
5.1 ¦
Indiquer pour chacun des nombres suivants s'il est premier :
481 ; 483 ; 485 ; 487.
¨
§Ex
¥
5.2 ¦
Pour quelles valeurs du nombre entier n le nombre suivant est-il premier ?
a) n2 − 8n + 15
b) n2 + 4n + 3.
(Essayer de factoriser ces polynômes).
¨
§Ex
¥
5.3 ¦
Pour quelles valeurs des nombres entiers naturels n et m le nombre 2n2 + 5nm + 3m2
est-il premier ? Aide : 2n2 + 5nm + 3m2 = (n + m)(2n + 3m).
¨
§Ex
¥
5.4 ¦
2
Factoriser n4 + 4 en partant de : n4 + 4 = (n2 + 2) − 4n2 .
Pour quelles valeurs entières de n l'entier n4 + 4 est-il premier ?
¨
§Ex
¥
5.5 ¦
Si p est un nombre premier et n un entier naturel non nul.
Montrer que deux cas seulement peuvent se présenter :
- soit p divise n ;
- soit p et n sont premiers entre eux.
¨
§Ex
¥
5.6 ¦
100 ! désigne le produit de tous les entiers de 1 à 100. Justier que 100! + 2, 100! + 3,
100! + 4, . . . , 100! + 100 sont 99 entiers consécutifs tous composés.
Deux nombres premiers sont dits jumeaux si leur diérence est égale à 2.
¨
§Ex
¥
5.7 ¦
Pour vérier que 1607 et 1609 sont des nombres premiers jumeaux, par quels nombres
premiers faut-il vérier qu'ils ne sont pas divisibles ?
Les nombres 33 218 925 × 2169 690 ± 1 sont deux nombres premiers jumeaux de plus de
50 000 chires (découverts en 2002). On ne sait toujours pas s'il existe une innité
de nombres premiers jumeaux.
FICHE 5
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NOMBRES PREMIERS