Université Pierre et Marie Curie Master de Sciences et Technologies Mention Mathématiques et Applications Spécialité Education et Formation, Section CAPES, M1 Année 2011 - 2012 ARITHMÉTIQUE Exercices Exercice 3.1. (a) Soit n un nombre entier strictement positif. Trouver le plus grand diviseur commun des nombres 2n + 13 et n + 7. (b) Soit n un nombre entier strictement positif. Trouver le plus grand diviseur commun des nombres n2 + 3n + 3 et n + 2. (c) Trouver le plus grand diviseur commun de 111...11 (le chiffre 1 est répété 100 fois) et 111...11 (le chiffre 1 est répété 30 fois). (d) Trouver le plus grand diviseur commun de 260 − 1 et 250 − 1. Exercice 3.2. Trouver toutes les solutions en nombres entiers de l’équation 11x + 17y = 1. Exercice 3.3. L’écriture décimale d’un nombre entier strictement positif n est formée par dix chiffres 0, dix chiffres 1 et dix chiffres 2. Montrer que n n’est pas le carré d’un nombre entier. Exercice 3.4. (a) Trouver tous les nombres entiers premiers n tels que 8n2 + 1 soit aussi premier. (b) Montrer que 2100 − 1 n’est pas la somme de deux carrés de nombres entiers. (c) Existe-il des nombres entiers a et b tels que 7a2 − 3b3 = 6 ? Exercice 3.5. Un nombre entier strictement positif abc à trois chiffres est un nombre premier. Montrer que b2 − 4ac n’est pas le carré d’un nombre entier. 1