TS4 DS9 25/05/11

TS4 DS9 25/05/11
Exercice 1: (4 points) Nouvelle Calédonie mars 2007
Pour chaque question une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la
question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte
rapporte les points attribués à la question, une réponse inexacte enlève la moitié des points attribués à la question,
l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif la note est ramenée à 0.
A. Un sac contient 3 boules blanches, 4 boules noires et 1 boule rouge, indiscernables au toucher. On tire, au hasard,
successivement, trois boules du sac, en remettant chaque boule tirée dans le sac avant le tirage suivant.
Question 1 : La probabilité de tirer trois boules noires est :
4
3
a.
8
3
b.
9
8
1
c. ( )3
2
d.
4×3×2
8×7×6
Question 2 : Sachant que Jean a tiré 3 boules de la même couleur, la probabilité qu’il ait tiré 3 boules rouges est :
1
b. ( )3
8
a. 0
c.
23
128
d.
1
92
B. Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par f (x) = x + m où m est une constante réelle.
Question 3 : f est une densité de probabilité sur l’intervalle [0 ; 1] lorsque :
a. m = −1
b. m =
1
2
c. m =
d. m = e−1
C. La durée de vie en années d’un composant électronique suit une loi exponentielle de paramètre 0,2.
Question 4 : La probabilité que ce composant électronique ait une durée de vie strictement supérieure à 5 ans est :
a. 1 −
1
e
b.
1
e
c.
1
5e
d.
1
(e – 1)
0,2
Exercice 2 :( 6 points) Polynésie sept 10
Un jeu consiste à tirer simultanément 4 boules indiscernables au toucher d’un sac contenant une boule noire et 9
boules blanches, puis à lancer un dé bien équilibré à six faces numérotées de 1 à 6.
Si la boule noire est tirée, il faut obtenir un nombre pair avec le dé pour gagner. Si la boule noire n’est pas tirée, il faut
obtenir un six avec le dé pour gagner.
On appelle N l’évènement « la boule noire figure parmi les boules tirées » et G l’évènement « le joueur gagne ».
1. a. Déterminer la probabilité de l’évènement N.
3
. On pourra s’aider d’un arbre pondéré.
10
c. Le joueur ne gagne pas. Quelle est la probabilité qu’il ait tiré la boule noire ?
b. Démontrer que la probabilité de l’évènement G est égale à
2. Pour jouer à ce jeu, une mise de départ de m euros est demandée, où m est un réel strictement positif.
Si le joueur gagne, il reçoit 4 euros.
S’il ne gagne pas mais qu’il a tiré la boule noire, le joueur récupère sa mise.
S’il ne gagne pas et qu’il n’a pas tiré la boule noire, le joueur perd sa mise.
On appelle X la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur.
a. Déterminer la loi de probabilité de X.
b. Exprimer l’espérance mathématique de X en fonction de m.
c. On dit que le jeu est équitable si l’espérance mathématique de X est nulle.
Déterminer m pour que le jeu soit équitable.
3. Soit n un entier naturel non nul.
On joue n fois à ce jeu sachant qu’après chaque partie les boules sont remises dans le sac.
Déterminer la valeur minimale de n pour laquelle la probabilité de gagner au moins une fois est supérieure à 0,999.
Exercice 3: ( 10 points)Polynésie juin 2010
Partie A
Prérequis
Soit z un nombre complexe tel que z = a +bi où a et b sont deux nombre réels. On note z, le nombre complexe défini
par z = a −bi.
Questions
1. Démontrer que, pour tous nombres complexes z et z′,
= ×
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n 1, et tout nombre complexe z ,
Partie B
On considère l’équation (E) : z4 = − 4 où z est un nombre complexe.
1. Montrer que si le nombre complexe z est solution de l’équation (E) alors les nombres complexes –z et z sont aussi
solutions de l’équation (E).
2. On considère le nombre complexe z0 = 1 + i.
a. Écrire le nombre complexe z0 sous forme exponentielle.
b. Vérifier que z0 est solution de l’équation (E).
3. Déduire des deux questions précédentes trois autres solutions de l’équation (E).
Partie C
Soient A, B, C et D les points d’affixes respectives :
zA = 1+ i ; zB = −1+ i ; zC = −1− i et zD = 1− i.
π
Soit r la rotation du plan de centre C et d’angle de mesure – .
3
On appelle E l’image du point B par r et F celle du point D par r .
1. Déterminer l’écriture complexe de la rotation r .
2. a. Démontrer que l’affixe du point E, notée zE, est égale à −1+ 3
b. Déterminer l’affixe zF du point F.
c. Démontrer que le quotient
zA −zE
est un nombre réel.
zA −zF
d. Que peut-on en déduire pour les points A, E et F ?
TS4 DM15 pour mercredi 31/05/11
Pondichéry 2007
Pour réaliser une enquête, un employé interroge des personnes prises au hasard dans une galerie commerçante. Il se
demande si trois personnes au moins accepteront de répondre.
1. Dans cette question,
on suppose que la probabilité qu’une personne choisie au hasard accepte de répondre est 0,1.
L’employé interroge 50 personnes de manière indépendante.
On considère les évènements :
A : « au moins une personne accepte de répondre »
B : « moins de trois personnes acceptent de répondre »
C : « trois personnes ou plus acceptent de répondre ».
Calculer les probabilités des évènements A, B et C. On arrondira au millième.
2. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3.
Dans cette question, on suppose que la variable aléatoire X qui, à tout groupe de n personnes interrogées
indépendamment, associe le nombre de personnes ayant accepté de répondre, suit la loi de probabilité définie par :
e–a ak
Pour tout entier k tel que 0  k  n –1 , P( X = k ) =
et
k!
n –1
P( X = n ) = 1 –

e–a ak
,
k!
k=0
Formules dans lesquelles a =
n
10
a. Montrer que la probabilité qu’au moins trois personnes répondent est donnée par :
a2
f (a) = 1 – e–a ( 1 + a + )
2
b. Calculer f (5). En donner l’arrondi au millième.
Cette modélisation donne-t-elle un résultat voisin de celui obtenu à la question 1 ?
3. On conserve le modèle de la question 2. On souhaite déterminer le nombre minimum de personnes à interroger
pour que la probabilité que trois d’entre elles au moins répondent soit supérieure ou égale à 0,95.
a. Étudier les variations de la fonction f définie sur IR par : f (x) = 1 – e – x( 1 + x +
et déterminer sa limite en +  .
c. Montrer que l’équation f (x) = 0,95 admet une solution unique sur IR ,
et que cette solution est comprise entre 6,29 et 6,3.
c. En déduire le nombre minimum de personnes à interroger.
x2
)
2
CORRECTION DS9 TS4
Exercice1 :
4 3
1
) = ( )3 réponse c
8
2
2. P(A) = P(« tirer trois boules de même couleur ») = P(« tirer trois blanches ou trois noires ou trois rouges »)
3
4
1
= P(B1  B2  B3) + P(N1 N2 N3) + P(R1 R2 R3) + = ( )3 + ( )3 + ( )3
8
8
8
1 3
P(B) = P(« tirer trois boules rouges ») = P(R1 R2 R3) = ( )
8
1 3
( )
8
1
1
Ainsi PA(B) =
= 3
=
réponse d
3 3
4 3
1 3
3 + 43 + 1 92
( ) +( ) +( )
8
8
8
A. 1. la probabilité de tirer trois boules noires est (
1
3. 
 x + m dx = 1  [
0
x²
1
1
+ m x]01 = 1  + m = 1  m =
2
2
2
réponse b
5
–0,2x
–0,2x 5
–1
0
–1
4. P(X > 5) = 1 – P(X < 5) = 1 – 
 0,2e dx = 1 – [ – e ]0 = 1 + e – e = e =
0
1
e
réponse b
Exercice 2 :
9 
 3  84 14 2
1. a. P(N) =
=
= =
 10  210 35 5
 4 
2.
d.
P(G) = P(N et « faire un nombre pair ») + P(
e.
2 3
×
5 6
1 10 2
(N) = P(N  )/P( ) =
= × =
3 5 7 7
1–
10
et « faire 6 ») = P(N G) + P(
G) =
2 3 3 1 9
3
× + × =
=
5 6 5 6 30 10
a.
0
4–m
2 3 1
3
× =
P(G)=
5 6 5
10
1
3
8
12 6 4
b. E(X) = ( –m) + 0 +
(4 – m) = –
m+
= – m
2
10
10
10 5 5
6 4
6
3
c. E(X) = 0  – m = 0  m =  m =
5 5
4
2
d. Soit Y la variable aléatoire qui compte le nombre de parties gagnées parmi les n parties jouées.
3
Y suit la loi binomiale B(n ; )
10
7
Ainsi P(Y 1)  0,999  1 – P(Y = 0)  0,999  1 – 0,999  P(Y = 0)  0,001  ( )n
10
ln(0,001)
 ln(0,001)  n ln(0,7) n 
 n 20
ln(0,7)
Exercice 3 :
xi
P(X = xi)
–m
3 5 1
× =
5 6 2
Partie A
1.
× = (a – ib)(a’ – ib’) = aa’ – iba’ – iab’ – bb’ = aa’ – bb’ – i(ba’ + a’b)
et z×z’ = (a + ib)(a’ + ib’) = aa’ + iba’ + iab’ – bb’ = aa’ – bb’ + i(ba’ + a’b) donc
2. On pose :
»
Pn : «
On initialise :
=
et
=
donc
donc P1 est vraie .
Hérédité :Si Pn est vraie pour un n donné, alors
, donc
Or
× =
d’après les règles sur les puissances
Et
d’après le 1.
Ainsi
= ×
×
=
et Pn+1 est vraie ; on a démontré que Pn+1 est vraie dès que Pn l’est.
Conclusion : La propriété Pn est vraie
IN n  1.
Partie B
1. Si (z)4 = – 4 alors
=
=
= – 4 donc le nombre complexe z est solution de (E), et
4
4
4
4
( – z) = ( –1) (z) = z = – 4 donc le nombre complexe ( – z) est également solution de (E)
2
2
+
i) = 2ei /4
2
2
b. (z0)4 = ( 2ei /4)4 =( 2)4e i = 4×(–1) = – 4 donc le nombre complexe z0 est solution de l’équation (E).
c. D’après le 1. , on en déduit que les nombres complexes 1 – i , –1 – i et – 1 + i sont également solution de (E).
donc S = {1 + i , 1 – i , – 1 + i , – 1 – i}.(une équation polynomiale de degré 4 admet 4 solutions dans C)
I
2.a. z0 = 1 + i = 2(
Partie C
1.L’écriture complexe de r est :
1
3
1
3
1 1
3
3
z’ + 1 + i = e–i/3(z + 1 + i)  z’ + 1 + i = ( – i )( z + 1 + i) z’ = ( – i )z + + i – i +
–1–i
2
2
2
2
2 2
2
2
1
3
1
3
3 1
 z’ = ( – i )z – +
+ i( –
– )
2
2
2 2
2 2
1
3
1
3
3 1
2. a. E est l’image du point B par r et zB = – 1 + i donc zE = ( – i )( – 1 + i) – +
+ i(–
– )
2
2
2 2
2 2
1 1
3
3 1
3
3 1
Donc zE = – + i + i +
– +
+ i(–
– )=–1+ 3
2 2
2
2 2 2
2 2
b. Le point F est l’image du point D par r donc :
1
3
1
3
3 1 1
3 1
3 1
3
3 1
zF = ( – i )(1 – i) – +
+ i( –
– )= –i – i –
– +
+ i( –
– ) = ( – 1 – 3) i
2
2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
z −z
1+i+1– 3
2– 3+i
(2 – 3 + i)(1 – ( 2 + 3)i)
4
1
c. A E =
=
=
=
=
zA −zF 1 + i + (1 + 3)i 1 + ( 2 + 3)i
1² + ( 2 + 3)²
8+4 3 2+ 3
zA −zE
est un nombre réel positif ; ainsi
zA −zF


( AF , AE ) = arg (
d. On peut en déduire que les trois points A , E et F sont alignés.
zA −zE
) = 0 [2]
zA −zF