360=2×180=2×2×90=2×2×2×45=23×3×15=23×32×5

M1: Séance 1
Entiers, écriture décimale, division euclidienne, multiples et diviseurs
Dans toute la séance, on ne considérera que les entiers positifs ou nuls.
I Division euclidienne :
Soient a et b deux entiers positifs. Effectuer la division euclidienne de a par b c'est déterminer le couple
d'entiers (q,r) vérifiant a=bq+r avec r<b
q et r sont respectivement appelés quotient et reste de la division de a par b.
lorsque r = 0, on dit que a est divisible par b
a est un multiple de b
b est un diviseur de a
b divise a
Pour prouver que a est divisible par b, il suffit de prouver qu'il existe un entier k tel que a=bk.
II Critères de divisibilité:
Un entier est divisible par 2 s'il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8;
Un entier est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5;
Un entier est divisible par 10 s'il se termine par 0 ;
Un entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3;
Un entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9;
Un entier est divisible par 11 si la différence entre la somme de ses chiffres de rang pair et la somme de ses
chiffres de rang impair est 0 ou un multiple de 11;
Ex1: 1425 est divisible par 3 car 1+4+2+5 = 12 et 12 est un multiple de 3
Ex2: 902 est divisible par 11 car la somme des chiffres de rang pair (le chiffre de rang 0 étant celui des
unités, celui de rang 1 étant le chiffre des dizaines...) est 9+2 soit 11 et la somme de ses chiffres de rang
impair est 0 or la différence entre 0 et 11 est 11.
Ex3: 645689 est également divisible par 11 car la différence entre (9+6+4) et (8+5+6) est 0.
Rq1: Tout nombre divisible par 9 est divisible par 3 mais la réciproque est fausse.
Rq2: Un nombre est divisible par 6, si et seulement si il est divisible par 2 et par 3 (2 et 3 étant premiers
entre-eux)
Rq3: Pour savoir si un nombre N est divisible par un nombre M pour lequel on ne dispose pas de critère, on
pose la division euclidienne de N par M et on vérifie si le reste est nul.
III Nombres premiers:
Déf1: Un entier strictement supérieur à 1 est dit premier s'il n'admet comme diviseur que 1 est lui même.
Ex4: 7,13,29 sont des nombres premiers. En fait, il existe une infinité de nombres premiers.
Soit p un nombre entier, pour prouver qu'il est premier, il suffit de vérifier qu'il n'est divisible par aucun
entier de l'intervalle ]1;  p ].
Rq: En fait il suffit même de prouver qu'il n'est divisible par aucun nombre premier de cet intervalle.
Ex5: Vérifions si 47 est un nombre premier.
 47≈6,9 . 47 n'est pas divisible par 2 donc pas non plus par 4 et 6.
47 n'est pas divisible par 5.
4+7 = 11 donc 47 n'est pas divisible par 3.
Ainsi 47 n'est divisible par aucun entier de l'intervalle ]1;  47 ] , c'est donc un nombre premier.
IV Décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers, nombre de diviseurs:
Tout entier non nul est un nombre premier ou peut s'écrire comme le produit de nombres premiers.
Ex6: On cherche à décomposer 360 en produit de facteurs premiers.
360=2×180=2×2×90=2×2×2×45=23 ×3×15=23×32 ×5
La dernière écriture est la décomposition de 360 en produit de facteurs premiers
Pour connaître le nombre de diviseurs d'un entier non nul, on le décompose en produit de facteurs premiers
et on effectue le produit des puissances de chacun des nombres premiers augmentées de 1.
Ex7: La décomposition de 360 fait intervenir trois nombres premiers ayant pour puissances 3, 2 et 1. On a
(3+1)(2+1)(1+1)=24 ; 360 a donc 24 diviseurs.
Un diviseur de 360 s'écrit forcément 2 n×3m ×5 p avec n valant 0,1,2 ou 3
m valant 0,1 ou2
p valant 0 ou 1
La réalisation d'un arbre ou d'un tableau permet d'obtenir tous ces diviseurs.
n
m
p
diviseurs
0
0
1
2
0
1
1
2
0
2
1
2
0
3
1
2
Ex8: 17 s'écrit
0
0
0
=1
0
0
1
=5
0
2 ×3 ×5
1
2 ×3 ×5
0
3
1
15
0
9
1
45
0
2
1
10
0
6
1
30
0
18
1
90
0
4
1
20
0
12
1
60
0
36
1
180
0
8
1
40
0
24
1
120
0
72
1
360
171 or 1+1= 2 donc 17 admet 2 diviseurs.
M1: Séance 1
Entiers, écriture décimale, division euclidienne, multiples et diviseurs
Ex 1: Trouver le nombre de trois chiffres vérifiant simultanément les trois conditions suivantes :
-la différence entre ce nombre et le nombre retourné est 297 ;
-la somme des trois chiffres est 11 ;
-la somme du triple du chiffre des centaines et du double du chiffre des dizaines est 22.
Ex 2 : La division euclidienne de deux nombres entiers naturels donne un quotient égal à 7 et un reste égal à
2.
La somme de ces deux nombres entiers est égale à 138.
Déterminer ces deux nombres entiers.
Ex 3: 1) Chercher les restes dans la division par 13 des nombres suivants:
100 ; 1001 ; 26001 ; 45689 ; 1 456 795 ; 145 × 2489 : 5378
2) Soient r 1 et r 2 les restes respectifs des divisions par 13 de deux nombres entiers quelconques a et
b.
Montrer que les nombres ab et r 1×r 2 ont le même reste dans la division euclidienne par 13.
Application : Déduire de ce qui précède le reste de la division euclidienne par 13 du nombre:
1 456 795 × 13 011
Ex 4: Montrer que tout nombre s'écrivant
abcabc est divisible par 7,11 et 13.
Ex 5: Déterminer a = mcdu tel que a > 7000, que a soit divisible par 45, que a soit impair et que son
chiffre des milliers soit double de celui des centaines.
Ex 6: Un nombre N a pour écriture décimale 72a83b
1) N est divisible par 6 et par 45. Quel est le chiffre b?
2) Déterminer N
Ex 7: prouver que
abc est divisible par 11 si et seulement si a-b+c l'est également.
Ex 8: Quel est le plus petit entier naturel qui possède exactement 15 diviseurs ?
Ex 9: Un nombre entier naturel N est dit parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs positifs
autres que lui-même. Par exemple, 28 est un nombre parfait. En effet les diviseurs de 28 sont 1 ; 2 ; 4 ; 7 ;
14 ; 28 et 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
1) Montrer que 6 et 496 sont des nombres parfaits.
2) 120 est-il un nombre parfait ? Justifier votre réponse.
3) On admet qu’un nombre entier pair N est parfait si et seulement si il est de la forme :
N = 2 n 2 n1−1 , n étant un entier supérieur ou égal à 1 tel que 2 n1−1 soit un nombre
premier.
a) Appliquer la formule pour n compris entre 1 et 4. Quels résultats retrouve-t-on ?
b) On donne ci- dessous la liste des nombres premiers compris entre 100 et 150:
101 ; 103 ; 107 ;109 ; 113 ;127 ;131 ;137 ;139 ;149
En utilisant la propriété ci-dessus, déterminer le plus petit nombre parfait pair supérieur
au nombre 496.