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ENDOMORPHISMES SYMETRIQUES POSITIFS
3 décembre 2012
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Matrices symétriques, endomorphismes symétriques
on rappelle que toute matrice symétrique à coefficients réels est diagonalisable.
Soit A une matrice symétrique de taille n et λ1 , ..., λn ses valeurs propres. Si toutes les valeurs
propres de A sont positives on dit que A est une matrice symétrique positive. Si tous les λi
sont strictement positifs, on dit que la matrice A est définie positive.On rappelle qu’il existe
une matrice orthogonale Ω tel que : A = ΩD t Ω avec D = diag(λ1 , ..., λn ).
Si A est positive alors pour tout X ∈ Mn1 (R), on a :
t
avec Y =t ΩX
XAX =t XΩDt ΩX =t Y DY


y1
n
X


Il en résulte que si on pose Y =  ...  alors : t XAX =
λk yk 2 et alors :
k=1
yn
∀X ∈ Mn1 (R)
t
XAX ≥ 0
Réciproquement si A est une matrice symétrique vérifiant la condition :
∀X ∈ Mn1 (R)
(1)
t
XAX ≥ 0
alors si λ est une valeur propre de A il existe X0 6= O tel que AX0 = λX0 . On a alors
t
X0 AX0 = λt X0 X0 = λ||X0 ||2
et d’après (1) il en résulte que λ ≥ 0
Conclusion :
Proposition-Definition :
Soit A une matrice réelle symétrique de taille n. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) Toutes les valeurs propres de A sont positives
(ii) ∀X ∈ Mn1 (R)
t
XAX ≥ 0
Si l’une des assertions est vérifiée , on dit que A est une matrice symétrique positive
Cela nous conduit donc à définir la notion d’endomorphisme symétrique positif dans un espace
euclidien :
Proposition-Definition :
Soit (E, h, i) un espace euclidien et soit f un endomorphisme symétrique de E. Les assertions
suivantes sont équivalentes :
(i) Toutes les valeurs propres de f sont positives
(ii) ∀x ∈ E
hx, f (x)i ≥ 0
Si l’une des assertions est vérifiée , on dit que f est un endomorphisme symétrique positif.
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pour prouver cette proposition il suffit de munir E d’une base orthonormée et utiliser les
matrices.
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2.1
Exemple fondamental
Rappel
On rappelle que si (ui )1≤i≤n est une famille de vecteurs d’un espace préhilbertien (E, h, i) alors
on appelle matrice de Gram de cette famille la matrice :
G(u1 , ..., un ) = (hui , uj i)1≤i,j≤n
on a définit aussi le déterminent de Gram de cette famille :
Gram(u1 , ..., un ) = det(G(u1 , ..., un ))
Si F = Vect(u1 , .., un ) et si dim F ≥ 1 et si B = (w1 , ..., wr ) est une base orthonormale de
F et si
 A estla matrice dont les colones sont C1 , ..., Cn avec pour tout j ∈ {1, ..., n} on a
a1j
 .. 
Cj =  .  est la colonne des coordonnées de uj relativement à la base B alors on a pour
arj
tout k et j de :
r
X
hui , uj i =
aki akj
k=1
Or , il est facile de voir que A = (aij ) 1≤i≤r . Il en résulte que le terme général de la matrice
1≤j≤n
carrée t AA est : dij )1≤i,j≤r tel que :
dij =
n
X
aki akj
k=1
Ainsi on a :
(∀(i, j) ∈ {1, ..., r}2 ) dij = hui , uj i
et en conclusion on a :
Gram(u1 , ..., un ) = t AA
On peut remarquer facilement que r = rg (u1 , ..., un ) et on a donc la proposition suivante :
Proposition :
Soit (E, h, i) un espace préhilbertien réel et soit (u1 , ..., un ) une famille de vecteurs de E de
rang r. Alors il existe une matrice A ∈ Mrn (R) tel que G(u1 , ..., un ) = t AA
2.2
Les matrices de Gram Sont symétriques positives
Théorème :
toute matrice de Gram est symétrique positive. Si de plus elle est inversible alors elle est
symétrique définie positive
en effet Soit G la matrice de Gram d’une famille (u1 , ..., un ) de rang r > 0. On sait que
G =t AA avec A ∈ Mrn (R) dés lors on a G ∈ Mn (R). On a pour tout X ∈ Mn1 (R) :
t
XGX =t X t AAX =t (AX)AX = ||AX||2 ≥ 0
Si de plus G est inversible alors les valeurs propres de G sont non nulles et comme elles sont
déjà positives elles sont strictement positives et G est définie positive..
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Un exercice
Problème
Soit n ∈ N∗ avec n ≥ 2 et pour tout (i, j) ∈ {1, ..., n}2 on pose bij =
1
. Démontrer que la
i+j
matrice B = (bij )1≤i,j≤n est définie
Une démarche détaillée pour répondre :
Soit C([0, +∞[, R) le R− espace vectoriel des fonctions continues de [0, +∞[ vers R et soit
Z +∞
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E = f ∈ C([0, +∞[, R)/
f (t)dt est convergente
0
1. Donner des exemples d’éléments de E
2. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de C([0, +∞[, R)
Z +∞
2
f (t)g(t)dt est absolument convergente
3. Montrer que si (f, g) ∈ E alors l’intégrale
0
et que la relation :
Z
+∞
hf, gi =
f (t)g(t)dt
0
définit un produit scalaire sur E
4. Pour tout k ∈ {1, ..., n} , on pose : gk (t) = e−kt .Calculer hgi , gj i pour tout (i, j) ∈
{1, ..., n}2 .
5. Conclure
6. généraliser ce résultat en considérant bij =
strictement positifs deux à deux distincts
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1
où a1 , ..., an sont des nombres réels
ai + aj