2009 Feuille d9exercices n¦3 : logique Exercice

UNIVERSITÉ D'ORLÉANS
Département de mathématiques
MA11
groupe 2 & 4
2008 - 2009
Feuille d'exercices n3 : logique
Exercice 3. 1.
Écrire les négations des propositions suivantes :
(1)
(2)
(3)
(4)
Toutes les voitures rapides sont rouges. Il existe un mouton écossais dont au moins un côté est noir. Pour tout réel positif ε, il existe un rationnel non nul q tel que 0 6 q 6 ε. Pour tout entier x, il existe un entier y tel que pour tout entier z la relation z < y
implique la relation z < x + 1. Exercice 3. 2.
Soit a, b, c trois réels. Écrire les négations des propositions suivantes :
(1) a 6 −2 ou a > 3
(2) a 6 b ou |a| > c
(3) 3 6 a 6 7 et 10 6 b 6 17
Exercice 3. 3.
Considérons une réunion d'amis autour d'un buet. Notons A l'ensemble des amis et P
l'ensemble des plats proposés. Associer à chacun des énoncés 1 à 6 l'une des phrases (a)
à (f)
1. ∀x ∈ A, ∀p ∈ P, x mange p
(a) Quelqu'un goûte à tous les plats. 2. ∃x ∈ A, ∀p ∈ P, x mange p
(b) Tous les plats sont entamés. 3. ∀x ∈ A, ∃p ∈ P, x mange p
(c) Chacun goûte à chaque plat. 4. ∀p ∈ P, ∃x ∈ A, x mange p
(d) Il y a au moins une personne qui ne
jeûne pas. 5. ∃p ∈ P, ∀x ∈ A, x mange p
(e) Personne ne jeûne. 6. ∃p ∈ P, ∃x ∈ A, x mange p
(f) Il y a un plat qui fait l'unanimité. Exercice 3. 4.
Démontrer les propositions suivantes, par contraposée ou par l'absurde.
a
2
(1) Soit a un réel. Si a2 n'est pas un multiple de 16, alors n'est pas un entier pair.
(2) L'équation 2x7 − 4x4 + 2x + 3 = 0 n'a pas de solution entière.
(3) Les solutions entières de l'équation x5 − 2x4 − 8x + 16 = 0 sont toutes paires.
Exercice 3. 5.
Soit f une fonction de R dans R. Soit P la proposition la fonction f est nulle .
Parmi les propositions suivantes, reconnaître P et non P
(1) f (x) = 0
(2) f (x) 6= 0
(3) ∃x ∈ R, f (x) = 0
(4) ∃x ∈ R, f (x) 6= 0
(5) ∀x ∈ R, f (x) = 0
(6) ∀x ∈ R, f (x) 6= 0
Exercice 3. 6.
Comparer les propositions suivantes et dire si elles sont vraies ou fausses.
(1) ∀x ∈ R, ∀ε > 0, (|x| < ε ⇒ x = 0)
(2) ∀x ∈ R, (∀ε > 0, |x| < ε) ⇒ x = 0
Exercice 3. 7.
Considérons
les trois propositions suivantes :
√
A:
√
√
2
2√ est un nombre rationnel. 2
B : 2 est un nombre irrationnel. √
C : Il existe un nombre irrationnel u tel que u 2 est un nombre rationnel. Montrer que A ⇒ C et que B ⇒ C . Que peut-on en déduire ?
Exercice 3. 8.
Parmi les propositions suivantes, déterminer lesquelles sont vraies.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Pour tout x réel, il existe y réel, tel que x < y . Il existe un réel y tel que pour tout x réel x < y . Pour tout x réel, il existe y réel tel que x = y 2 . Pour tout x réel, il existe z complexe, tel que x = z 2 . Il existe un complexe z tel que pour tout y complexe y = z 2 . Exercice 3. 9.
On considère la proposition suivante : Pour tout nombre réel x, x > 1 ⇒ x2 > 1. Est-elle vraie ou fausse ? Réécrire l'énoncé en utilisant les formulations suivantes :
(1)
(2)
(3)
(4)
Si ... alors ...
Pour que ... il sut que ...
Pour que ... il est nécessaire que ...
Pour que ... il faut que ...
L'implication réciproque est-elle vraie ?
Exercice 3. 10.
Vrai ou faux ?
(1) Soit x un réel. Si x est un nombre rationnel, alors x est un nombre décimal.
(2) Soit P une fonction polynômiale dénie par : pour tout réel x, P (x) = ax2 + bx + c.
Si 0 est une racine de P, alors c = 0.
(3) Soit a et b deux réels quelconques. Si a > b alors a2 > b2 .
(4) Soit a et b deux réels positifs quelconques. Si a > b alors a2 > b2 .
Exercice 3. 11.
(1) Montrer que la proposition suivante est vraie :
∀a ∈ R,
∀x ∈ R, x2 + 2ax + 4 > 0 ⇒ ∀x ∈ R, x2 + 2 > a
(2) Montrer que la proposition suivante est fausse :
∀a ∈ R, ∀x ∈ R, x2 + 2ax + 4 > 0 ⇒ x2 + 2 > a