Université Joseph Fourier. Master 1 Physique TD de mécanique quantique, Frédéric Faure. TD: Moment angulaire et Théorie des perturbations indépendant du temps Conseils de Lecture : [2] chap.7, [1, p.666]. Rotation de molécules di-atomiques : [1] C-VI p. 720. Théorie des perturbations indépendant du temps : [1] chap. XI. Références : 1 La molécule HCl en champ électrique Dans ce problème nous négligeons les mouvement de vibration de la molécule H-Cl. Seule la rotation rigide de la molécule est considérée. Le mouvement est donc celui d'un point de masse µ = (M M ) / (M + M ) (la masse réduite), sur une sphère de rayon r = |~r − ~r |, autour du centre de gravité G. L'état classique de la molécule est donc caractérisé par un point sur la sphère, alors que est caractérisé par une fonction d'onde ψ (θ, ϕ) sur cette sphère S (en coordonnées sphériques). L'espace de Hilbert des états quantiques est H 0 Na Cl H Cl Cl l'état quantique 2 µ H=L 2 S 2 H le produit scalaire est Z hψ1 |ψ2 i = r0 G G Cl ψ1∗ (θ, ϕ) ψ2 (θ, ϕ) dΩ avec dΩ = sin θdθdϕ. 1. Soit I = µr le moment d'inertie, et L~ˆ = ~rˆ ∧ p~ˆ le moment angulaire de la molécule. Montrer que le Hamiltonien décrivant ce mouvement de rotation libre est Ĥ = ˆ ~ / (2I). L 2. Sachant que les harmoniques sphériques Y (θ, ϕ), aussi notée |l, mi, forment une base de l'espace L (S ), avec l = 0, 1, . . . et m = −l, . . . , +l, et que 2 0 0 2 l,m 2 2 ~ˆ 2 |l, mi = ~2 l (l + 1) |l, mi, L L̂z |l, mi = ~m|l, mi, 1 déduire le spectre de Ĥ (c'est à dire les niveaux d'énergie, et la multiplicité et base des espaces propres d'énergie). Noter que ' 1.3 10 eV pour HCL. ~ . L'énergie 3. La molécule NaCl possède un moment dipolaire électrique permanent D ~ d'interaction de la molécule avec un champ électrique externe E selon z est donc ˆ ~ E~. Ecrire le Hamiltonien total Ĥ = Ĥ + Ĥ de la molécule en présence Ĥ = −D. ~ de ce champ en faisant apparaitre D = D, E = E~ et cos θ ? h i 4. Montrer que Ĥ, L̂ = 0. Comment pourra t-on utiliser cette propriété pour chercher le spectre de Ĥ , plus facilement que dans l'espace L (S ) entier? Rappel en bas de page 5. On suppose E~ faible, et l'on traite Ĥ en théorie des perturbations. Utilisant la question précédente, dans quel espace va t-on chercher le spectre de Ĥ ? Va t-on utiliser la théorie des perturbations pour niveaux non dégénérés ou pour niveaux dégénérés? Calculer la correction des niveaux d'énergie E au premier ordre? Aide en bas de page 6. Calculer la correction des niveaux d'énergie E au deuxième ordre? Aide en bas ~ de page . La dégénérescence du spectre est-elle levée par E ? 0 ~2 2I −3 1 0 1 z 2 2 1 (1) 2 (2) 3 Références [1] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, and F. Laloe. Mécanique quantique. [2] F. Faure. Cours de Mécanique quantique pour Master M1 de physique. http ://wwwfourier.ujf-grenoble.fr/~faure/enseignement. 1. Rappel : un Âψ = aψ .  espace propre Si deux opérateurs  est invariant par l'opérateur et B̂ associé à la valeur propre B̂ commutent (c'est à dire ha estil'ensemble Â, B̂ = 0) alors des vecteurs ψ tels que chaque espace propre de et inversement (à redémontrer, ou voir chap.7 [2]). 2. Rappels : (a) Ĥ0 |ni = εn |ni est Ĥ = Ĥ0 + Ĥ1 , et que l'on cherche à résoudre Ĥψn = En ψn alors au connu, (1) (1) premier ordre (en Ĥ1 1), En ' εn + E avec E = hn|Ĥ1 |ni. Au deuxième ordre, on a 0 2 P |hn|Ĥ1 |n i| (2) En ' εn + E (1) + E (2) avec En = n0 6=n n − 0 . (b) Yl,m (θ, ϕ) l (−1) Ylm (θ, ϕ). Si n La 3. Si fonction l0 6= l ± 1 a la parité l (−1) , c'est à dire (PYlm ) (θ, ϕ) = Ylm (π − θ, ϕ + π) = hl, m| cos θ̂|l0 , mi = 0, et aussi s (l + m + 1) (l − m + 1) = hl + 1, m| cos θ̂| |{z} l , mi hl, m| cos θ̂|l + 1, mi = | {z } (2l + 1) (2l + 3) 0 alors l0 où l 0 = l + 1. 2 l −1