entiers ni

Densité des corps
quadratiques plats
Patrick Iglesias
Introduction
Dans un précédent article, [Igl94], nous avons défini le type combinatoire d’un
ordre d’un corps de nombres algébriques réels K. Lorsque K est quadratique,
le type combinatoire de l’ordre Df de conducteur f est le quotient de la
frontière de l’enveloppe convexe des points de Df situés dans le cône positif de
K, avec des points marqués : les sommets géométriques qui sont les sommets
de l’enveloppe convexe, et les sommets plats qui sont les points de Df situés
dans les faces de l’enveloppe convexe. Il se représente comme un graphe
Γf = [b1 , . . . , bg ], où g est le nombre de sommets géométriques et les bi − 1
le nombre de sommets plats entre deux sommets géométriques consécutifs,
comme l’illustre les quelques exemples données dans la figure 1.
Nous étudions dans cet article, le cas le plus simple : celui pour lequel il
n’y a qu’une classe de sommets géométriques (les unités positives). Lorsque
l’anneau des entiers vérifie cette propriété, nous disons que le corps est plat,
et nous en donnons une caractérisation simple. Pour chaque classe de congruence de d modulo 4 il n’y a que certaines classes permises de b modulo
4. Nous montrons, par des méthodes analytiques, que pour chacune de ces
valeurs permises il y a une infinité de corps du type Γ(d) = [b] et nous calculons les densités relatives de ces corps suivant la valeur de b. Nous avons été
conduit à modifier légèrement la définition originale des densités de Dirichlet
à cause du trop petit nombre de corps plats dans l’ensemble de tous les corps
quadratiques. En définitive nous trouvons que la densité des corps plats de
1
type Γ(d) = [b] est proportionnelle, à une constante universelle près, à la
fonction arithmétique suivante
ρ(b) =
b
1
µ
Q
p|k
1
1−
¶
1
p2 −1
Les ordres plats
Nous reprenons les notations de [Igl94]. Nous considérons un ordre Df de
conducteur f d’un corps quadratique K, et nous supposons que Γf = [b].
Soit ε l’unité positive fondamentale de Df , cela signifie que tous les points
minimaux entre 1 et ε sont alignés. Il n’y a donc dans ce cas qu’un sommet
géométrique (la classe de l’unité) et b − 1 sommets plats.
√
1.1 Définition. Nous dirons qu’un ordre Df de Q( d ) est plat s’il existe
un √
entier naturel b tel que Γf (d) = [b]. Nous dirons, de même, que le corps
Q( d ) est plat si son anneau des entiers est plat.
√
1.2 Théorème. Soit Df un ordre de Q( d ) et ε son unité fondamentale
positive, alors Df est plat si et seulement si il existe deux entiers b > 0 et r
tels que ε = 1 + b(r + f ω), avec r > 0 si d ≡ 2 ou 3 mod 4 et r > −f /2 si
d ≡ 1 mod 4. De plus :
³
√ ´
2r
et ε = 1 + b r + f d
b
4R
avec R = 2r + f
d ≡ 1 mod 4 ⇒ f 2 d = R2 +
b
√ ´
b³
et ε = 1 + R + f d
2
d ≡ 2 ou 3 mod 4 ⇒ f 2 d = r2 +
(1)
(2)
Dans les deux cas Γf (d) = [b].
Démonstration. Supposons que Df soit plat, alors ε = 1 + bu et u =
r + sf ω, il faut montrer que s = 1. Mais s est le volume du parallélogramme
défini par le couple de vecteurs (1, 1 + u), or comme ce paralélogramme
2
est à sommets entiers, qu’il ne contient de points entiers ni sur ses faces
ni à l’intérieur (par hypothèse) : det(1, 1 + u) = 1, c’est-à-dire s = 1.
Réciproquement, si ε = 1 + bu avec u = r + f ω, alors le nombre de points
entiers contenus à l’intérieur du parallélogramme défini par (1, ε) est égal à
det(1, ε) − 1 = b − 1. Nous connaissons déjà les b − 1 points entiers 1 + ku,
k = 1 . . . b − 1, il n’y en a donc pas d’autres, le graphe de Df est donc du
type [b]. ¥
Le théorème précédent peut aussi s’interpréter de la façon suivante :
1.3 Proposition. Soit b > 0 et r > 0 deux entiers tels que b divise 2r. Soit
f 2 le facteur carré de r2 + 2r/b et d son facteur
sans carré, si d est congru
√
à 2 ou 3 modulo 4, alors l’ordre Df de Q( d ) est plat et Γf (d) = [b]. Son
unité fondamentale positive ε est donnée par la formule 1.
1.4 Proposition. Soit b > 0 et R > 0 deux entiers tels que b divise 4R.
Soit f 2 le facteur carré de R2 + 4R/b et d son facteur sans carré, si d est
congru
√ à 1 modulo 4, et si R est congru à f modulo 2 alors l’ordre Df de
Q( d ) est plat et Γf (d) = [b]. Son unité fondamentale positive ε est donnée
par la formule 2.
Donnons une interprétation des nombres b et r (ou R). Rappelons que le
discriminant de l’ordre Df est égal au carré du volume du réseau engendré
par {1, f ω}, c’est-à-dire : Df = f 2 d si d ≡ 1 mod 4, et Df = 4f 2 d si
d ≡ 2 ou 3 mod 4. Considérons le réseau engendré par {1, ε} et soit Dε son
discriminant, on peut constater que dans tous les cas :
s
2
Dε = b Df
i.e. b =
Dε
.
Df
(3)
L’interprétation de r dans le cas d ≡ 2, 3 mod 4, et R dans le cas d ≡ 1
mod 4 est apparemment moins naturelle, elle est liée à la trace de l’unité
fondamentale ε, on peut constater que :
R =
r =
1
tr(ε − 1)
b
si d ≡ 1 mod 4
(4)
1
tr(ε − 1) si d ≡ 2, 3 mod 4
2b
3
√
Il y a beaucoup d’ordres plats dans Q( d ), il est d’ailleurs possible de les
décrire tous.
√
1.5 Proposition. Toute unité positive de l’anneau des entiers du corps Q( d )
est l’unité fondamentale d’un ordre plat maximal.
Démonstration.
Soit ε une unité positive de l’anneau des entiers de
√
Q( d ), telle que ε > 1. Soit u = ε − 1, il se décompose sur la base {1, ω}
en u = n + mω, avec n et m entiers naturels. Soit b = n ∧ w, r = n/b et
f = m/b de telle sorte que u = b(r + f ω) et ε = 1 + bu. Soit Df l’ordre
engendré par 1 et f ω, on est dans le cadre du théorème 1.2 : Γf (d) = [b] et
ε est l’unité fondamentale positive de Df . Si nous n’avions pas pris le pgcd
de n et m, mais un diviseur quelconque b0 (b = kb0 ) nous aurions pu poser
de la même manière r0 = n/b0 , f 0 = m/b0 et u0 = r0 + f 0 ω. De telle sorte que
ε = 1 + b0 (r0 + f 0 ω) soit l’unité fondamentale positive de Df 0 . Mais l’ordre
Df 0 = {1, f 0 ω} = {1, kf ω} est contenu dans Df , Df est bien l’ordre plat
maximal d’unité fondamentale positive ε. ¥
√
On peut ainsi associer à toute unité ε de l’anneau des entiers de Q( d ), un
ordre plat maximal
Dε d’unité positive fondamentale ε. Les ordres plats de
√
tout corps Q( d ) sont donc indexés par N∗ .
2
Etude des corps plats
Nous
√ identifierons comme d’ordinaire, l’ensemble des corps quadratiques réels
Q( d ) à l’ensemble des nombres entiers sans facteur carré d. Nous noterons
Q ce dernier ensemble et ν sa fonction caractéristique (le module de la fonction de Möbius) :
(
1 si n est sans facteur carré
(5)
0 sinon.
√
Nous diviserons notre étude des corps plats Q( d ) suivant la congruence de
d modulo 4, soit :
ν(1) = 1, et si n 6= 1 : ν(n) =
Qi (b) = {d ∈ Q | Γ(d) = [b] et d ≡ i mod 4} i = 1, 2, 3.
4
(6)
√
D’après la proposition 1.2 nous savons que Q( d ) et plat si et seulement si
il existe deux entiers r et b, ou R et b, tels que d = r2 + 2r/b si d ≡ 2, 3
modulo 4 ou d = R2 + 4R/b si d ≡ 1 modulo 4. La proposition suivante
précise cette décomposition suivant r (ou R) et b.
√
2.1 Proposition. Soit Q( d ) un corps quadratique réel, alors :
√
1. Q( d ) est plat, d ≡ 1 mod 4 et Γ(d) = [b] si et seulement si b est
impair et s’il existe un entier impair R0 sans facteur carré tel que d =
R0 (R0 b2 + 4) et tel que R0 b2 + 4 soit sans facteur carré.
√
2. Q( d ) est plat, d ≡ 2 mod 4 et Γ(d) = [b] si et seulement si
• b ≡ 0 mod 4 et s’il existe un entier r0 ≡ 2 mod 4 sans facteur
carré, tel que d = r0 [r0 (b/2)2 + 1] et tel que r0 (b/2)2 + 1 soit sans
facteur carré.
• b ≡ 2 mod 4 et s’il existe un entier r0 ≡ 1 ou 2 mod 4 sans facteur
carré, tel que d = r0 [r0 (b/2)2 + 1] et tel que r0 (b/2)2 + 1 soit sans
facteur carré.
√
3. Q( d ) est plat, d ≡ 3 mod 4 et Γ(d) = [b] si et seulement si
• b ≡ 0 mod 4 et s’il existe un entier r0 ≡ 3 mod 4 sans facteur
carré, tel que d = r0 [r0 (b/2)2 + 1] et tel que r0 (b/2)2 + 1 soit sans
facteur carré.
• b est impair et s’il existe un entier impair r0 sans facteur carré,
tel que d = r0 (r0 b2 + 2) et tel que r0 b2 + 2 soit sans facteur carré.
De plus, dans chaque cas de congruence de b mod 4, la décomposition cidessus est unique.
Démonstration. Analysons la décomposition de d suivant les cas :
1) d ≡ 1 mod 4.
En vertu du théorème 1.2, R = 2r + 1 (avec f = 1) est impair, puisque b doit
diviser 4R, on a :
5
d≡1
b≡0
∅
b≡2
∅
b≡1
ou
b≡3
d = R0 (R0 b2 + 4)
d≡2
d≡3
d = r0 [r0 (b/2)2 + 1]
d = r0 [r0 (b/2)2 + 1]
r0 ≡ 2
r0 ≡ 3
d = r0 [r0 (b/2)2 + 1]
r0 ≡ 1 ou 2
∅
R0 impair
∅
d = r0 (r0 b2 + 2)
r0 impair
Table 1: Décomposition de d pour les corps quadratiques plats
1.1) b ≡ 2 mod 4. Posons b = 2b0 , alors b0 divise R et b0 est impair, posons
R = R0 b0 de sorte que d = R02 b02 + 2R0 , alors d ≡ 1(4) et R0 b0 ≡ 1(4) ⇒
2R0 ≡ 0(4) ⇒ R ≡ 0(2) ce qui n’est pas permis.
1.2) b ≡ 0 mod 4. Soit b = 4b0 , puisque b0 divise R alors R = R0 b avec b0
impair et d = R02 b2 + R0 , donc d est pair, or d ≡ 1(4).
Le nombre b est donc impair. D’autre part, si b et R sont impairs tels que
d = R2 + 4R/b, alors b divise R. Soit R = R0 b alors d = R02 b2 + 4R0 et
d ≡ 1(4). Enfin, d étant sans facteur carré il en est de même de R0 et
R0 b2 + 4, réciproquement soient b et R0 deux nombres impairs tels que R0 soit
sans facteur carré ainsi que R0 b2 + 4, puique ces nombres sont premiers entre
eux leur produit d = R0 (R0 b2 + 4) est sans facteur carré, et de plus congru à
1 modulo 4, on pose alors R = R0 b.
2) d ≡ 2 ou 3 mod 4.
En vertu du théorème 1.2, d = r2 + 2r/b, soit :
2.1) Si b est pair b = 2b0 , alors b0 divise r : r = r0 b0 et d = r0 (r0 b02 + 1).
Puisque r0 et r0 b02 + 1 sont premiers entre eux, d est sans facteur carré si et
seulement si r0 et r0 b02 + 1 sont sans facteur carré.
6
2.2) Si b est impair, alors b divise r : r = r0 b0 , d’où d = r02 b2 +2r0 = r0 (r0 b2 +2).
Mais r0 est nécessairement impair, sinon d ≡ 0 mod 4, donc r0 et r0 b2 + 2 sont
premiers entre eux, ils sont donc chacun sans facteur carré.
La réciproque est du même type que pour d ≡ 1 mod 4. La vérification des
congruences modulo 4 est laissé aux soins du lecteur. ¥
Cette proposition est résumée par le tableau 1. Nous allons montrer maintenant que dans tous les cas autorisés par la propositon précédente les ensembles Qi (b) sont infinis et nous évaluerons leurs densités relatives.
3
Densités de Dirichlet
Une méthode classique, pour s’assurer qu’une partie A ⊂ N∗ est infinie, consiste à montrer que sa densité de Dirichlet est non nulle, c’est une condition
suffisante. Rappelons que la densité de Dirichlet de A est définie comme la
limite, lorsqu’elle existe :
1 X 1
D(A) = lim
s
s→1 ζ(s)
n∈A n
avec ζ(s) =
∞
X
1
n=1
ns
.
(7)
En particulier, la densité des nombres sans facteur carré est bien connue :
∞
1 X 1
1 X
ν(n)
6
1
D(Q) = lim
= 2.
= lim
=
s
s
s→1 ζ(s)
s→1
n
ζ(s) n=1 n
ζ(2)
π
n∈Q
(8)
Puisque nous manipulerons essentiellement des ensembles de nombres sans
facteur carré, nous définirons la densité d’un ensemble d’entiers A relativement à Q par :
d(A) =
D(A ∩ Q)
ζ(2) X ν(n)
.
= lim
s
s→1 ζ(s)
D(Q)
n∈A n
(9)
Malheureusement, la densité des ensembles Qi (b) est nulle. En effet, les seuls
nombres d tels que Γ(d) = [b] s’écrivent d = r2 + 2r/b ou bien d = R2 + 4R/b
suivant la congruence de d modulo 4, dans tous les cas d est quadratique, et
7
P
puisque la série 1/n2 converge, d(Qi (b)) = 0. Autrement dit, il y a trop
peu de corps plats dans l’ensemble des corps quadratiques.
Pour exploiter toutefois la méthode de Dirichlet dans notre cas, il faut modifier légèrement la définition des densités que nous utiliserons. Nous le ferons
à partir du lemme suivant.
3.1 Lemme. Soit A un ensemble d’entiers naturels strictement positifs. S’il
P
existe un réel strictement positif a tel que la série n∈A 1/ns/a converge pour
tout s > 1, et tel que la limite :
ζ(2) X 1
s/a
s→1 ζ(s)
n∈A n
da (A) = lim
(10)
soit finie et non nulle ; alors ce nombre est unique, a ∈ [1, ∞[ et A est infini.
Démonstration. Supposons qu’il existe deux nombres 0 < a0 < a tels
que 0 < da0 (A) < ∞ et 0 < da (A) < ∞. Soit C une constante strictement
positive, β = a − a0 > 0, et N un entier supérieur à C 1/β . Alors pour tout
0
0
n > N et tout s > 1, 1/ns/a > N β /ns/a , c’est-à-dire 1/ns/a > C/ns/a .
En décomposant les séries en une première somme jusqu’à N et le reste, on
déduit de lims→1 ζ(s) = ∞ que pour tout C > 0 : da0 (A) > Cda (A), ce qui
est impossible. Donc, ou bien da0 (A) est fini et non nul et alors da (A) est nul,
ou bien da (A) est fini et non nul et da0 (A) est infini. Il est clair d’autre part
que da (A) = 0 pour toute partie finie A de N∗ et pour tout a > 0. Enfin,
P
si da (A) > 0 alors a ≥ 1, puisque pour tout a < 1 la série n∈A 1/ns/a est
majorée par ζ(s/a) qui converge quand s tend vers 1. Le degré de A, s’il
existe, est donc toujours inférieur ou égal à 1. ¥
3.2 Définition. Si l’ensemble A vérifie les conditions du lemme précédent,
a sera appelé degré de A et noté deg A. Le réel da (A) sera encore appelé
densité de Dirichlet.
3.3 Remarque. L’unicité du degré d’une partie A de N∗ , s’il existe, nous
permet de parler de sa densité de Dirichlet sans autre précision, c’est ce que
nous ferons parfois. Evidemment, si pour tout a > 0, da (A) = 0, nous dirons
que la densité de A est nulle. I
8
La propriété essentielle de ces densités réside dans la proposition suivante.
3.4 Proposition. Soit P un polynôme de degré p à coefficients entiers positifs, et k son coefficient dominant. Soit A une partie de N∗ de degré a,
l’ensemble image P (A) = {P (n) ∈ N∗ | n ∈ A} est de degré ap, autrement
dit :
deg P (A) = deg P deg A.
(11)
Sa densité de Dirichlet vaut :
dap (P (A)) =
da (A)
·
k 1/ap
(12)
Démonstration. Soit a = deg A, P (n) = knp + ap−1 np−1 + . . . + a0 , et Q
le polynôme Q(x) = 1 + b1 x + . . . + bp xp , avec bi = ap−i /k. Soit f la fonction
définie sur R × [0, ∞[ :
µ
¶
s
f (s, x) = exp − log Q(x) .
ap
(13)
X f (s, 1/n)
1 X
1
1
=
.
ζ(s) n∈A P (n)s/ap
k s/ap ζ(s) n∈A ns/a
(14)
De telle sorte que :
La fonction f étant inférieure à 1, cette série converge pour tout s > 1.
Pour calculer sa limite quand s → 1 remarquons que f est continuement
différentiable sur R × [0, ∞[, et strictement décroissante (de 1 vers 0) pour
toute valeur fixée de s. Soit alors δ > 0, posons :
α = max max (1, |fs0 (x)|),
(15)
0≤s≤1+δ 0≤x≤1
alors, 1 − αx < f (s, x) < 1 pour tout s ∈ [1, 1 + δ]. On en déduit :
X 1
X f (s, 1/n)
1
α
1
−
<
,
k s/ap ζ(s) n∈A ns/a n1+s/a
k s/ap ζ(s) n∈A ns/a
1
k s/ap ζ(s)
X f (s, 1/n)
n∈A
ns/a
9
<
1
k s/a ζ(s)
X
1
n∈A
ns/a
.
(16)
(17)
Puisque la série
P∞
n=1
1/n1+s/a converge pour s > 0, on conclut :
X 1
1 X
1
1
1
= lim s/ap
= 1/ap da (A).
s/ap
s/a
s→1 ζ(s)
s→1 k
ζ(s) n∈A n
k
n∈A P (n)
lim
(18)
C’est ce qu’il fallait démontrer. ¥
4
Calcul des densités de
Qi (b)
Revenons maintenant au calcul des densités de Qi (b). Considérons, par exemple le cas d ≡ 3 mod 4, alors d = r2 + 2r/b = r02 b02 + 2r0 , avec les notations de
la table 1, r0 est impair et sans facteur carré ainsi que r0 b2 + 2. Si l’ensemble
des r0 ∈ Q vérifiant ces conditions possède une densité de Dirichlet au sens
ordinaire, non nulle, on pourra déduire que Q3 (b) est de degré 2, infini, et calculer sa densité connaissant celle des r0 en question. C’est ce que nous allons
faire à présent, mais pour cela nous aurons besoin des quelques définitions et
lemmes suivants.
Rappelons qu’on appelle fonction multiplicative toute fonction complexe χ
définie sur N∗ (ou Z), telle que :
m∧n=1
⇒
χ(mn) = χ(m)χ(n).
Soit εa la fonction définie sur N∗ par :
Ã
!
Ã
(19)
!
Y
1
k
εa (k) = a ∧ k ϕ
1+
,
a ∧ k p|k
p
(20)
où a est un entier positif et p parcourt l’ensemble des diviseurs premiers de k.
Une vérification immédiate montre qu’elle est multiplicative. En particulier,
si a et k sont premiers entre eux, εa (k) = ε(k), avec :
ε(k) = k
Y
Ã
p|k
!
1
1− 2 ,
p
(21)
Nous utiliserons plus loin la propriété suivante de ε, vérifiée pour tout couple
d’entiers k1 k2 :
ε(k1 )ε(k2 ) = ε(k1 k2 )
Y
p|k1 ∧k2
10
Ã
!
1
1− 2 .
p
(22)
La fonction εa va nous permettre d’exprimer la densité, relative à Q, des
nombres sans facteur carré dans la classe de congruence de a modulo k, soit :
d(a, k) = d{nk + a | n = 1 . . . ∞}.
(23)
4.1 Lemme. La densité, relative à Q, des nombres sans facteur carré dans la
classe de congruence de a modulo k est donnée par :
ζ(2) X ν(n)
ν(a ∧ k)
=
.
s
s→1 ζ(s)
εa (k)
n≡a mod k n
d(a, k) = lim
(24)
Elle est équirépartie dans les classes de congruences de même pgcd avec k.
Démonstration. Rappelons qu’un caractère χ est une fonction multiplicative à valeurs dans S 1 , i.e. |χ| = 1. Pour tout caractère χ et tout réel
s > 1, définisons `(s, χ) comme la restriction à Q de la fonction L(s, χ) de
Dirichlet, plus précisemment :
`(s, χ) =
X χ(n)
n∈Q
alors :
ns
= L(s, νχ).
Ã
(25)
!
Y
L(s, χ)
χ(p)
`(s, χ) =
=
1+ s ,
2
L(2s, χ ) p∈P
p
(26)
où P désigne l’ensemble des nombres premiers. En effet, la série converge
évidemment puisqu’elle est majorée par ζ(s). la deuxième égalité s’obtient en
développant, comme d’habitude, le produit infini sur les nombres premiers, et
en remarquant que les dénominateurs qui interviennent sont tous les nombres
sans facteur carré. La première égalité s’obtient en utilisant l’identité 1 +
χ(p)/ps = (1 − χ(p)2 /p2s )/(1 − χ(p)/ps ).
Supposons maintenant que a 6= 0, soit k = gk 0 et a = ga0 où g = a ∧ k, alors :
∞
∞
X
X
ν(n)
ν(mk + a)
ν(g(mk 0 + a0 ))
=
=
.
s
s
s
0
0 s
m=1 (mk + a)
m=1 g (mk + a )
n≡a mod k n
X
(27)
Si ν(g) = 0 alors ν(g(mk 0 + a0 )) = 0 et d(a mod k) = 0, la formule est vrai
dans ce cas. Nous supposerons donc que g est sans facteur carré. Mais alors
11
ν(g(mk 0 + a0 )) = ν(mk 0 + a0 ) si g et mk 0 + a0 sont premiers entre eux et
ν(g(mk 0 + a0 )) = 0 sinon, on peut donc écrire :
∞
X
ν(n)
χg (mk 0 + a0 )ν(mk 0 + a0 )
=
,
s
g s (mk 0 + a0 )s
m=0
n≡a mod k n
X
(28)
où χg est le caractère :
χg (n) = 1 si g ∧ n = 1 et χg (n) = 0 sinon.
(29)
Faisons le changement de variable muette : n = mk 0 + a0 ,
X
ν(n)
1
= s
s
g
n≡a mod k n
X
n≡a0 mod k0
χg (n)ν(n)
.
ns
(30)
Mais maintenant a0 ∧ k 0 = 1, et donc a0 est inversible dans l’anneau Z/k 0 Z,
soit a0∗ son inverse : a0 a0∗ ≡ 1 mod k 0 . Soit Gk0 le groupe des unités de Z/k 0 Z
b 0 son groupe des caractères. Notons, pour tout entier g et tout caractère
et G
k
χ de Gk0 :
∞
X χ(n)
X
χg (n)ν(n)χ(n)
`g (s, χ) =
=
.
(31)
s
n
ns
n=1
n∈Q
n∧g=1
Le caractère χ est ici relevé à N en posant χ(n) = 0, pour tout n tel que
n ∧ k 0 6= 1. Considérons alors la somme suivante :
X
χ(a0∗ )`g (s, χ) =
bk0
χ∈G
X
χ(a0∗ )
bk0
χ∈G
=
=
=
∞
X
χ(n)χg (n)ν(n)
ns
n=1
∞
X X
χ(a0∗ )χ(n)χg (n)ν(n)
ns
bk0 n=1
χ∈G
∞ X
X
χ(a0∗ n)χg (n)ν(n)
ns
n=1 χ∈G
bk0

∞
X

χg (n)ν(n)  X
χ(a0∗ n)


s
n
n=1
b
(32)
χ∈Gk0
En utilisant la propriété fondamentale des caractères :
X
χ(n) = #Gk0 si n ≡ 1 mod k 0 , et
bk0
χ∈G
X
bk0
χ∈G
12
χ(n) = 0 sinon,
(33)
on obtient :
X
X
χ(a0∗ )`g (s, χ) = #Gk0
n≡a0 mod k0
bk0
χ∈G
χg (n)ν(n)
.
ns
(34)
En particularisant le caractère trivial χk0 de Gk0 , on a :
X
n≡a0 mod k0
o
X
χg (n)ν(n)
1 n
0∗
0) +
=
`
(s,
χ
χ(a
)`
(s,
χ)
.
g
k
g
ns
#Gk0
χ6=χ 0
(35)
k
Calculons le premier terme de l’accolade, on a grâce à l’identité 26 :
`g (s, χk0 ) =
∞
X
χg (n)ν(n)χk0 (n)
ns
n=1
Ã
Y
=
p∈P
!
χg (n)χk0 (n)
1+
,
ps
mais, par définition de χk0 , on a immédiatement :
Ã
Y
`g (s, χk0 ) =
p -k0 et
p -g
1
1+ s
p
³
Q
!
=
p∈P
Q
1+
³
p|k0 ou p|g
1
ps
1+
(36)
´
1
ps
´.
(37)
En appliquant la formule 26 au caractère constant χ = 1, et en remarquant
(puique p est premier) que p | k 0 ou p | g équivaut à p | gk 0 = k, on a :
ζ(s)
`g (s, χk0 ) =
ζ(2s)
³
Q
p|k
1+
1
ps
´.
(38)
En posant ensuite
R(s) =
X
ζ(2)
χ(a0∗ )`g (s, χ),
g #Gk0 ζ(s) χ6=χ 0
(39)
k
on obtient :
1
d(a, k) =
g #Gk0
Q
p|k
P
³
1+
1
p
lim R(s).
´ + s→1
(40)
D’après le théorème de Dirichlet, χ6=χk0 χ(a0∗ )L(s, χ) est bornée (voir par
P
exemple [Ayo63]). Il en est donc de même de χ6=χk0 χ(a0∗ )`g (s, χ), d’où
lims→1 R(s) = 0. La formule s’obtient enfin en remplaçant #Gk0 par sa
valeur ϕ(k/g). Nous laissons le soin au lecteur de vérifier le cas a = 0, qui
est plus simple, en notant que 0 ∧ k = k et ϕ(1) = 1. ¥
13
4.2 Remarque. Considérons les nombres du type nk + a avec n ≡ l mod h,
leur densité est évidemment donnée par :
d{nk + a | n ≡ l mod h} = d(lk + a, hk)
(41)
Nous utiliserons fréquemment cette identité par la suite. I
Soit P0 un ensemble des nombre premiers. Pour tout j > 0, désignons par P0j
l’ensemble des parties de P0 à j éléments, et convenons que P00 = {1}. On le
lemme calculatoire suivant.
4.3 Lemme. Soit P0 un ensemble de nombres premiers, P00 = P − P0 et ε la
fonction définie par la formule 21, alors pour tout entier k :
∞
X
(−1)j
j=0
X
{pi }∈P0j
1
ε (k
Q
i
p2i )
=
k
Q
µ
p00 |k
σ0
1−
¶
1
p2
Q
µ
p0 |k
1−
¶,
(42)
1
p2 −1
où p0 ∈ P0 , p00 ∈ P00 , et σ 0 est la constante :
0
σ =
Ã
Y
!
1
1− 2
,
p −1
p∈P0
(43)
Démonstration. Par définition la série s’écrit aussi :
X
X X
1
1
1
−
+
− etc.
2
2 2
ε(k)
p1 ε(kp1 )
p1 p2 >p1 ε(kp1 p2 )
(44)
Intéressons-nous au terme ε(kp21 . . . p2j ), d’après l’identité 22 nous pouvons
écrire :
ε(kp21
. . . p2j )
=
ε(k)ε(p21 . . . p2j )
Q
µ
p|k∧p21 ...p2j
= ε(k)
1−
¶
1
p2
ε(p21 )
Q
µ
p|k∧p21
1−
14
¶ ···
1
p2
(45)
ε(p2j )
Q
µ
p|k∧p2j
1−
¶.
1
p2
or :
ε(p2i )
Q
µ
p|k∧p2i
1−
2
2
¶ = pi si pi | k et pi − 1 si pi - k.
1
p2
(46)
On peut donc écrire :
ε(p2i )
Q
µ
p|k∧p2i
1−
1
p2
2
¶ = pi − χk (pi ),
(47)
où χk est le caractère trivial associé à k. On a ainsi :
ε(kp21
. . . p2j )
= ε(k)
j ³
Y
´
p2i − χk (pi ) .
(48)
i=1
La série devient alors :



X
X
1 
1
1
1
1−
+
−
etc.
2
2
2

ε(k) 
p1 p1 − χk (p1 )
p1 <p2 p1 − χk (p1 ) p2 − χk (p2 )
c’est-à-dire :
Ã
!
∞
X Y
1 X
1
1
1 Y
j
(−1)
1− 2
.
=
ε(k) j=0
p2i − χk (pi )
ε(k) p∈P0
p − χk (p)
{pi }∈P0 i
(49)
(50)
j
En séparant les p qui divisent k et les autres, on obtient :
Ã
1 Y
1
1− 2
ε(k) p0 |k
p
!
Y
Ã
p0 -k
!
1
1− 2
.
p −1
(51)
On a donc :
∞
X
j=0
(−1)j
X
{pi }∈P0j
Ã
1
ε (k
Q
2
i pi )
=
1
1 Y
1− 2
ε(k) p0 |k
p
!
Q
µ
p0 ∈P0
Q
On obtient le résultat annoncé, en décomposant ε(k)
ε(k) = k
Y
p0 |k
Ã
1
1− 2
p
Q
!
Y
p00 |k
Ã
µ
p0 |k
1−
1−
¶
1
p2 −1
¶ ·
(52)
1
p2 −1
!
1
1− 2 ,
p
(53)
ce qui permet de simplifier le terme p0 |k (1 − 1/p2 ), et en remplaçant enfin
2
0
0
p0 ∈P0 (1 − 1/(p − 1)) par σ qui ne dépend que de P . ¥
Q
15
d≡1 d≡2 d≡3
b≡0
0
2/3
2/3
b≡2
0
4/3
0
b≡1
ou
b≡3
1
0
1
Table 2: Coefficients des densités de Qi (b)
Nous pouvons maintenant calculer explicitement les densités des ensembles
Qi (b).
4.4 Proposition. Pour tout entier b et tout i = 1, 2, 3,
√ vérifiant les
ditions du tableau 1, les ensembles Qi (b) des corps Q( d ), plats de
Γ(d) = [b] avec d ≡ i mod 4, sont infinis et de degré 2. Leurs densités
données par :
σ
d2 (Qi (b)) = ci [b]
µ
¶·
Q
1
b p|b 1 − 2
contype
sont
(54)
p −1
Où les ci [b] sont les constantes, ne dépendant que de b mod 4, données par
le tableau 2.
Démonstration. Nous partagerons la démonstration suivant les cases du
tableau 1.
1) d ≡ 1 mod 4 et b impair.
Grâce à la proposition 2.1, si b est impair :
Q1 (b) ' {R0 impair | ν(R0 ) = 1, ν(R0 b2 + 4) = 1}
Définissons alors, pour tout entier k impair, les ensemble :
A = {nk + 4 | n impair, ν(n) = 1 et ν(nk + 4) = 1}
A0 = {nk + 4 | n impair et ν(nk + 4) = 1}
A00 = {nk + 4 | n impair, ν(n) = 0 et ν(nk + 4) = 1}
16
(55)
On a évidemment :
d(A) = d(A0 ) − d(A00 )
(56)
En appliquant alors l’identité 23, il vient immédiatement :
d(A0 ) = d(k + 4, 2k),
(57)
et en appliquant la proposition 4.1, compte tenu que k +4 et 2k sont premiers
entre eux, on a :
1
d(A0 ) =
.
(58)
ε(2k)
La densité de A00 est définie par :
ζ(2) X (1 − ν(n))ν(nk + 4)
.
s→1 ζ(s)
(nk + 4)s
n impair
(59)
ζ(2) X ν(mp2 k + 4)
,
2 k + 4)s
s→1 ζ(s) 2
(mp
p m
(60)
d(A00 ) = lim
c’est-à-dire :
d(A00 ) = lim
où p parcourt l’ensemble P∗ des nombre premier impair et m est impair
(puisque n = p2 m doit l’être). En appliquant la méthode du crible, et en
utilisant à nouveau l’identité 23, nous obtenons :
d(A00 ) =
X
d(p2 k + 4, 2p2 k) −
p
X
d(p21 p22 k + 4, 2p21 p22 k) · · · etc.
(61)
p1 <p2
où les pi parcourent l’ensemble des nombres premiers impairs. Mais comme
là encore p21 . . . p2j k et p21 . . . p2j k + 4 sont premiers, on obtient :
d(A) =
∞
X
(−1)j
X
{pi }∈P∗
j=0
1
ε(2k
Q
i
p2i )
.
(62)
En appliquant alors le lemme 4.3, en notant que σ = σ ∗ ε(2) et que les seuls
diviseurs de k sont impairs, on a en définitive :
d(A) =
k
µ
Q
p|k
17
σ
1−
¶
1
p2 −1
(63)
Pour revenir à la densité de Q1 (b) remarquons, grâce à la proposition 3.4,
que d2 (Qi (b)) = bd(A) pour k = b2 , ce qui donne le résultat.
Pour les autres cas la démonstration est basée sur la même méthode, les seuls
points à vérifier sont les valeurs des constantes. Nous ne définirons que les
ensembles mis en jeux, et laisserons au lecteur le soin de vérifier les calculs.
2) d ≡ 2 et b ≡ 0 mod 4.
Soit B l’ensemble défini pour tout nombre pair k :
B = {nk + 1 | n ≡ 2 mod 4, ν(n) = 1 et ν(nk + 1) = 1}.
(64)
On associe à B les deux ensembles B 0 et B 00 copiés sur le modèle de A0 et A00
tel que d(B) = d(B 0 ) − d(B 00 ). On obtient alors par la méthode du crible :
σ
d(B) =
3k
µ
Q
p|k
1−
¶
(65)
1
p2 −1
On obtient la valeur de c2 [b] en remplaçant k par (b/2)2 .
3) d ≡ 2 et b ≡ 2 mod 4.
Dans ce cas il faut C = C1 ∪ C2 , avec :
C1 = {nk + 1 | n ≡ 1 mod 4, ν(n) = 1 et ν(nk + 1) = 1}
C1 = {nk + 1 | n ≡ 2 mod 4, ν(n) = 1 et ν(nk + 1) = 1}.
(66)
et alors d(C) = d(C1 ) + d(C2 ). On trouve dans les deux cas :
σ
d(Ci ) =
2k
µ
Q
p|k
1−
¶
(67)
1
p2 −1
Il ne reste plus qu’à remplacer k par (b/2)2 .
4) d ≡ 3 et b ≡ 0 mod 4
Il faut considérer l’ensemble
D = {nk + 1 | n ≡ 3 mod 4, ν(n) = 1 et ν(nk + 1) = 1},
18
(68)
on obtient :
σ
d(D) =
3k
µ
Q
p|k
1−
¶
(69)
1
p2 −1
5) d ≡ 3 et b impair
Ce cas est complètement analogue au cas d ≡ 1 mod 4, en fait on aurait pu
remplacer nk + 4 dans la définition de A par nk + 2l sans changer le résultat.
Ce qui achève la démonstration. ¥
Les graphes des densités des Qi (b) sont données jusqu’à b = 50 par les figures
4, 5 et 6 où nous avons porté en ordonnée d2 (Qi (b))/σ. Rappelons que σ est
définie par 43. On en a une valeur approchée :
σ=
Y
Ã
1−
p∈P
!
1
' 0.5307.
p2 −1
(70)
4.5 Remarque. On peut vérifier que la plus petite densité de Qi (b) vaut
Q
toujours σ pour tout i = 1, 2, 3. En majorant et minorant le produit p|b (1 −
1/(p2 − 1)), respectivement par 1 et σ, on constate que :
σ
1
≤ d2 (Qi (b)) ≤ .
b
b
(71)
La fonction densité est donc décroissante en ce sens. D’autre part, cette
dernière proposition met en évidence la fonction arithmétique :
ρ(b) =
b
µ
Q
p|k
1
1−
¶
(72)
1
p2 −1
qui permet de mesurer la densité relative des corps quadratiques plats dans
une même classe de congruence de d modulo 4. Ces remarques semblent
indiquer que la démonstration de la proposition précédente doit pouvoir être
simplifiée, ce que nous essaierons de faire dans une prochaine version. I
19
Q(√2)
Q(√3)
Q(√7)
[2]
[1]
[1,1]
Q(√11)
Q(√19)
[3]
[2,3,2]
Figure 1: Quelques graphes de corps quadratiques. Les points marqués d’un
cercle sont les sommets géométriques, ceux marqués d’une croix : les sommets
plats.
20
b
140
120
100
80
60
40
20
0
0
20
40
60
80
100
120
√
Figure 2: Répartition, en fonction de b et r, des corps Q( d ), de type
Γ(d) = [b] avec d ≡ 1 mod 4
21
140 r
b
140
120
100
80
60
40
20
0
0
20
40
60
80
100
120
√
Figure 3: Répartition, en fonction de b et r, des corps Q( d ), de type
Γ(d) = [b] avec d ≡ 2, 3 mod 4
22
140 r
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
10
20
30
40
√
Figure 4: Graphe de densité des corps plats Q( d ) de type Γ(d) = [b] avec
d ≡ 1 mod 4
23
b
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
10
20
30
40
√
Figure 5: Graphe de densité des corps plats Q( d ) de type Γ(d) = [b] avec
d ≡ 2 mod 4
24
b
Bibliographie
[Ayo63] R. Ayoub. Analytic Theory of Numbers. Number 10 in Math. Survey.
Am. Math. Soc., 1963.
[Igl94]
P. Iglesias. Type combinatoire des corps de nombres algébriques
réels. Prépublication, ENS–Lyon, 1994.
Patrick Iglesias
CMI
39 rue F. Joliot-Curie
F-13453 Marseille Cedex 13
[email protected]
25
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
10
20
30
40
√
Figure 6: Graphe de densité des corps plats Q( d ) de type Γ(d) = [b] avec
d ≡ 3 mod 4
26
b