IIIe Cycle romand de Mathématiques Théorie des Nombres et Géométrie Prof. E. Bayer Fluckiger Séance 1 30.10.02 Exercice 1 (Théorème de Fermat pour n = 4 avec descente infinie) On appelle triangle pythagorique un triplet d’entiers (a, b, c) tel que a2 + b2 = c2 . Notons que l’hypothénuse c d’un triangle pythagorique est entière et que son aire est ab/2. Proposition 1 Si (a, b, c) est un triangle pythagorique, il existe p et q ∈ Z tels que {a, b} = {p2 − q 2 , 2pq} et c = p2 + q 2 . Preuve. (a) Prouver que a ou b est pair [on pourra considérer des congruences modulo 4]. Si c = 0, p = q = 0, alors a = b = 0 donc p = q = 0 conviennent. Si c 6= 0, a/c et b/c sont les coordonnées d’un point du cercle x2 + y 2 = 1. 2 −1 (b) Montrer que tous les points de ce cercle s’écrivent ( tt2 +1 , t22t+1 ) pour t ∈ R [on pourra considérer l’intersection de la droite passant par (1, 0) et par (0, t) avec le cercle, ou utiliser certaines formules de trigonométrie] et que les points à coordonnées rationnelles sont ceux pour lesquels t ∈ Q. (c) Conclure. Théorème 2 (Fermat) L’aire d’un triangle pythagorique ne peut pas être un carré. Preuve. On raisonne par l’absurde : supposons que ab/2 = pq(p + q)(p − q) soit un carré. (a) Montrer que l’on peut supposer que a et b sont premiers entre eux, et qu’alors il existe x, y, u, v ∈ Z premiers deux à deux, avec u et v impairs, tels que : p = x2 , q = y2, p + q = u2 , p − q = v2 ; (b) en déduire que {u + v, u − v} = {2r2 , 4s2 }, où r et s sont deux entiers [on montrera au passage que (u + v, u − v) = 2], (c) puis que (r2 , 2s2 , x) est un triangle pythagorique d’aire carrée et d’hypothénuse strictement inférieure à celle de (a, b, c). (d) Conclure par “descente infinie”. Corollaire 3 L’équation x4 +y 4 = z 4 n’a pas de solution entière non triviale (i.e. avec xyz 6= 0). Preuve. (a) Montrer que l’on peut supposer x, y, z premiers deux à deux et x pair, (b) puis qu’il existe deux entiers a et b premiers entre eux tels que {z 2 −y 2 , z 2 +y 2 } = {8a4 , 2b4 }. (c) Prouver que 4a4 + b4 = z 2 et en déduire une contradiction. 1 1 Réf. : Hellegouarch Y., Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles, Enseignement des Mathématiques, Masson, Paris (1997). Exercice 2 (Loi de réprocité quadratique) (a) Soient p un nombre premier impair et a ∈ Z. On définit ap = 1 si a est un carré non nul mod p, a p = −1 si a n’est pas un carré mod p et (i) Montrer que : a p ! a p = 0 si a = 0 ou p|a. ≡ a(p−1)/2 mod p . ab p (ii) Déduire que pour b ∈ Z on a : ! a p = ! ! b p . (iii) En utilisant (i) prouver que −1 p ! (p−1)/2 = (−1) = ( si p ≡ 1 si p ≡ 3 1 −1 mod 4 mod 4 (b) Démontrer que pour un nombre premier impair p on a 2 p ! (p2 −1)/8 = (−1) ( = si p ≡ ±1 si p ≡ ±5 1 −1 mod 8 mod 8 [Prends y = α + α−1 où α est une racine primitive 8ième de 1 dans une clôture algébrique de Fp . Vérifier que y 2 = 2 et utiliser (a).] (c) Soient p, q deux nombres premiers impairs, p 6= q, et w une racine primitive q ième de 1 dans une clôture algébrique de Fp . On définit la “somme de Gauss” y= q−1 X x=0 (i) Démontrer que (−1)(q−1)/2 y 2 = ! x wx . q Pq−1 u u=0 Cu w avec Cu = Pq−1 1−ut−1 t=1 q . (ii) Déduire que y 2 = (−1)(q−1)/2 q. [Note : le nombre des carrés non nuls = le nombre des non-carrés mod q.] (iii) Démontrer que y p−1 = p q . (iv) Prouver que p q ! (p−1)/2 = (−1) (q−1)/2 (−1) q p ! . [Utiliser (iii),(ii) et (a).] (d) Calculer 17 41 , 1999 65537 . 2 Exercice 3 On veut prouver : Proposition 4 Soit p un nombre premier, pZ[i] est maximal si et seulement si p ≡ 3 mod 4. (a) Montrer que pZ[i] est maximal si et seulement si Z[i]/pZ[i] est un corps ; (b) montrer que Z[i] et Z[X]/(X 2 + 1) sont isomorphes en tant que Z-algèbres ; (c) en utilisant 2(a,iii), déterminer la structure de Fp [X]/(X 2 + 1) et conclure [on pourra utiliser le fait que si A est un anneau commutatif et I et J deux idéaux de A, alors (A/I)/πI (J) = A/(I + J), où πI est la surjection A → A/I]. 3 2 3 Réf. : Serre J.P., Cours d’arithmétique, Presses Universitaires de France, Paris (1977). Réf. : Samuel P., Théorie algébrique des nombres, Hermann, Paris (1967), Chapitre V, paragraphe 4.