coursMT25_ch05

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Séries numériques, séries de Fourier
I
Généralités sur les séries
Dans ce paragraphe, u = (un )n∈N désigne une suite de nombres réels.
I.1 Série associée à une suite
Dénition 1
On appelle série de terme général un , et on note
par
X
un , la suite (Sn )n∈N dénie
Sn =
Sn s'appelle la
somme partielle de rang n de la série
X
un .
On dit que la série
un converge ssi la suite (Sn )n∈N est convergente. La limite
de cette suite est alors appelée somme de la série de terme général un et on la
note
X
Si la série ne converge pas, on dit qu'elle diverge.
Si la série
X
un converge on appelle
Rn =
+∞
X
uk −
k=0
reste d'ordre n le réel :
n
X
uk =
X
k=0
Déterminer la nature d'une série signie qu'il faut déterminer si la série est convergente ou divergente.
Exemple : une somme télescopique. On pose
∀ n ∈ N∗ , u n =
1
=
n(n + 1)
I.2 Condition nécessaire de convergence
Proposition 1
Pour que la série
X
un converge,
il faut
que la suite (un )n∈N . . . . . .
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Application :
Cette propriété est très utile pour prouver qu'une série diverge. Lorsque le terme général de la série
ne converge pas vers 0, on dit que la série associée diverge grossièrement.
La réciproque de cette propriété est fausse. Ce n'est pas parce que le terme général tend vers 0 que
la série associée converge :
I.3 Quelques propriétés générales
Proposition 2 (opérations sur les séries)
Soit
X
un et
X
vn deux séries.
(i) Pour tout réel λ 6= 0, les séries
convergent, on a :
X
+∞
X
λun et
X
un sont de même nature et si les séries
λun =
n=0
(ii) Si les deux séries
convergente et :
X
un et
X
vn sont convergentes alors la série
X
(un + vn ) est
Attention la réciproque de la deuxième propriété est fausse, on doit s'assurer de la convergence
de toutes les séries avant d'écrire
+∞
+∞
+∞
X
X
X
(un + vn ) =
un +
vn .
n=0
• On remarque que
n
X
(uk − uk−1 ) =
n=0
n=0
, on donc peut en déduire la propriété suivante
k=1
Proposition 3 (lien entre suite et série)
La suite u est convergente ssi la série de terme général un − un−1 converge.
En cas de convergence, on a :
+∞
X
(un − un−1 ) = lim
n=1
Preuve :
• ⇒ Supposons que la suite u converge. La somme partielle de rang n de la série de terme
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général un − un−1 est une somme télescopique et on a :
Sn =
n
X
(uk − uk−1 ) = un − u0
(1)
k=1
Comme la suite u converge, on voit que la suite des sommes partielles converge et on a bien l'égalité
demandée.
• ⇐ La relation (1) étant toujours vraie on voit que si la série converge alors la suite u converge et on
a bien l'égalité demandée.
I.4 Lien série-intégrale
Proposition 4
Soit a ∈ N. Si f est une fonction continue, positive et décroissante sur l'intervalle [a , +∞[
et si on pose pour tout entier k > a, uk = f (k), alors pour tout entier n > a,
6
n
X
uk 6
k=a
Cet encadrement peut donner la limite ou même un équivalent de la suite des sommes partielles (à condition
de savoir calculer les intégrales en jeu dans cet encadrement).
Preuve : comme la fonction f est décroissante sur [a , +∞[, on a :
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II
Séries de référence
II.1 Série géométrique et sa dérivée
Proposition 5
Soit q ∈ R.
La série
q n s'appelle la série géométrique de raison q .
Cette série est convergente si, et seulement si,
et on a alors :
X
+∞
X
qn =
n=0
La série
n q n−1 s'appelle la série dérivée de la série géométrique de raison
q.
Cette série converge si, et seulement si, |q| < 1 et on a alors :
X
+∞
X
n q n−1 =
n=1
Preuve :
supposons |q| < 1. On sait que
n
X
qk =
k=0
Or, comme |q| < 1, on a lim q n+1 = 0 donc les sommes partielles convergent vers
n→+∞
est convergente et sa somme vaut
1
.
1−q
II.2 Séries de Riemann
Théorème 6
Soit α un réel.
La série
X 1
converge ssi
nα
Ces séries sont appelées les séries de Riemann.
1
et donc la série
1−q
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Preuve :
on suppose que α > 0.
II.3 Série exponentielle
Théorème 7
Pour tout réel x, la série
X xn
n!
converge et on a :
+∞ n
X
x
n=0
n!
=
Cette série est appelée série exponentielle.
III
Critères de convergence pour les séries à termes positifs
Dans toute cette partie, u = (un )n∈N désigne une suite de nombres réels positifs, c'est-à-dire que
pour tout n ∈ N, un > 0.
III.1 Monotonie de la suite des sommes partielles
La suite (Sn ) des sommes partielles est une suite croissante car ∀ n ∈ N∗ , Sn − Sn−1 = un > 0.
Théorème 8
Une série
partielles
est . . .
X
un à termes réels positifs est convergente ssi la suite (Sn ) de ses sommes
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III.2 Critères de comparaison
Proposition 9
Soit
X
un et
X
vn deux séries telles que
Si la série
X
Si la série
X
Corollaire : soit
∀ n ∈ N, 0 6 un 6 vn .
vn converge alors
diverge alors
vn deux séries à termes positifs telles que un
X
- Si la série
vn converge alors
un . . .
X
X
- Si la série
un diverge alors
vn . . .
X
un et
X
=
(n−→+∞)
o(vn ).
X
Théorème 10
Soit
vn deux séries à termes positifs telles que un
X
X
Alors les séries
un et
vn sont de même nature.
Preuve :
X
un et
X
on suppose que un
∼
(n−→+∞)
∼
(n−→+∞)
vn .
vn . Alors il existe
Pour utiliser ces critères, il faut vérier que la suite est bien à termes positifs. L'idée est ensuite
de se ramener par équivalent, négligeabilité ou inégalité à des séries de références, le plus souvent
à une série géométrique ou une série de Riemann.
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Exemple
1
: déterminer la nature de la série de terme général un =
n
1
exp
−1
n
III.3 Règle de d'Alembert
Proposition 11
Soit
X
un une série à termes strictement positifs (∀ n ∈ N, un > 0).
Soit ` = lim
n→+∞
un+1
,
un
` ∈ R+ ∪ {+∞}
. Si ` > 1,
alors la série de terme général un diverge.
. Si ` < 1,
alors la série
Preuve :
X
un converge.
supposons ` < 1 et choisissons un réel q tel que ` < q < 1.
Exemple : étudier la nature de la série
X n!
.
nn
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IV
L'espace préhilbertien
IV.1 Norme et produit scalaire
CT (R)
Dénition 2
Soit f ∈ F(R, R) et T ∈ R+∗ . On dit que f est une fonction T −périodique ssi
On note CT (R) l'ensemble des fonctions R −→ R, continues sur R et T -périodiques.
Soit f : R −→ R une fonction.
On dit que f est continue par morceaux sur R ssi la restriction de f à tout segment
de R est
Proposition 12
1
L'espace CT (R) muni de l'application ϕ : (f, g) 7−→ hf | gi =
T
est un espace préhilbertien.
La norme associée est
Preuve :
kf k =
posons E = CT (R).
(i) Montrons que E est un sous-espace vectoriel de F(R , R).
Z
T /2
−T /2
f (t)g(t) dt
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IV.2 Famille orthogonale
Proposition 13
La famille ((un )n∈N , (vn )n∈N∗ ) où les fonctions un et vn sont dénies par :
- un ∈ CT (R), un : t 7−→ cos(nωt)
- vn ∈ CT (R), vn : t 7−→
est une famille orthogonale de CT (R) pour le produit scalaire ϕ.
Preuve : on vérie que ces fonctions sont deux à deux orthogonales. Soit n et p deux entiers naturels
distincts, p > 1.
hun | up i =
IV.3 Projection orthogonale d'une fonction f ∈ C (R)
T
Soit n ∈ N∗ . Notons En = Vect (u0 , u1 , u2 , . . . , un , v1 , v2 , . . . , vn ).
Alors En est un sous-espace vectoriel de dimension nie de CT (R) dont une base orthonormale
est
Soit f une fonction continue sur R et T -périodique. Le projeté orthogonal de f sur En est la
fonction :
pEn (f ) = hf | u0 i u0 +
n
X
k=1
On note ak (f ) le coecient réel de uk dans pEn (f ) et bk (f ) celui de vk . Ce qui donne :
a0 (f ) = hf | u0 i =
D
√
D
√
ak (f ) = f |
bk (f ) = f |
2 uk
2 vk
E√
E√
2=
2=
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V
Série de Fourier d'une fonction
T -périodique
V.1 Coecients de Fourier
Dénition 3
Soit f : R −→ R une fonction continue par morceaux sur R et T -périodique. On appelle
coecients de Fourier de f les réels dénis par :
∗
∀n ∈ N ,
∗
∀n ∈ N ,
1
a0 (f ) =
T
Z
2
an (f ) =
T
Z
2
bn (f ) =
T
Z
T /2
f (t) dt
−T /2
T /2
f (t) cos(nωt) dt où ω =
2π
T
f (t) sin(nωt) dt où ω =
2π
T
−T /2
T /2
−T /2
Proposition 14
Si f est paire alors ∀ n ∈ N∗ , bn (f ) = 0 et
4
an (f ) =
T
T
2
Z
f (t) cos(nωt) dt
0
Si f est impaire alors ∀ n ∈ N, an (f ) = 0 et
4
bn (f ) =
T
Z
T
2
f (t) sin(nωt) dt
0
supposons f est paire. Alors t 7−→ f (t) sin(nωt) est impaire. Son intégrale est donc nulle sur
une période.
f étant paire, t 7−→ f (t) cos(nωt) est paire. Son intégrale est donc le double de celle obtenue sur une
demi-période.
Preuve :
Exemple : on considère la fonction créneau f , 2π−périodique, impaire, dénie par :
∀ t ∈]0 , π[, f (t) = 1
Calculer les coecients de Fourier de f
et
f (0) = f (π) = 0
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V.2 Série de Fourier associée à une fonction
Dénition 4
Soit f : R −→ R une fonction continue par morceaux sur R et T -périodique.
On appelle série de Fourier de f en t la série
S(f )(t) = a0 (f ) +
+∞
X
[an (f ) cos(nωt) + bn (f ) sin(nωt)]
n=1
La somme partielle de la série de Fourier de f dénie par :
Sn (f )(t) = a0 (f ) +
n
X
[ak (f ) cos(kωt) + bk (f ) sin(kωt)]
k=1
vérie la relation suivante : Sn (f ) = pEn (f ) où pEn (f ) est le projeté orthogonal de f sur En .
Exemple : donner la série de Fourier associée à la fonction f , 2π−périodique, impaire, dénie
par : ∀ t ∈]0 , π[, f (t) = 1
et
f (0) = f (π) = 0
V.3 Théorèmes de convergence
V.3.1 Théorème de Parseval
Lemme (inégalité de Bessel )
Soit f ∈ CT (R). Alors
n
1 X
1
∀ n ∈ N , a0 (f ) +
ak (f )2 + bk (f )2 6
2 k=1
T
∗
Preuve :
2
Z
soit n ∈ N∗ . La norme du projeté orthogonal de f sur En est
T /2
−T /2
f 2 (t) dt
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Théorème 15 (formule de Parseval)
Soit f : R −→ R une fonction continue par morceaux sur R et T -périodique.
Alors les séries
X
an (f )2 et
X
bn (f )2 convergent et
1
=
T
Z
T /2
|f (t)|2 dt
−T /2
V.3.2 Convergence ponctuelle
Théorème 16 (théorème de Dirichlet, admis)
Soit f : R −→ R une fonction T −périodique et de classe C 1 par morceaux sur R.
Alors la série de Fourier de f converge en tout point t0 ∈ R et
S(f )(t) = lim Sn (f )(t0 ) =
n→+∞
1
−
f (t+
0 ) + f (t0 )
2
+
avec f (t−
0 ) = lim f (x) et f (t0 ) =
x−→t0
x<t0
Remarque : si f est une fonction continue sur R, de classe C 1 par morceaux sur R et T −périodique,
alors sa série de Fourier converge en tout point et
∀ t ∈ R,
a0 (f ) +
+∞
X
[an (f ) cos(nωt) + bn (f ) sin(nωt)] =
n=1
Exemple : f est la fonction 2π−périodique, impaire, dénie par :
∀ t ∈]0 , π[, f (t) = 1
et
f (0) = f (π) = 0