Chapitre 7 – Nombres relatifs - g

Chapitre 7 – Nombres relatifs
→ Activité 1 : Découverte des nombres relatifs
I. Notion de nombres relatifs
Les nombres relatifs permettent de donner une réponse à toutes les soustractions de nombres
décimaux.
Définitions :
• Les nombres positifs sont notés avec le signe + ou sans signe. Ils sont plus grands que zéro.
• Les nombres négatifs sont toujours notés avec un signe –. Ils sont plus petits que zéro.
• Les nombres positifs et les nombres négatifs constituent les nombres relatifs.
On appelle les nombres relatifs qui sont entiers les nombres entiers relatifs.
Remarques :
• Le nombre zéro est le seul nombre qui est à la fois positif et négatif.
Exemples :
Les nombres 1 ; -2 ; +5,3 ; -10,2 ; 0 sont des nombres relatifs
Les nombres -6 ; 2 ; +15 ; -18 ; 0 sont des nombres entiers relatifs
EXERCICES : n ° 6 p 46 / n ° 7 p 46 (maison)
II.
Repérage sur une droite graduée
Définition :
On appelle droite graduée une droite sur laquelle on fixe :
➢ Un point appelé origine de la droite graduée
➢ Un sens
➢ Une unité de longueur que l'on reporte régulièrement à partir de l'origine.
Propriété : Sur une droite graduée :
➢ Chaque point est repéré par un nombre relatif unique appelé l'abscisse du point
➢ A chaque nombre relatif, on associe un unique point.
Exemple :
Le point B a pour abscisse -2,5; le point C 2,5 et le point A 4.
Placer le point D d'abscisse -5 sur la droite graduée.
Définition :
On appelle distance à zéro d'un nombre la distance entre le point d'abscisse correspondant à ce
nombre et l'origine.
Exemple : Calcule la distance à zéro des points A, B, C, D.
Définition :
Deux nombres relatifs qui ont la même distance à zéro et des signes contraires sont des
nombres relatifs opposés.
Exemple : Les nombres relatifs (+2,5) et (-2,5) sont des nombres relatifs opposés. On dit aussi que (2,5) est l'opposé de (+2,5) ou que (+2,5) est l'opposé de (-2,5).
Remarques :
• L'opposé d'un nombre positif est négatif ; l'opposé d'un nombre négatif est positif.
• L'opposé de 0 est 0.
• Sur une droite graduée, deux points symétriques par rapport à l'origine ont des abscisses
opposés.
EXERCICES : n ° 10 p 47 / n ° 11 p 47 / n ° 12 p 47 (maison)
III.
Comparaison de nombres relatifs
1. Utilisation d'une droite graduée
Méthode :
Sur une droite graduée, si un point A est situé «avant» un point B, alors l'abscisse du point A est
inférieure à l'abscisse du point B.
2. Comparaison de deux nombres positifs
Propriété :
Si deux nombres sont positifs, alors le plus petit est celui qui est le plus près de zéro.
On dit que c'est celui qui à la plus petite distance à zéro.
3. Comparaison d'un nombre positif et un nombre négatif
Propriété :
Tout nombre négatif est inférieur à tout nombre positif( sauf 0 qui est à la fois positif et
négatif).
4. Comparaison de deux nombres négatifs
Propriété :
Si deux nombres sont négatifs.
Alors le plus petit est celui qui est le plus éloigné de zéro. On dit que c'est celui qui a la plus grande
distance à zéro.
Exemple :
-6 < -3 car la distance à 0 de -6 est 6 alors que celle de -3 est 3.
EXERCICES : n ° 24 p 49 / n ° 25 p 49 / n ° 27 p 49 / n ° 28 p 49
IV.
Repérage dans le plan
Définition :
Deux droites graduées, de même origine et perpendiculaires forment un repère orthogonal du plan.
La droite horizontale est appelée l'axe des abscisses. La droite verticale est appelée l'axe des
ordonnées.
Remarque : Les deux axes ont la même origine, mais pas nécessairement la même unité de longueur.
Dans un repère du plan, chaque point peut-être repéré par deux nombres relatifs appelés les
coordonnées du point. Le premier nombre cité est toujours l'abscisse du point et le second est
l'ordonnée.
Exemple : Sur cette figure :
A a pour abscisse 4 et ordonnée 2, on écrit donc
A ( +4 ; +2 )
B a pour abscisse -3,5 et ordonnée 0, on écrit donc
B ( -3,5 ; 0 )
C a pour abscisse 2 et ordonnée -3, on écrit donc
C ( 2 ; -3 )
D a pour abscisse -3 et ordonnée 1, on écrit donc
D ( -3 ; 1 )
EXERCICES : n ° 18 p 48 / n ° 19 p 48 /n ° 20 p 48
V. Opération sur les nombres relatifs
→ Activité 2
1. Somme de deux nombres relatifs
Méthode : Pour additionner deux nombres de même signe,
•
•
on écrit le signe commun aux deux nombres
on écrit la somme des distances à zéro
Exemples :
(+3,6) + (+6,4) = +10
(-3,6) + (-6,4) = -10
Méthode :
Pour additionner deux nombres de signes contraires :
• on écrit le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro
• on écrit la différence des distances à zéro
Exemples :
(+2,6) + (-3,9) = -1,3
(+3,9) + (-2,6) = +1,3
(+7,7) + (-6,6) = +1,1
(-5,5) + (+1,1) = -4,4
EXERCICES : n ° 33 p 50 / n ° 34 p 50 / n ° 35 p 50
2. Différence de deux nombres relatifs
Propriété : Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.
Exemples :
• (-5) - (+20) = (-5) + (-20) = -25
Soustraire (+20), c'est ajouter (-20).
• (-3) - (-18) = (-5) + (+18) = +15
Soustraire (-18), c'est ajouter (+18).
Définition :
Sur une droite graduée, la distance de deux points d'abscisses données est égale à la
différence entre l'abscisse la plus grande et l'abscisse la plus petite.
Pour calculer la distance entre A et B, on regarde laquelle des deux abscisses est la plus grande, c'est
A et on fait AB = 4 – 1,5 = 2,5. Calculer BC, CD, AC et BD.
Remarque : La distance de deux points est toujours positive.
EXERCICES : n ° 40 p 50 / n ° 42 p 50 / n ° 60 p 52 / n ° 62 p 52 / n ° 62 p 52
3. Calcul d'une expression algébrique
Propriété :
On peut modifier l'ordre des termes d'une addition et les regrouper, sans que cela change leur
somme.
Exemple :
Pour calculer une expression algébrique non simplifiée, on commence par écrire une somme.
Exemple :
Pour simplifier une expression algébrique, on peut supprimer les parenthèses des nombres relatifs
ainsi que le signe "+" des nombres positifs.
Exemples : • Premier cas : (-100) + (+75) = -100 + 75 = -25.
• Deuxième cas : (+12,5) - (+0,3) = 12,5 - 0,3 = 12,2.
• Troisième cas : 3,5 - (-2) = 3,5 + (+2) = 3,5 + 2 = 5,5.
• Quatrième cas : (-8) + (-12) = (-8) - (+12) = -8 – 12 = -20.
EXERCICES : n ° 46 p 51 / n ° 47 p 51 / n ° 48 p 51 / n ° 54 p 50 / n ° 55 p 50