Spé-TS, 1 octobre 2008 feuille 3 Division euclidienne, nombres premiers . sible par 6. On pourra raisonner en introduisant le reste de la division euclidienne de p par 6. Division euclidienne Exercice 1 : Déterminer les entiers naturels non nuls dont la division euclidienne par 43 donne un reste égal Exercice 10 : Soit p un nombre premier. On pose au carré du quotient. n = 2 × 3 × · · · × p. Exercice 2 : Déterminer les entiers a satisfaisant 1000 ≤ a ≤ 2000 et tels que le quotient et le reste de leur division euclidienne par 127 soient égaux. 1. Montrer que les nombres n + 2, n + 3, . . . , n + p; sont composés. Exercice 3 : a2 +b2 1. Montrer que si a et b sont des entiers tels que est impair, alors a et b sont de parité différente. 2. En déduire un exemple de 2008 consécutifs non premiers. nombres 2. Montrer qu’un entier impair n qui est somme de Exercice 11 : deux carrés est de la forme n = 4k + 1. 1. Montrer que la somme de 5 entiers naturels im3. En déduire qu’un entier de la forme 4k − 1 ne peut pairs consécutifs n’est jamais un nombre premier. être la somme de deux carrés. 2. Plus généralement, la somme de n entiers natuExercice 4 : Déterminer les valeurs de n ∈ N pour lesquelles n + 1 divise 3n2 + 15n + 19. Nombres premiers rels impairs consécutifs peut-elle être un nombre premier ? Exercice 12 : Les nombres de Mersenne sont les nombres premiers de la forme N = 2p − 1, avec p ∈ N. Exercice 5 : Montrer que si p et 8p − 1 sont premiers, alors 8p + 1 est composé. On pourra utiliser le reste de la division eulidienne de p par 3 1. Pour a 6= 1 et n entier naturel supérieur à 2, simplifier la somme Exercice 6 : Montrer que si p est premier et différent de 3, alors 8p2 + 1 est composé. On pourra utiliser le reste de la division eulidienne de p par 3 2. Montrer que si an − 1 est un nombre premier, alors a = 2. Exercice 7 : Montrer que pour n ∈ N, n2 + 8n + 15 n’est pas premier. 4. montrer que si p est premier, alors 2p − 1 est premier pour certaines valeurs de p, et composé pour d’autres valeurs. Exercice 8 : Soit p un nombre premier au moins égal à 5. 1. Montrer que p s’écrit sous l’une des formes 12k + 1; 12k − 1; 12k + 5; 12k − 5. avec k entier. 2. Soit N = p2 +11. Déterminer le reste de la division de N par 24. 1 + a + a2 + · · · + an 3. Montrer que si n est composé, alors 2n − 1 est composé. Exercice 13 : 1. Déterminer le nombre de diviseurs dans N de l’entier A = 2a 5b , où a et b sont des entiers naturels non nuls. 2. Calculer la somme de ces diviseurs. Exercice 14 : Exercice 9 : Montrer que si p et p + 2 sont deux nombres premiers plus grands que 3, alors p + 1 est divi- 1. Montrer que si 2 divise a2 alors 2 divise a. 2. Qu’en est-il avec un autre nombre premier ?