Université Paris Sud Année 2013-2014 S5/L3 M309 Topologie et

Université Paris Sud
Année 2013-2014
S5/L3 M309
Topologie et calcul différentiel
TD n◦ II
Exercice A (Distances sur R2 ) On définit sur l’ensemble X := R2 (le plan) les trois applications
suivantes de X × X dans R+ :
q
(xP − xQ )2 + (yP − yq )2
d2 (P, Q) :=
d1 (P, Q) := |xP − xQ | + |yP − yQ |
d∞ (P, Q) := max(|xP − xQ |, |yP − yQ |
où (xP , yP ) désigne les coordonnées du point P.
1) Montrer que d1 , d2 et d∞ sont des distances et que d2 est la distance usuelle du plan euclidien.
2) Dessiner les boules fermées de rayon 1 pour ces trois métriques.
3) Prouver les inégalités
d∞ ≤ d2 ≤
√
2d∞ et d∞ ≤ d1 ≤ 2d∞ .
4) Montrer que les trois métriques précédentes admettent les mêmes suites convergentes.
5) Montrer que les espaces métriques (R2 , di )i∈{1;2;∞} ont les mêmes ouverts.
6) a) Trouver trois normes sur l’espace vectoriel R2 qui induisent respectivement les distances d1 , d2 et
d∞ .
b) Ces normes sont-elles uniques ?
c) Ces normes sont-elles équivalentes ?
Exercice B 1) Si (x, y) ∈ R2 , on pose ||(x, y)|| = max(|x + y|, |x − 2y|). Montrer qu’il s’agit d’une
norme sur R2 et dessiner sa boule unité fermée.
2) Soit p, q deux normes sur Rn , Bp et Bq leurs boules unités fermées. Montrer que
Bq ⊂ Bp ⇐⇒ p ≤ q.
Que signifie 12 Bp ⊂ Bq ⊂ 2Bp ? Exemples.
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Exercice C Soit (X, d) un espace métrique. Sur X × X on définit δ(x, y) := min(1, d(x, y)).
1) Montrer que (X, δ) est un espace métrique.
2) a) Montrer que (X, d) et (X, δ) ont les mêmes suites convergentes.
b) Ont-ils les mêmes ouverts ? Les mêmes fermés ?
3) a) Montrer que
∀ (x, y) ∈ X × X , δ(x, y) ≤ d(x, y) .
b) Existe-t-il α ∈ R∗+ tel que
d(x, y) ≤ αδ(x, y) ?
Exercice D 1) Étants données deux distances d1 et d2 sur un ensemble X, montrer que les trois assertions
suivantes sont équivalentes :
a) Les espaces métriques (X, d1 ) et (X, d2 ) ont les même suites convergentes.
b) Les espaces métriques (X, d1 ) et (X, d2 ) ont les mêmes ouverts.
c) Les espaces métriques (X, d1 ) et (X, d2 ) ont les mêmes fermés.
Deux distances d1 et d2 sur un ensemble X sont topologiquement équivalentes.
Étant données deux distances d1 et d2 sur un ensemble X on dit que d1 est équivalente à d2 s’il
existe deux nombres réels strictements positifs α et β tels que pour tout (x, y) ∈ X × X,
αd1 (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ βd1(x, y)
on note alors d1 ∼ d2 .
2) Montrer que la relation ∼ définie ci-dessus est une relation d’équivalence. On dira alors que d1 et d2
sont équivalentes.
3) Montrer que si X est un R-espace vectoriel, d1 et d2 des distances sur X, respectivement associées à
des normes N1 et N2 , les distances d1 et D2 sont équivalentes si et seulement si les normes N1 et N2 sont
équivalentes.
4) Donner des exemples de distances équivalentes pour X = Rn , X = C([0, 1], R) l’ensemble des
fonctions continues de [0, 1] dans R.
5) a) Montrer que deux distances équivalentes sont topologiquement équivalentes.
b) La réciproque est-elle vraie ?
Exercice E Soit (E, d) un espace métrique.
p
1) Montrer que d′ (x, y) = d(x, y) est une distance sur E. Enoncer des conditions suffisantes sur une
fonction f, définie de R+ dans R+ pour que (x, y) −→ f (d(x, y)) soit une distance sur E.
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2) Montrer que l’application d′′ définie sur E × E par
d′′ (x, y) :=
d(x, y)
+d(x, y)
est une distance sur E. Indication : On utilisera la croissance de la fonction u −→
u
.
1+u
3) Comparer les distances d et d′′ .
4) Dans le cas où E est l’ensemble des nombres réels et où d est la distance valeur absolue, construire
Bd′′ (0, a) où a est un réel.
Exercice F (La distance SNCF) On identifie le plan R2 à l’ensemble des nombres complexes C et on
note
d : C × C → R+
l’application définie par d(z, z ′ ) = |z − z ′ | si arg z = arg z ′ [π] et |z| + |z ′ | sinon.
1) Montrer que d est une distance sur R2 .
2) Dessiner quelques boules ouvertes pour d.
3) Soit t un élément non nul de R2 . Construire une suite (xn )n∈N d’éléments de R2 qui converge vers 0 et
telle que la suite (xn + t)n∈N ne converge pas.
Ceci prouve que les translations non triviales ne sont pas des transformations continues de l’espace
métrique (R2 , d).
4) Existe-t-il une norme de l’espace vectoriel R2 dont la distance associée est d ?
Exercice G Sur X := ]0, 1[, on définit d(x, y) := | x1 − y1 |.
1) Montrer que (X, d) est un espace métrique.
2) a) Montrer que toute suite qui converge pour d converge pour la distance usuelle.
b) La réciproque est-elle vraie ?
c) La distance usuelle et d sont-elles équivalentes ?
Exercice H Dans un espace métrique (X, d) on définit la boule fermée de centre a ∈ X et de rayon
r ∈ R+ par
B f (a, r) := {x ∈ X / d(x, a) ≤ r} .
1) Montrer que, pour tout a ∈ X et tout r ∈ R+ , B f (a, r) est un sous-ensemble fermé de (X, d).
2) Montrer que si X est un espace vectoriel normée et d la distance définie par la norme, alors B f (a, r)
est l’adhérence de la boule ouverte B(a, r) de centre a et de rayon r.
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3) Sur X = R2 , on définit δ(x, y) = 1 si x 6= y et δ(x, y) = 0 sinon.
a) Montrer que δ est une distance sur X.
b) Est-ce que chaque boule fermée dans (X, δ) est l’adhérence de la boule ouverte correspondante ?
c) Exist-t-il une norme N sur X telle que δ soit la distance associée à N ?
Exercice I Soit
E := C 1 ([0, 1], R), || · ||∞
l’espace vectoriel réel des fonctions de classe C 1 sur [0, 1] à valeurs réelles, muni de la norme infini.
Pour tout f ∈ E, on pose
N(f ) := |f (0)| + sup (|f ′ (t)| .
t∈[0,1]
1) Montrer que N est une norme sur E.
2) Montrer qu’il existe un réel k > 0 tel que pour tout f ∈ E, on ait
||f ||∞ ≤ kN(f ) .
3) Les normes || · ||∞ et N sont-elles équivalentes ?
Exercice J Soit E = C 1 ([0, 1], R). Comparer les normes
N1 (f ) := ||f ||∞ , N2 (f ) := ||f ||∞ + ||f ||1, N3 (f ) := ||f ′ ||∞ + ||f ||∞, N4 (f ) := ||f ′||1 + ||f ||∞ .
Exercice K Soit Rk [X] l’ensemble des polynômes P ∈ R[X] tels que deg(P ) ≤ k . On définit
Z 1
||P ||1 :=
|P (t)|dt ∀P ∈ R[X] .
0
1) Montrer que || · ||1 est une norme sur R[X].
2) Soit Pn
n∈N
une suite à valeurs dans Rk [X], k ∈ N étant fixé. Pour tout n ∈ N, on pose
Pn =
k
X
an,j X j .
j=0
Pp
j
Montrer que si la suite Pn n∈N a une limite P :=
j=0 aj X dans (R[X], ||·||1), pour tout 0 ≤ j ≤ p,
la suite (an,j )n∈N a pour limite aj dans (R, | · |).
3) En déduire que p ≤ k c’est-à-dire que P ∈ Rk [X].
4) Le sous-ensemble Rk [X] de R[X] est-il ouvert, fermé dans (R[X], || · ||1 ) ?
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Exercice L 1) Soit (X, d) un espace métrique et xn
existe c > 0 et 0 < k < 1 tels que pour tout n ∈ N,
n∈N
une suite à valeurs dans X vérifiant : Il
d(xn , xn+1 ) ≤ ck n .
Montrer qu’alors xn
n∈N
est une suite de Cauchy.
2) Donner un exemple de suite xn
n∈N
vérifiant
lim d(xn , xn+1 ) = 0
n→+∞
et qui n’est pas de Cauchy.
Exercice M Soit L le R-espace vectoriel des fonction lipschitzienne de l’intervalle [0, 1] dans R. Pour
tout f ∈ L, on pose
f (x) − f (y)
|.
C(f ) :=
sup
|
x−y
(x,y)∈[0,1]×[0,1] , x6=y
1) Justifier l’existence de C(f ).
Pour tout f ∈ L, on pose
N(f ) := ||f ||∞ + C(f ) .
2) Montrer que N est une norme.
3) Les normes N et || · ||∞ sont-elles équivalentes ?
Exercice N Soit (E, d) un espace métrique. On dit que d est ultramétrique si elle vérifie :
∀(x, y, z) ∈ E 3
d(x, z) ≤ sup (d(x, y), d(y, z)) .
Cette inégalité entraine évidemment l’inégalité triangulaire.
1) Montrer que E muni de la distance d définie par
d(x, y) = 1 si x 6= y,
d(x, x) = 0
est un espace ultramétrique.
On suppose maintenant que (E, d) est ultramétrique.
2) Montrer que si d(x, y) 6= d(y, z), on a d(x, z) = sup (d(x, y), d(y, z)) .
3) Montrer qu’une boule ouverte (resp. fermée) est une partie à la fois ouverte et fermée.
4) Montrer que si deux boules ont un point commun l’une est contenue dans l’autre. Montrer de plus que si
ces boules ont même rayon et sont toutes les deux des boules ouvertes (resp. fermées) elles sont confondues.
5) Montrer que si deux boules ouvertes distinctes B1 , B2 de rayon r sont contenues dans une boule fermée
de même rayon, alors leur distance est égale à r :
d(B1 , B2 ) :=
inf
(a,b)∈B1 ×B2
5
d(a, b) = r.