TD M1-M2 : cinématique, PFD, chutes - e

Mécanique
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TD M1-M2 : cinématique, PFD, chutes
Exercice 1 - Mouvement uniformément accéléré *
Un véhicule se déplaçant sur une ligne droite horizontale a une accélération a = 6 m.s−2 .
Déterminez le temps mis pour passer de 0 à 100 km.h−1 ainsi que la distance parcourue.
Exercice 5 - Mouvement vertical à une dimension d’une fusée **
On étudie le mouvement vertical d’une fusée de feu d’artifice. Cette fusée, de masse constante
m = 300 g, décolle depuis un support placé à une hauteur h = 1,00 m du sol, avec une vitesse
verticale vers le haut de v0 = 30,0 m.s−1 . On considère tout frottement négligeable.
1. Calculer l’altitude atteinte par la fusée et le temps qu’il lui faut pour l’atteindre.
2. Combien de temps dure son vol jusqu’au retour au sol ?
Exercice 2 - Poursuite **
Une voiture roule à la vitesse constante v0 = 90 km.h−1 sur une route droite ; un motard, qui
démarre à t = 0 au moment où la voiture passe à sa hauteur, accélère uniformément. Il atteint
une vitesse de 90 km.h−1 au bout de 10 s.
1. Quel temps T faudra-t-il au motard pour rattraper la voiture ?
2. Quelle sera alors la distance d parcourue ?
3. Quelle sera la vitesse v1 acquise par le motard ?
On prendra g = 9,81 m.s−1 .
Exercice 6 - Balle de tennis **
Un joueur de tennis tape à l’intant t = 0 dans une balle de tennis de masse m, situé à un mètre
−
du sol, et lui communique une vitesse →
v0 horizontale.
1. En supposant la balle comme ponctuelle et confondue avec son centre de gravité, quel
mouvement (important) de l’objet n’est pas décrit.
2. Etablir les équations vérifiées par ẍ(t) et z̈(t).
Exercice 3 - Equation cartésienne **
Considérons le mouvement d’un point du plan cartésien donné par l’équation paramétrique
suivante :
(
x(t) = at
C
t ∈ R et a,b cstes
y(t) = bt
1. Quelle courbe décrit le point M ? Donner son équation.
2. Exprimer le vecteur vitesse ainsi que sa norme. Caractériser alors le mouvement.
3. Donner les expressions de x(t) et z(t).
4. Sachant que le joueur est situé au moment de sa frappe à une distance d = 20 m de la ligne
de fond de cours advserse, calculer la vitesse maximum qu’il doit communiquer à la balle.
5. Calculer le module de la vitesse et la direction lors de l’impact au sol.
6. On admet que la balle repart après rebond comme la lumière est réfléchie sur un miroir.
Décrire la vitesse juste après le rebond puis sans calcul, décrire le mouvement de la balle
après rebond. Est-ce réaliste ?
3. Exprimer la distance parcourue par le point M pendant une durée T .
Exercice 4 - Force magnétique **
Une bille d’acier de masse m = 200 g, fixée à l’extrémité d’un fil de longueur ` = 50 cm est attirée
par un aimant de telle sorte qu’à l’équilibre, le fil s’incline de α = 50˚. Le champ de pesanteur
terrestre vaut g = 9,8 m.s−2 .
→
−
g
α
S
N
Figure 1 – Bille en équilibre grâce à une force magnétique
Un peu de cours
Lorsqu’un corps M est en mouvement sur une surface
rugueuse, il subit différentes forces :
→
−
— son poids P , force verticale dirigée vers le
bas ;
→
−
— la réaction R de la surface rugueuse qui se
décompose en deux forces :
→
−
— une réaction normale nommée N perpendiculaire à la surface et dirigée vers le
haut ;
→
−
— une réaction tangentielle nommée T tangente à la surface et dirigée dans le sens
inverse de celui de la vitesse du corps
On distingue alors trois cas :
Calculez la force magnétique que ressent la bille d’acier ainsi que la tension du fil.
1
2
→
−
R
→
−
N
→
−
v
→
−
T
→
−
P
Figure 2 – Forces sur un corps
en déplacement sur une surface
rugueuse
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Exercice 8 - Chute d’un grêlon ***
i. Dans le cas où la surface n’est pas rugueuse, les frottements solides sont nuls, la réaction
→
−
R est perpendiculaire au support :
→
−
→
−
T = 0
ii. S’il y a glissement avec frottements, alors la réaction tangentielle (force de frottements
solides) est proportionnelle à la réaction normale :
→
−
→
−
|| T || = µ || N ||
où µ est le coefficient de frottements solides.
Ce coefficient dépend de la nature des matériaux en contact.
iii. Dans un dernier cas, par exemple si la surface rugueuse est inclinée, les frottements
peuvent être suffisant pour que le corps M
reste statique. Dans ce cas, on a :
→
−
→
−
|| T || < µ || N ||
On admettra que le grêlon tombe en chute libre.
→
−
R
→
−
N
→
−
T
1.1. En appliquant la deuxième loi de Newton, déterminer les équations horaires donnant
la vitesse et la position du centre d’inertie G du grêlon en fonction de la durée t de la
chute.
1.2. Calculer la valeur de la vitesse lorsqu’il atteint le sol. Ce résultat est-il vraisemblable ?
Justifier.
→
−
P
Figure 3 – Forces sur un corps
posé sur une surface rugueuse
inclinée
Exercice 7 - Descente d’un skieur **
Un skieur de masse m = 80 kg se trouve au sommet d’une piste faisant un angle α = 30◦ avec
l’horizontale et de dénivelée h = 100 m.
A t = 0, il part sans vitesse initiale.
Etude sans frottement
1. Etudier le mouvement lors de la descente.
2. Calculer la vitesse en bas de la pente.
Etude avec frottement solide de coefficient µ = 0,04
3. Etudier le mouvement lors de la descente.
4. Calculer la vitesse en bas de la pente. De quels paramètres dépend celle-ci ?
→
−
−
Etude avec frottement fluide caracétrisé par une force f = −h →
v avec h = 10 SI
5. Etudier le mouvement lors de la descente.
6. Calculer la vitesse en bas de la pente en considérant que le skieur a atteint sa vitesse limite.
De quels paramètres dépend celle-ci ?
3
La grêle se forme dans les cumulonimbus situés entre 1000 m et 10000 m d’altitude où la température est très basse, jusqu’à −40◦ C. Le grêlon tombe lorsqu’il n’est plus maintenu au sein
du nuage. Au sol sa vitesse peut atteindre 160 km.h−1 . On étudie un grêlon de masse 13 g qui
tombe d’un point O d’altitude 1500 m sans vitesse initiale. Il peut être assimilé à une sphère de
diamètre 3,0 cm. Le point O sera pris comme origine d’un axe Oz orienté vers le bas. L’intensité
de la pesanteur sera considérée comme constante et de valeur g = 9,80 m.s−2 .
4
Données : volume d’une sphère V = π r3 ; masse volumique de l’air µ = 1,3 kg.m−3 .
3
1. Chute libre
2. Chute réelle
En réalité le grêlon est soumis à deux autres forces, la poussée d’Archimède et la force de
frottement fluide proportionnelle au carré de la vitesse telle que F = K v 2 .
2.1. Par une analyse dimensionnelle, déterminer l’unité du coefficient K dans le Système
International.
2.2. Donner l’expression de la poussée d’Archimède. La calculer et la comparer à celle du
poids. Conclure.
2.3. On néglige la poussée d’Archimède.
2.3.1. Établir l’équation différentielle du mouvement. Montrer qu’elle peut s’écrire sous la
forme
dv
= A − B v2
dt
2.3.2. On veut résoudre cette équation différentielle par une méthode numérique : la
méthode d’Euler.
Le tableau suivant est un extrait d’une feuille de calcul des valeurs de la vitesse
(v) et de l’accélération (a) en fonction du temps (t). Il correspond aux valeurs
A = 9,80 m.s−2 et B = 1,56 × 10−2 m−1 , pas de variation δt = 0,5 s. Déterminer a4
et v5 en détaillant les calculs.
2.3.3. Exprimer littéralement la vitesse limite atteinte par le grêlon en fonction de A et B
puis calculer sa valeur numérique. Vérifier graphiquement sa valeur.
2.3.4. Trouver graphiquement le temps caractéristique de cette chute et en déduire la durée
du régime transitoire.
4
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t(s)
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
v(m.s−1 )
0,00
4,90
9,61
13,8
17,2
v5
21,6
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Exercice 10 - Tir balistique avec frottements de l’air ***(*)
a(m.s−2 )
9,80
9,43
8,36
6,83
a4
3,69
2,49
Table 1 – Vitesse et
accélération d’un grêlon
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On considère un canon qui tire un boulet de masse m = 15 kg avec une vitesse initiale de 250 m.s−1
et un angle de 35◦ . Malgré sa vitesse élevée, le boulet subit une force de frottement linéaire dont
le coefficient de frottement est k = 1,2 kg.s−1 .
On considère que le boulet est tiré d’une altitude nulle et qu’il retombe à la même altitude.
Question
Figure 4 – Vitesse d’un grêlon en fonction du temps
Exercice 9 - Jeux aquatiques ***
Un baigneur (masse m = 80 kg) saute d’un plongeoir situé à une hauteur h = 10 m au dessus de
la surface de l’eau. On considère qu’il se laisse chuter sans vitesse initiale et qu’il est uniquement
soumis à la force de pesanteur (on prendra g = 10 m.s−2 ) durant la chute. On note Oz, l’axe
vertical descendant, O étant le point de départ du saut.
Après avoir étudier théoriquement le problème (obtention des équations du mouvement), utiliser
la calculatrice pour obtenir la portée atteinte par ce boulet. La comparer à la portée qui aurait
été atteinte sans frottement.
Indication
Soit une équation du type a x + b exp (x) + c = 0. Pour résoudre celle-ci, on définit deux fonctions, par exemple
f (x) = a x + c et g(x) = b exp (x), et on cherche leur point d’intersection (à la calculatrice par exemple).
1. Déterminer la vitesse ve d’entrée dans l’eau ainsi que le temps de chute tc . Réaliser les
applications numériques.
2. Lorsqu’il est dans l’eau, le baigneur ne fait aucun mouvement. Il subit en plus de la pesanteur :
→
−
−
— Une force de frottement f = −k →
v avec k = 250 kg.s−1 ;
→
−
m→
— La poussée d’Archimède Π = − −
g où dh = 0,9 est la densité du corps humain.
dh
2.1. Établir l’équation différentielle à laquelle obéit la vitesse en projection sur Oz, notée vz .
m
On posera τ = .
k
2.2. Résoudre cette équation en prenant comme nouvelle origine des temps t = tc (c’est-à-dire
qu’on prendra v(t = 0) = ve ).
2.3. Expliquer quel est le mouvement du plongeur dans l’eau puis déterminer sa vitesse
limite v` (négative). Faire l’application numérique.
2.4. Exprimer la vitesse (obtenue en question 2.2) en fonction de la vitesse d’entrée ve , la
valeur absolue de la vitesse limite |v` |, τ et le temps.
En déduire le temps t1 au bout duquel le plongeur remonte.
2.5. En prenant la surface de l’eau comme nouvelle origine de l’axe Oz, déterminer la
profondeur atteinte par le plongeur.
3. Le même baigneur décide maintenant d’effectuer un plongeon. On suppose qu’il entre dans
l’eau avec un angle α = 60◦ par rapport à l’horizontale et une vitesse v0 = 8 m.s−1 . Les
forces qui s’exercent sur lui sont les mêmes que précédemment mais le cœfficient k est divisé
par deux en raison d’une meilleure pénétration dans l’eau.
Le plongeur atteint-il la même profondeur que lors de son saut vertical ?
5
6