Concours manipulateur électroradiologie médicale Toulouse 2007 1

Concours manipulateur électroradiologie médicale Toulouse 2007
1. On admettra que le grêlon tombe en chute libre.
Préciser le référentiel d'étude. Que signifie l'expression tomber en chute libre ?
Référentiel terrestre supposé galiléen. La chute est dite "libre" lorsque l'objet n'est soumis qu'à
son poids.
2. Rappeler les conditions initiales du mouvement du grélon.
Vitesse initiale nulle ; la position initiale du grêlon est choisie comme origine de l'axe
verticale descendant.
3. En appliquant la deuxième loi de Newton, déterminer les équations horaires donnant
la vitesse et la position du centre d'inertie G du grêlon en fonction de la durée t de chute.
En chute libre, le poids est la seule force appliquée : ma = mg d'où a=g.
La vitesse est une primitive de l'accélération : v= gt ( vitesse initiale nulle)
La position est une primitive de la vitesse : z= ½gt².( position initiale prise comme origine)
4. Calculer la valeur de la vitesse lorsqu'il atteint le sol, ce résultat est-il vraisemblable ?
Justifier.
Au sol z = 1500 m ; t²= 3000/g ; t = [3000/g]½.
Donc v = g[3000/g]½ = [3000*g]½ = [3000*9,8]½ = 171,5 m/s=617 km/h.
Cette valeur est bien trop grande pour correspondre à la réalité , ainsi qu'à la valeur proposée
dans le texte; on a négligé les forces de frottements sur les couches d'air.
5. En réalité le grêlon est soumis à deux autres forces, la poussée d'Archimède F A et la force
de frottement fluide F proportionnelle au carré de la vitesse telle que F = K.v2 . Par une
analyse dimensionnelle, déterminer l'unité du coefficient K dans le Système
International.
F : force ( newton) = Masse * accélération soit [M][L][T]-2 ;
vitesse ² = longueur ² / temps² soit [L]2[T]-2 ;
K= F/v² soit [M][L][T]-2 [L]-2[T]2 = [M][L]-1
L'unité du coefficient K dans le Système International est donc kg.m-1.
6. Donner l'expression de la valeur de la poussée d'Archimède; la calculer et la
comparer à celle du poids. Conclure.
Poussée d'Archimède = poids du volume de fluide (air) déplacé = volume grêlon * air*g
FA= 4/3 .r3 airg avec r = 1,5 10-2 m.
FA= 4/3*3,14*(1,5 10-2)3*1,3*9,8 = 1,8 10-4 N.
poids P=mg= 0,013*9,8 = 0,13 N
La poussée d'Archimède est négligeable devant le poids du grêlon. On néglige la poussée
d'Archimède.
7. Représenter sur un schéma (sans échelle) les forces qui s'exercent sur le grêlon.
Etablir l'équation différentielle du mouvement. Montrer qu'elle peut s'écrire sous la
forme dv/dt = A – B.v2
Seconde loi de Newton dans un référentiel terrestre supposé galiléen, suivant un axe vertical
descendant : le grêlon est soumis à son poids, vertical vers le bas et à la force de frottement
verticale vers le haut.
mg - Kv² = ma = m dv/dt soit dv/dt = g-K/mv².
A = g et B= K/m.
8. On veut résoudre cette équation différentielle par une méthode numérique : la méthode
d'Euler. Le tableau suivant est un extrait d'une feuille de calcul des valeurs de la vitesse (v) et
de l'accélération (a) en fonction du temps (t). Il correspond aux valeurs : A = 9,80 m.s-2 et B =
1,56.10-2 m-1 , pas de variation t = 0,5 s.
t(s) v(m/s) a (m/s²)
0
0
9,8
0,5
4,9
9,43
1
9,61
8,36
1,5 13,8
6,83
2
17,2
a4
2,5
v5
3,69
3
21,6
2,49
Déterminer a4 et v5 en détaillant les calculs.
On utilise l'équation différentielle pour déterminer a4 :
a4 = 9,8-1,56 10-2 v42 avec v4 = 17,2 m/s.
a4 = 9,8-1,56 10-2* 17,22 = 5,18 m/s².
Dans la méthode d'Euler, on utilise l'approximation suivante : a =v / t.
v = v5-v4= a4t soit v5= v4+ a4t
v5= 17,2 + 5,18 * 0,5 = 19,8 m/s.
9. Exprimer la vitesse limite atteinte par le grêlon en fonction de A et B puis calculer sa
valeur numérique.
Lorsque la vitesse limite est atteinte par le grêlon, la vitesse est constante, l'accélération a est
alors nulle.
0= A-Bvl2 soit vl =(A/B)½= (9,8/1,56 10-2)½=25,1 m/s.
10. La courbe d'évolution de la vitesse en fonction du temps est donnée ci-dessous.
Retrouver graphiquement la valeur de la vitesse calculée au paragraphe précédent.
D'après la courbe, l'asymptote horizontale donne la valeur de la vitesse limite, valeur en
accord avec celle calculée ci-dessus.