Les nombres complexes (forme algébrique) I. L'ensemble C I des nombres complexes. 1) def : Notion de nombre complexe. Soit i le nombre "imaginaire" tel que i ² = – 1 . L'ensemble CI des nombres complexes est l'ensemble des nombres de la forme a + ib où a∈IR et b∈IR. L'écriture z = a + ib (avec a et b réels) s'appelle la forme algébrique de z. a désigne la partie réelle de z : a = Re(z). b désigne la partie imaginaire de z : b = Im(z). Attention, Im(z) est un réel. ex : 1 ) z = 3 – 5i 3 2) z=i 2 + 2 3) z=4+ 3 Re(z) = ............... Im(z) = ........................ Re(z) = ............... Im(z) = ........................ Re(z) = ............... Im(z) = ........................ rmq : L'ensemble CI contient l'ensemble IR, car tout réel x peut s’écrire x + 0i. IN ⊂ ZZ ⊂ ID ⊂ Q I ⊂ IR ⊂ CI def : Lorsque b = 0, on dit que z est un réel. Lorsque a = 0, on dit que z est un imaginaire pur et on note i IR l’ensemble des imaginaires purs. 0 est à la fois réel et imaginaire pur. ( 0 ∈ IR et 0 ∈ iIR ) prop : Deux complexes sont égaux ssi ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. a=0 a = a' Pour résoudre une équation : ⃝ 1 a + ib = 0 ⇔ b = 0 2 a + ib = a' + ib' ⇔ b = b' ⃝ 2) Opérations dans C. I prop : L'addition et la multiplication dans l'ensemble CI obéissent aux mêmes règles de calcul que dans l'ensemble IR. Les identités remarquables restent valables dans C. I ex : Soient z = -1 + 2i et z ' = 7 – 3i , calculer : a ) z + z ' = (-1 + 2i) + (7 – 3i) b ) z × z ' = (-1 + 2i) × (7 – 3i) ex : Donner la forme algébrique de : -2i × (-3 + i 2) ex : a ) Calculer (1 + 2i)(1 - 2i). Cours de TS (spécifique) : 22/09/2016 b ) En déduire que 1 1 2 = –i 1+2i 5 5 1 ex : Mettre sous forme algébrique : (dans une forme algébrique il n'y a pas de i au dénominateur) 1 1 + 4i = = 3 – 2i 2 + 3i rmq : Re(z + z') = Re(z) + Re(z') Re(-z) = – Re(z) Im(z + z') = Im(z) + Im(z') Im(-z) = – Im(z) ex : Re[(2 – i) + (-5 + 2i)] = ...................... Im[(2 – i) + (-5 + 2i)] = ...................... 1 z rmq : – z est dit l’opposé de z. 3) def : est dit l’inverse de z (pour z ≠ 0). Conjugué d'un nombre complexe. Soit z = a + ib (a et b réels), on appelle conjugué de z le nombre complexe −z = a – ib . ex : -1 + 2i = .............. i + 2 = ..................... -24 = ..................... méthode : Pour trouver la forme algébrique d'un quotient, on multiplie le numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur. z + −z prop : z + −z = 2 Re(z) = 2 a donc Re(z) = 2 z – −z z – −z = i 2 Im(z) = i 2 b donc Im(z) = 2i z . −z = a² + b² thm : 1 ) z est un nombre réel (z ∈IR) ssi −z = z. 2 ) z est un nombre imaginaire pur (z ∈ i IR) ssi −z = – z. z – −z z + −z dt : Rappelons que Im(z) = et Re(z) = 2i 2 1 z est réel ⇔ Im(z) = 0 ⇔ z – −z = 0 2 z est imaginaire pur ⇔ Re(z) = 0 ⇔ z + −z = 0 ⃝ ⃝ prop : Pour tous nombres complexes z et z' , pour tout entier n : 1 ) −z = z 2 ) z + z' = −z + −z' 3 ) z × z' = −z × −z' −z n 1 1 z 4 ) si z ≠ 0, = − 5 ) si z'≠0, = − 6 ) z n = −z z z' z z' dt : z = a + ib et z' = a' + i b' avec a, b, a’, b’ réels [ROC au bac juin 2014 (prop 3° et 6°) ] 1 ) −z = a - ib = a + ib = z 2 ) z + z' = (a+ib)+(a'+ib') = (a+a') + i(b+ b') = (a+a') – i(b+b') = (a–ib)+(a'–ib') = −z+−z' 3 ) Pour montrer l’égalité, on calcule séparément les formes algébriques de z × z' et −z × −z' Cours de TS (spécifique) : 22/09/2016 2 z × z' = (a + ib) × (a' + ib') = aa'-bb' + i(ab'+a'b) = aa'-bb' – i(ab'+a'b) −z × −z' = (a – ib ) × (a' – i b') = aa' – i ab' – ia'b – bb' = aa'-bb' – i(ab'+a'b) Conclusion : z × z' = −z × −z' 1 1 1 donc d'après 3° −z × = 1 d'où = − z z z −z 1 1 z 1 5 ) si z'≠0, = z × = −z × = −z × − = − (d'après 3° et 4° ) z' z' z' z' z' 6) 4 ) (z ≠0) on a z× 1 = 1 =1 z 4 – 3i ex : a ) = ............ 2+i 5z² – i + 4iz b)Z= − 5 z + 2i + 4 Z = ................. c ) Montrer que Z1 et Z2 sont réels ou imaginaires purs. 2z² + 2−z ² Z1 = 4i (z3 – −z 3) + 6 Z2 = 3 i z −z + i 4) Résolution d'une équation du second degré dans C. I Introduction : comme l'équation x²= – 1 (qui n'a pas de solution réelle) a des solutions dans CI alors les équations du type a x 2 + b x + c = 0 ayant ∆ < 0 (qui n'ont pas de solution réelle) ont peut-être des solutions dans C. I Activité découverte : Soit l'équation (z + 3)² + 25 = 0 ; factoriser dans CI et résoudre. Généralisation : Soit (E) l’équation a z 2 + b z + c = 0 avec a, b, c des coefficients réels et a ≠ 0. On notera : ∆ = b 2 – 4ac Cours de TS (spécifique) : 22/09/2016 3 b c (E) ⇔ z 2 + z + = 0 a a ⇔ z + b 2 – b² + c = 0 ⇔ 2a 4a ² a z + b 2 – 2a b² – c ×4a = 0 4a ² a ×4a z + b 2 – ∆ = 0 (la forme canonique) 2a 4a ² b b si ∆ > 0 : alors (E) est équivalente à z + – ∆ z + + ∆ = 0 ; 2a 2a 2a 2a –b+ ∆ –b– ∆ donc z = ou z = (deux solutions réelles). 2a 2a ⇔ b 2 b si ∆ = 0 : alors (E) est équivalente à z + = 0 ; donc z = – (une solution réelle). 2a 2a 2 - ∆ existe et on va utiliser (i - ∆ ) = ………………………… i -∆ 2 b 2 b i -∆ b i -∆ (E) ⇔ z + – = 0 ⇔ z + – z + + =0 2a 2a 2a 2a 2a 2a – b + i -∆ – b – i -∆ donc z = ou z = (deux solutions complexes conjuguées). 2a 2a thm – synthèse : Soit l'équation a z 2 + b z + c = 0. Avec z ∈ CI et a, b, c réels si ∆ < 0 : alors Notons ∆ le discriminant : ∆ = b 2 – 4ac (∆ est un réel) si ∆ > 0 : deux solutions réelles : x1 = si ∆ = 0 : une solution réelle double : –b– ∆ et 2a x0 = – x2 = –b+ ∆ 2a b 2a si ∆ < 0 : 2 solutions complexes conjuguées (non-réelles) : z 1 = – b – i -∆ 2a ex : Résoudre – z 2 + 2 z – 5 = 0. b ) dans CI a ) dans IR et z2 = – b + i -∆ 2a NB : Il n'y a pas de relation d'ordre dans C, I c'est à dire qu'un complexe (non réel) ne peut être ni supérieur ou inférieur à un autre, ni positif ou négatif. Donc il n'y a pas d'inéquation dans C. I 5) Factorisation d’un polynôme. thm : Soit P(z) un polynôme quelconque de CI (les coefficients peuvent être complexes). Si α est une racine (α ∈ C) I du polynôme P(z) alors P(z) se factorise par (z – α). thm : En notant P(z) = a z 2 + b z + c (avec a, b, c réels et a ≠ 0) et en utilisant les notations précédentes ; il est toujours possible de factoriser P(z) dans CI : si ∆ > 0 : P(z) = a (z – x1)(z – x2) . si ∆ = 0 : P(z) = a (z – x0)² . si ∆ < 0 : P(z) = a (z – z1)(z – z2) . Cours de TS (spécifique) : 22/09/2016 4 II. Représentation géométrique d'un nombre complexe. → → Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O,e1,e2). 1) Affixe d'un point. Affixe d'un vecteur. def : L'affixe du point M de coordonnées (a ; b) est le complexe z = a + ib. L'image du complexe z = a + ib est le point M(a ; b) On note : M(a + ib) ou zM = a + ib → def : L'affixe du vecteur u de coordonnées (a ; b) est le complexe z = a + ib. → On note : u (a + ib) ou z u = a + ib. → ex : 1° ) Lire les affixes des points ci-contre. → → → → 2° ) Lire les affixes des vecteurs BC ; CF ; DB et AE . rmq : L'axe des abscisses est appelé axe des réels. L'axe des ordonnées est appelé axe des imaginaires purs. 2) Propriétés. prop : Le point N d'affixe −z est le symétrique par rapport à ……………….. du point M(z). Le point P d'affixe -z est le symétrique par rapport à ……………….. du point M(z). Le point Q d'affixe ...... est le symétrique par rapport à .................................. de M(z). → → thm : Soient les vecteurs u(z) et v(z’). Soit k un réel. Soient les points A(zA) et B(zB). 1 ) - u→ (-z) [ l’affixe de - u→ est -z ] 2 ) k u→ (kz) [ l'affixe de k u→ est kz ] → 3 ) u+ v→ ( z + z') 4 ) u→ = v→ ⇔ z = z’ [ Deux vecteurs sont égaux ⇔ ils ont la même affixe ] 5) z → AB = zB – zA 6 ) L'affixe du milieu I du segment [AB] est Cours de TS (spécifique) : 22/09/2016 zI = zA + zB 2 5