Année 2007-2008

NOM, Prénom _______GILLIG Philippe_____________
Licence 1ère année, semestre 2, année
2010-2011
TD de Philippe Gillig
SO00BM11 – TD de STATISTIQUES & PROBABILITÉS
Université de Strasbourg (SSPSD)
CONTROLE CONTINU
CORRIGÉ
Exercice 1 (1 point)
Dans chacune des situations décrites ci-dessous, énoncer l’événement contraire de l’événement donné.
1. Dans une classe, on choisit deux élèves au hasard. A : « Les deux élèves sont des filles ». (0,5 pt)
Ā : « au moins 1 des 2 élèves est un garçon »
2. Dans un groupe de suisses et de belges, on discute avec une personne. B : « La personne est un homme belge ». (0,5
pt)
B/ : « La personne est soit une femme, soit une suisse »
NB : si vous écrivez les mêmes phrases simplement sous la forme négative (ce que beaucoup ont cru malin de faire…),
vous oubliez des éléments (ex pour 1. : « Les 2 élèves ne sont pas des filles » → vous oubliez le cas où il y a 1 fille et 1
garçon !
Exercice 2 (7 points)
À une loterie, on tire au sort 3 billets numérotés. Les billets sont soit gagnants (G), soit perdants (P).
1. Quel est ici l’univers des possibles (rappelez la signification de cette notion et sa notation ensembliste) et son cardinal ?
(2 pts). Conseil : écrivez au brouillon les éléments qui le composent.
L’univers des possibles (noté Ω) est l’ensemble des résultats
Billet 1
Billet 2
Billet 3
possibles d’une expérience aléatoire. Ici, c’est l’ensemble des suites de 3
2
x
2
x
2
billets gagnants (G) ou perdants (P) : {(P,P,G), (G,P,G),…}
Il faut donc raisonner en 3 étapes ; à chaque étape il y a
O
2 possibilités (G ou P) → 2 x 2 x 2 (cf. arbre ci-contre)
O
Card Ω = 23 = 8
O
N
Autre méthode possible (pour les zélés qui connaissent bien leurs
N
formules !) :
N
il y a p tirages (p=3) de n éléments (n=2) avec remise
et donc np possibilités = 23
2. Dans chacune des situations décrites ci-dessous, énoncer l’événement contraire de l’événement donné et écrivez-le à
l’aide des lettres G et P.
a) O : « L’un des billets au moins est gagnant » (1 pt) : Ō : « Aucun billet n’est gagnant » ; (P, P, P)
b) E : « Deux billets au maximum sont gagnants (1 pt) : Ē : « Les trois billets sont gagnants » ; (G, G, G)
3. Écrire l’évènement suivant à l’aide des notations ensemblistes : « Il y a 1 ou 2 billets gagnants » : O∩E (1 pt)
4. Qu’est-ce que Ō∩Ē ? (1 pt) : ensemble vide = Ǿ
5. Qu’est-ce que OUE ? (1 pt) : ensemble fondamental = Ω
6. Déterminer card (O) (1 pt) : Card (O) = Card Ω - Card (Ō) = 8 – 1 = 7
En effet, dans O il y a toutes les issues possibles (Ω) sauf une (Ō), celle où aucun des 3 billets n’est gagnant
→ Ō = (P,P,P) (il n’y a qu’une seule façon de réaliser cet évènement ; c’est donc un évènement élémentaire).
Autre solution, pour les bourrins : écrire les issues possibles une par une et on en trouve 7 : (G,P,P) ; (G,G,P) ; etc. )
Exercice 3 (4 points)
On cherche les anagrammes du mot LOUCHE (= les mots formés de ces 6 lettres, ayant ou non une signification).
1. Quelle est la probabilité d’obtenir le mot CHELOU ? (2 pts)
Ω = permutations de 6 éléments = 6! = 720 (car l’ordre des lettres dans le mot compte)
1
→ p (CHELOU) = Card (CHELOU) / Card (Ω) = 1/6! = 1/720
Autre méthode possible :
Raisonner en 6 étapes : le « C » a 1 chance sur 6 d’être à la 1ère place (lettres équiprobables), le « H » a 1 chance sur 5
d’être à la 2e (puisqu’il ne reste plus que 5 lettres), etc.
→ p (CHELOU) = 1/6 x 1/5 x 1/4 x 1/3 x 1/2 x 1/1 = 1/6 ! = 1/720
2. Quelle est la probabilité que le mot commence par L ? (2 pts)
(L � � � � �)
1 x 5 x 4 x3 x 2 x 1 = 5!
→ p (L) = 5 !/6 ! = 1/6
Autre solution, bien plus « stylée », proposée par Virginie et quelques autres (vous êtes trop forts les dcheuns !) : toutes
les lettres du mot étant équiprobables et au nombre de 6, il y a 1/6 de chance que le mot commence par L.
Exercice 4 : Le POKER (8 points)
Le poker se joue avec 52 cartes et consiste à former des mains de 5 cartes.
1. Déterminer card (Ω), c’est-à-dire l’ensemble des façons de former une main. (2 pts)
Ω = ensemble des façons de choisir 5 cartes parmi 52, sans tenir compte de l’ordre (en effet, les cartes n’ont pas une
place particulière dans votre main !) et sans remise.
Il s’agit donc d’une combinaison de 5 éléments parmi 52.
Card (Ω) = C552 = 52x51x50x49x48 / 5 ! = 2 598 960
2. Combien y a-t-il de cartes dans chaque couleur ? (0,5 pt). NB : il y a 4 « couleurs » : trèfle, pique, cœur, carreau.
Il y a 52 cartes et 4 couleurs (et autant de cartes dans chaque couleur) : 52/4 = 13
3. Compter le nombre de « suites » (= 5 cartes qui se suivent) dans chaque couleur (on appelle cela une « quinte flush »).
(0,5 pt). NB : les suites vont de {As, 2, 3, 4, 5} – la plus faible – à {10, V, D, R, As} – la plus haute.
10 suites possibles
4. Déduire de la question précédente le nombre total de « quinte flush » (= « suites » de même couleur) dans un jeu de 52
cartes. (0,5 pt).
10 x 4 = 40 « quintes flush » possibles
5. Combien y a-t-il de mains contenant exactement une couleur (= 5 cartes de même couleur et qui ne forment pas une
suite) ? En effet, parmi toutes les couleurs possibles il ne faut pas compter le cas particulier des « quinte flush ». (2 pts)
NB : commencez impérativement par raisonner sur 1 seule couleur.
Pour chaque couleur, une main consiste à choisir 5 éléments parmi 13 cartes, peu importe l’ordre : C513 =
13x12x11x10x9 / 5 !
Comme il y a 4 couleurs on a finalement : 4 x C513 couleurs possibles, avec ou sans suite.
Il reste à retrancher les 40 « quintes flush » : 4 x C513 – 40 = 5108 mains
6. Combien y a-t-il de mains contenant exactement une suite (= 5 cartes qui se suivent et qui ne sont pas toutes de la
même couleur) ? (2 pts)
NB : commencez impérativement par raisonner sur 1 seule hauteur de suite (par ex. {2,3,4,5,6}).
Aide : idem, il ne faut pas compter le cas particulier des suites de même couleur.
Pour 1 hauteur de suite donnée, il y a 4 couleurs possibles pour chaque carte de la suite. Une main consiste donc à choisir
5 éléments parmi 4 couleurs possibles, avec remise (n p)
Ex :
2 3 4 5 6
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
4x4x4x4x4
Soit 45 suites possibles
Pour 1 hauteur de suite donnée, il y a donc 4 5.
Or, il y a 10 hauteurs de suite (cf. question 3.)
=> on a finalement 10 x 45 suites possibles, avec ou sans couleur.
Il reste à retrancher les 40 « quintes flush » qui sont les suites avec couleur : 10 x 45 – 40 = 10 200 mains possibles
7. En déduire quelle main, entre une suite et une couleur, bat l’autre au poker. (0,5 pt)
Probabilité d’obtenir une couleur = 5 108 / 2 598 960 = 0,19%
Probabilité d’obtenir une suite = 10 200 / 2 598 960 = 0,39%
=> la couleur bat la suite car elle a une probabilité plus faible de sortir.
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