PRODUITS Qu`est ce qu`un nombre premier ? Comment savoir si un

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CCP 2002, MATHÉMATIQUES 1, MP
1. L ES NOMBRES PREMIERS
Qu’est ce qu’un nombre premier ? Comment savoir si un nombre est premier ?
Euclide (vers -300) a montré qu’il existe une infinité de nombres premiers. Comment ?
On note pn le n-ième nombre premier. Donc p1 = 2, p2 = 3, . . .
Ce n’est pas assez de dire qu’il existe une infinité de nombres premiers. On voudrait savoir
s’ils se raréfient, et dans quelle mesure. Est-ce que la preuve d’Euclide donne une majoration du
(n + 1)-ième nombre premier en fonction des précédents ?
Pour x un réel positif, on note π(x) le nombre d’entiers premiers dans l’intervalle [2, x]. Une
étude expérimentale donne les valeurs suivantes
x
10 100 1000 10000 100000
π(x)
4 25 168 1229
9592
x/π(x) 2.5 4 5.95 8.14
10.4
log x
2.3 4.6 6.9
9.2
11.5
Il est donc raisonable de conjecturer que l’application x 7→ π(x) est équivalente à x/ log(x)
quand x → ∞. Cette hypothèse, formulée par Gauss et Legendre, n’a été démontrée qu’en 1896
par Hadamard et de La Vallée-Poussin indépendamment.
2. PARTIE I : L A SÉRIE HARMONIQUE
La série harmonique a été étudiée par Nicolas Oresme qui a montré sa divergence en 1360.
Il n’est pas difficile de donner une équivalent de la somme partielle. Soit N ≥ 1 un entier. On
a
−1
1 Z N dx NX
1
≤
≤
.
x
1
n=2 n
n=1 n
N
X
Comme
R N dx
1
x
= log N on a
N
X
1
1
+ log N ≤
≤ 1 + log N.
N
n=1 n
Soit S un sous-ensemble de l’ensemble N∗ des entiers naturels non-nuls. On peut lui associer
la somme
X 1
X
1
= lim
.
N →∞
n∈S n
n∈S et n≤N n
1
2
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Si S est l’ensemble des carrés cette somme est finie. Si S est l’ensemble des nombres pairs,
cette somme est infinie. D’une manière générale, cette somme donne une idée de la hh taille ii de
S. Si P est l’ensemble des nombres premiers, la série diverge. L’énoncé le prouve en montrant
que le produit
Y
1
1
n≥1 1 − pn
diverge.
3. L IMITES DE FONCTIONS
Soit I un intervalle non-vide de R et (fn )n une suite d’applications de I dans R.
3.1. Continuité d’une limite uniforme d’applications continues : Si les fn sont continues et
si la suite (fn )n converge uniformément vers une application f : I → R, alors f est continue.
3.2. Convergence dominée : Supposons que les fn sont continues par morceaux, intégrables,
et convergent simplement vers une application f : I → R continue par morceaux. Supposons
qu’il existe une application g : I → R intégrable telle que ||fn || ≤ g pour tout n. Alors f est
intégrable et
Z
Z
lim
n→∞ I
fn =
f.
I
3.3. Dérivation : Supposons que les fn sont de classe C 1 sur I et convergent simplement vers
une application f : I → R. Supposons que les gn = fn0 convergent uniformément vers une
application g. Alors f est de classe C 1 sur I et f 0 = g.
4. L’ EXPONENTIELLE COMPLEXE
n
C’est l’application de C dans C définie par la série entière 1 + n≥1 zn! . La rayon de convergence de cette série entière est infini. On note exp : C → C l’application obtenue. C’est
une application continue. La restriction de exp à R est une application strictement croissante
et C ∞ de R dans R+ . Elle est égale à sa dérivée, ce qui permet de l’identifier à l’application
réciproque du logarithme. C’est donc l’exponentielle réelle bien connue. Pour z1 , z2 dans C on
a exp(z1 + z2 ) = exp(z1 ) exp(z2 ). On définit cos(z) = (exp(iz) + exp(−iz))/2 et sin(z) =
(exp(iz) − exp(−iz))/(2i). Pour a et b réels, on a exp(a + ib) = exp(a) (cos(b) + i sin(b)) .
P
5. S ÉRIES DE F OURIER
Soit C2π (R, C) l’espace des applications de R dans C, continues et 2π-périodiques. Soit
CM2π (R, C) l’espace des applications de R dans C, continues par morceaux et 2π-périodiques.
1 R
¯
On définit une forme sesquilinéaire sur CM2π (R, C) par (f |g) = 2π
[0,2π] f g. Elle est définie
positive sur C2π (R, C).
Soit n en entier relatif. On note en l’application de R dans C définie par en (t) = exp(int). Les
en forment une famille orthonormée dans C2π (R, C). Ce n’est pas une base. Les combinaisons
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linéaires des en sont appelées polynômes trigonométriques. Les coefficients de Fourier d’une
application f ∈ CM2π (R, C) sont les
1 Z
cn (f ) = (en |f ) =
f (t) exp(−int)dt.
2π [−π,π]
La série n∈Z |cn (f )|2 est convergente. Si f est dans C k alors cn (f ) = o(|n|−k ). Si f est continue
P
et C 1 par morceaux alors la série n∈Z |cn (f )| est convergente. On note
P
SN =
N
X
cn (f )en (t)
n=−N
la somme trigonométrique partielle.
P
Si une série trigonométrique n cn en converge uniformément vers une application f alors f
est dans C2π (R, C) et cn (f ) = cn pour tout n.
Théorème de Dirichlet : Soit f ∈ CM2π (R, C) et t0 ∈ R. On note f (t−
0 ) la limite de f en
+
t0 par la gauche. On note f (t0 ) la limite de f en t0 par la droite. On suppose que (f (t − h) −
+
f (t−
0 ))/h et (f (t + h) − f (t0 ))/h ont des limites finies quand h tend vers 0. Alors SN (t0 ) tend
−
+
vers (f (t0 ) + f (t0 ))/2 quand N → +∞.
Si f est continue et C 1 par morceaux alors sa série de Fourier converge normalement vers f .
6. C ONTINUITÉ ET DÉRIVATION SOUS LE SIGNE SOMME
Soient J et I deux intervalles non-vides de R. Soit f : J × I → R une application.
6.1. Continuité. On suppose que
• Pour tout x ∈ J, l’application t 7→ f (x, t) est continue par morceaux sur I,
• Pour tout t ∈ I, l’application x 7→ f (x, t) est continue sur J,
• Il existe une application ϕ : I → R intégrable sur I telle que pour tout t ∈ I et tout
x ∈ J on ait ||f (x, t)|| ≤ ϕ(t).
Alors pour tout x ∈ J, l’application t 7→ f (x, t) est intégrable. Et l’application
Z
g : x 7→
f (x, t)dt
I
est continue sur J.
6.2. Dérivabilité. On suppose que
• Pour tout x ∈ J, l’application t 7→ f (x, t) est intégrable sur I,
• Pour tout t ∈ I, l’application x 7→ f (x, t) est de classe C 1 sur J,
• Pour tout x, l’application dérivée t 7→ ∂f
(x, t) est continue par morceaux sur I,
∂x
• Il existe une application ϕ : I → R intégrable sur I telle que pour tout t ∈ I et tout
x ∈ J on ait || ∂f
(x, t)|| ≤ ϕ(t).
∂x
R
Alors l’application g : x 7→ I f (x, t)dt est de classe C 1 sur J et pour tout x ∈ J on a
0
g (x) =
Z
I
∂f
(x, t)dt.
∂x
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7. C OMMENT SAVOIR SI UN NOMBRE EST PREMIER ?
On peut utiliser le crible d’Eratosthène (troisième siècle avant notre ère).
Le petit théorème de Fermat affirme que pour tout nombre premier n et tout entier x dans
l’intervale [1, n − 1], on a xn−1 ≡ 1 mod n.
On déduit de ce théorème un critère de composition : s’il existe un entier x dans l’intervale
[1, n − 1], tel que xn−1 6≡ 1 mod n, alors n est composé. L’algorithme d’exponentiation rapide
permet de calculer efficacement xn−1 mod n. Cette méthode a été inventée par Piṅgala dans son
Chandah-sûtra (entre -450 et -250).
Un nombre de Carmichael est un entier composé n tel que xn−1 ≡ 1 pour tout x ∈ (Z/nZ)∗ .
Par exemple 561 = 3 × 11 × 17. Il existe hélas une infinité de nombres de Carmichael.
Le critère de Miller-Rabin améliore celui de Fermat.
Théorème 7.1 (Critère Miller-Rabin). Soit n ≥ 3 un entier impair. On pose n − 1 = 2k m, où m
est un entier impair. Si n est premier alors pour tout x dans (Z/nZ)∗
(1)
i
xm = 1, ou il existe un i dans {0, 1, 2, . . . , k − 1} tel que xm2 = −1.
En effet d’après le petit théorème de Fermat, on a : xn−1 − 1 = 0 mod n. En factorisant
successivement chacune des différences de deux carrés, on obtient :
xn−1 −1 = (x
n−1
2
+1)(x
n−1
2
k−1 m
−1) = · · · = (x2
k−2 m
+1)(x2
+1) · · · (x2m +1)(xm +1)(xm −1).
Puisque Z/nZ est un corps, l’un de ces facteurs est nul.
La fiabilité de ce critère est donnée par le théorème suivant.
Théorème 7.2. Soit n > 9 un entier impair composé. Alors
#{x ∈ (Z/nZ)∗ | la condition (1) est vérifiée}
1
≤
ϕ(n)
4
∗
où ϕ(n) = #(Z/nZ) .
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