Le cours - Mathématiques

Chapitre 3 : Développer une expression littérale pour démontrer
Développer et réduire permet :
• de prouver que deux expressions littérales sont équivalentes ;
• de démontrer qu’une propriété est vraie.
A
Développer avec la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition
Histoire des maths : Le calcul littéral (calcul avec des lettres) appelé aussi calcul algébrique, du mot algèbre, est un
puissant outil développé par le mathématicien français François Viète (1540 – 1603) qui a attribué une lettre à des
quantités inconnues dans des calculs.
Propriétés : k, a, b, c et d sont des nombres relatifs quelconques :
k × (a + b)
=
k ×a +k ×b
(a + b) × (c + d)
=
a ×c +a ×d +b ×c +b ×d
Interprétation géométrique :
a +b
a
k
b
k×a
k × (a + b) = k × a + k × b
k ×b
Exemples :
A
A
B
=
=
=
−3x(4x − 6)
2
−12x + 18x
(2x − 5)(3x − 4)
2
B
=
6x − 8x − 15x + 20
B
=
6x 2 − 23x + 20
×
−3x
×
3x
−4
4x
−12x 2
2x
6x 2
−8x
Animation : Développer et réduire en utilisant la simple distributivité.
Animation : Développer et réduire en utilisant la double distributivité.
−6
18x
−5
−15x
20
Histoire des maths : Le mot « algèbre » vient de l’arabe al-jabr, qui est devenu algebra en latin et qui signifie « la réunion
» (des morceaux), « la reconstruction » ou « la connexion ». C’est la branche des mathématiques qui étudie les opérations
et équations sur les nombres
B
Développer avec les identités remarquables
Bilan de l’activité : Voici un programme de calcul :
• Choisis deux nombres quelconques.
• Calcule la somme des carrés de chacun.
• Ajoute au résultat le double du produit des deux nombres choisis.
Que remarque-t-on ? Établir une conjecture.
Dans cette activité, nous avons remarqué que le résultat était égal au carré de la somme des deux nombres choisis. En
effet :
• On choisit 3 et 5.
• 32 + 52 = 9 + 25 = 34
• 34 + 2 × 3 × 5 = 34 + 30 = 64 = 82
Ainsi :
(3 + 5)2 = 32 + 52 + 2 × 3 × 5
Cette conjecture reste vraie même si les nombres de départ ne sont pas des entiers !
Interprétation géométrique :
• 1ère façon : A = (a + b)(a + b) = (a + b)2 .
• 2ème façon : A = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 .
On en a déduit : (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2 .
a +b
a
a
b
a×a
a ×b
a +b
b
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a ×b
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b ×b
Moisan
Propriétés : a et b désignent des nombres relatifs :
• (a + b)2 = a 2 + 2 × a × b + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
• (a − b)2 = a 2 − 2 × a × b + b 2 = a 2 − 2ab + b 2
• (a + b)(a − b) = a 2 − b 2
Démonstration : Démontrons la première identité remarquable :
(a + b)2
=
(a + b)(a + b)
=
a ×a +a ×b +b ×a +b ×b
=
a2 + a × b + a × b + b2
=
a2 + 2 × a × b + b2
=
a 2 + 2ab + b 2
Exemples : Les identités remarquables permettent de développer plus rapidement une expression :
A
A
A
=
=
=
(2x + 5)2
2
B
2
(2x) + 2 × 2x × 5 + 5
2
4x + 20x + 25
B
B
=
=
=
(x − 6)2
2
2
x −2×x ×6+6
2
x − 12x + 36
C
=
(3x − 4)(3x + 4)
C
=
(3x)2 − 42
C
=
9x 2 − 16
Les identités remarquables peuvent servir en calcul mental.
Exemples : Calculer mentalement :
1. 99 × 101
2. 292
1. 99 × 101 = (100 − 1)(100 + 1) = 1002 − 12 = 10000 − 1 = 9999
2. 292 = (30 − 1)2 = 302 − 2 × 30 × 1 + 12 = 900 − 60 + 1 = 841
C
Le calcul littéral pour démontrer
Une expression littérale peut traduire un programme de calcul. Cela permet de justifier que des programmes de calcul
sont équivalents.
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Moisan
Exemple : Les programmes de calcul ci-dessous sont-ils équivalents ?
• Choisir un nombre
• Choisir un nombre
• Ajouter 7
• Multiplier le résultat par 2
• Ajouter le nombre de départ
• Ajouter 10
• Retrancher 3
Choisissons x pour remplacer le nombre de départ :
• x
• x
• x +7
• 2×x
• 2 × x + 10
• x + 7 + x = 2x + 7
• 2 × x + 10 − 3 = 2x + 7
Le résultat de ces deux programmes est donc identique pour n’importe quelle valeur de x. Donc ces deux programmes
de calcul sont équivalents.
Une expression littérale permet aussi de décrire une propriété générale de nombres.
Exemples :
• Si n désigne un nombre entier, on peut traduire la formulation "être la somme de deux entiers consécutifs" par
l’expression littérale : n + (n + 1).
• Si n désigne un nombre entier, on peut traduire la formulation "être un multiple de 3" par l’expression
littérale : 3 × n = 3n.
• Si n désigne un nombre entier, on peut traduire la formulation "être un nombre pair" par l’expression
littérale : 2 × n = 2n.
• Si n désigne un nombre entier, on peut traduire la formulation "être un nombre impair" par l’expression
littérale : 2 × n + 1 = 2n + 1.
Le calcul littéral permet de démontrer qu’une propriété est vraie.
Exemple : Montrer que pour n’importe quel nombre entier n, (n + 1)2 − (n − 1)2 est un multiple de 4.
(n + 1)2 − (n − 1)2
=
[n 2 + 2 × n × 1 + 12 ] − [n 2 − 2 × n × 1 + 12 ]
=
[n 2 + 2n + 1] − [n 2 − 2n + 1]
=
n 2 + 2n + 1 − n 2 + 2n − 1
=
4n
Donc pour tout nombre entier n, (n + 1)2 − (n − 1)2 est bien un multiple de 4.
Animation : Supprimer des parenthèses précédées d’un signe + ou d’un signe -.
Animation : Substituer par des relatifs.
Animation : Suubsituer par des fractions.
Histoire des maths : Diophante d’Alexandrie au IIIe siècle de l’ère chrétienne, fut le premier à pratiquer l’algèbre en
introduisant le concept d’inconnue en tant que nombre, et à ce titre peut être considéré comme "le père" de l’algèbre.
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