Mpsi Devoir non surveillé 2 Problème 1 Pour (n, p) ∈ N2 , on pose Sp (n) = n X ip et Tp (n) = i=0 n X (−1)i ip . i=0 Question 1) Montrez que pour tout n ∈ N, S3 (n) = S1 (n)2 . Question 2) Soit (un ) une suite de réels telle que u0 = 0, telle que pour tout n ∈ N∗ , un > 0 et qui vérifie la propriété !2 n n X X 3 ∀n ∈ N ui = ui . i=0 i=0 Montrez par récurrence forte que pour tout n ∈ N, un = n. Question 3) On note (C) la proposition « pour tout n ∈ N, Sp (n) est le carré d’un entier ». On suppose que (C) est vraie. a) Montrez qu’il existe a ∈ N∗ tel que 2p = a2 − 1. b) Déduisez-en qu’il existe (α, β) ∈ N2 tel que a = 2α − 1 = 2β + 1 et α + β = p. c) Justifiez que la seule valeur possible pour β est 1, déduisez-en la seule valeur possible pour p. d) Concluez : déterminez les entiers p qui satisfont la propriété (C). Question 4) Déterminez les entiers p et q tels que pour tout n ∈ N, Sp (n) = (Sq (n))2 . Question 5) Montrez que pour tout n ∈ N, T2 (n) = (−1)n S1 (n). Question 6) Déterminez la seule suite (vn ) de réels telle que v0 = 0, telle que pour tout n ∈ N∗ , vn > 0 et qui vérifie la !2 n n X X i 2 n propriété ∀n ∈ N (−1) vi = (−1) vi . i=0 i=0 Question 7) Déterminez les entiers p et q tels que pour tout n ∈ N, Tp (n) = (−1)n Sq (n). Question 8) Déterminez les entiers p et q tels que pour tout n ∈ N, Tp (n) = (−1)n (Tq (n))2 . Problème 2 n n X X 2n 1 kak an−k . ak an−k et tn = , puis sn = Pour n ∈ N, on pose an = n+1 n k=0 k=0 Question 1) a) Montrez que pour tout n ∈ N, tn = n X (n − k)ak an−k . k=0 b) Déduisez-en que 2tn = nsn . Question 2) Vérifiez que pour tout n ∈ N, (n + 2)an+1 = 2(2n + 1)an . Question 3) Montrez que pour tout n ∈ N, tn+1 + sn+1 = n+3 sn+1 = an+1 + 2(n + 1)sn . 2 Question 4) Montrez que pour tout n ∈ N, sn = an+1 . Question 5) Montrez par récurrence forte que pour tout n ∈ N, an est un entier naturel. Remarque. Les nombres an sont appelés les nombres de Catalan, ils apparaissent souvent dans les problèmes de dénombrements. 1