DIVISION DES NOMBRES PAR UN ENTIER I) Division euclidienne

DIVISION DES NOMBRES PAR UN ENTIER
I) Division euclidienne
1) Définition
Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier (le dividende) par un autre nombre entier (le diviseur)
différent de 0, c’est trouver deux nombres entiers, le quotient et le reste tels que :
Dividende = (diviseur  quotient) + reste
avec reste < diviseur
2) Exemples
1) Comment partager entre 3 personnes 84 oeufs ?
Division euclidienne de 84 par 3 :
DIVIDENDE
8 4 3
6
2 8
2  3 = 6 et 3  3 = 9 (>8)
2 4
2 4
8  3 = 24
0
DIVISEUR
QUOTIENT
RESTE
Preuve :
28  3 = … [on calcule] … = 84
84 = 3  28
ET 0 < 3
Chaque personne recevra 28 oeufs.
2) Comment partager entre 3 personnes 85 oeufs ?
Division euclidienne de 85 par 3 :
DIVIDENDE
2  3 = 6 et 3  3 = 9 (>8)
8  3 = 24
DIVISEUR
8 5 3
6
2 8
2 5
2 4
1
QUOTIENT
RESTE
Preuve :
28  3 = … [on calcule] … = 84
84 + 1 = … [on calcule] … = 85
85 = 3  28 + 1
ET 1 < 3
Chaque personne recevra 28 œufs et il restera 1 œuf qu’on ne peut pas partager...
II) Critères de divisibilité
Le reste de la division euclidienne de 36 par 9 est nul (= 0). On dit que 9 est un diviseur de 36 ou que 36 est
divisible par 9 ou encore que 36 est un multiple de 9.
Propriétés
Un nombre entier est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est pair (c'est-à-dire égal à 0, 2, 4, 6 ou 8).
Un nombre entier est divisible par 5 lorsque son chiffre des unités est égal à 0 ou 5.
Un nombre entier est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Un nombre entier est divisible par 4 lorsque le nombre formé par son chiffre des dizaines et son chiffre des
unités est divisible par 4.
Un nombre entier est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemples :
147 336 est divisible par 2
65531 n’est pas divisible par 2
475 est divisible par 5
874 n’est pas divisible par 5
822 est divisible par 3 car 8 + 2 + 2 = 12 est divisible par 3 1 + 2 = 3 divisible par 3
34 n’est pas divisible par 3
87 436 est divisible par 4 car 36 est divisible par 4
43129 n’est pas divisible par 4
45684 est divisible par 9 car 4 + 5 + 6 + 8 + 4 = 27 car 27 est divisible par 9 (à dire autrement avec diviseur et
multiple)
463 n’est pas divisible par 9
III) Division décimale
1) Définition
Mathilde partage l’argent
Effectuer la division décimale d’un nombre (le dividende) par un nombre entier (le diviseur) différent de 0,
c’est chercher le nombre appelé tel que :
dividende = diviseur  quotient
On note
quotient = dividende : diviseur
2) Exemples
1) Le quotient peut être un nombre entier 18 : 6 = 3
PREUVE :
6  3 = 18
2) Le quotient peut être un
nombre décimal
1 2, 5
1 2
0 5
4
0 1 0
1 0
0
Dés qu’on abaisse le
chiffre des dixièmes du
dividende, on place la
virgule dans le
quotient.
2
6, 2 5
6,
Quand il n’y a plus
de chiffre à abaisser,
on rajoute un zéro pour
continuer.
Le RESTE est nul :
on s’arrête là.
PREUVE :
6,25  2 =12,5
3) Le quotient peut être un nombre non décimal
Dans ce cas, la division ne s’arrête jamais. On ne peut alors
pas donner de valeur exacte au quotient de 32 par 11. Il faut
alors en donner une approximation.
IV) Approximation
3 2, 0
- 2 2
1 0 0
9 9
1
1
-
0 0 0
1 1
2, 9 0 9 0
0
0
0 0
9 9
1 0
0
1 0
1) Encadrement et valeurs approchées
Encadrer un nombre signifie intercaler un nombre entre deux autres.
Réalisons un encadrement à l’unité du dernier quotient
2 < 32 : 11 < 3
2 est une valeur approchée à l’unité par défaut du quotient 32 : 11
3 est une valeur approchée à l’unité par excès du quotient 32 : 11
2) Troncature
La troncature à l’unité d’un nombre, c’est ce nombre privé de tous les chiffres situés à droite du chiffre des
unités.
Exemple :
La troncature à l’unité de 85,472 est 85.
On dit que 85,472 a été tronqué à l’unité.
Remarque :
On peut aussi tronquer un nombre au dixième (ou au centième...) en lui enlevant tous les chiffres situés à droite
du chiffre des dixièmes (ou des centièmes...).
85,472 tronqué au dixième devient 85,4.
85,472 tronqué au centième devient 85,47.
3) Arrondis
L’arrondi à l’unité d’un nombre, c’est l’entier le plus proche de ce nombre.
Pour l’obtenir, on doit :
1) Tronquer à l’unité.
2) Si le premier chiffre tronqué est 0, 1, 2, 3 ou 4, on ne change rien mais si ce chiffre est 5, 6, 7, 8 ou 9, on
ajoute 1 au nombre.
Exemples :
L’arrondi à l’unité de 85,472 est 85.
Par contre, l’arrondi à l’unité de 85,672 est 86.
On dit que ces nombres ont été arrondis à l’unité.
Remarque :
On peut aussi arrondir un nombre au dixième, au centième... de la même manière.
85,472 arrondi au dixième devient 85,5, et arrondi au centième, devient 85,47.
V) Diviser par 10, 100 ou 1000
0,
Dixièmes
3
Millièmes
2
Centièmes
5
Unités
Centièmes
Dixièmes
Unités
3,
5
2
Dans une écriture décimale, la valeur de chaque chiffre dépend de sa position dans cette écriture.
En divisant un nombre par 10, on diminue la puissance de chacun de ses chiffres.
0,352 est 10 fois plus petit que 3,52
Exemples :
2304 : 100 = 23,04
75 : 10 = 7,5
52 :1000 = 0,052
0,07 : 10 = 0,007