MP1 & 2 - 2015 / 2016 Physique - Chimie
DS n°5bis Centrale - Mines
DS n°5bis (Centrale - Mines) - Electromagnétisme
Samedi 9 janvier - 4 h
Ce sujet est constitué de trois problèmes indépendants.
1
Synthèse du trioxyde de soufre
On considère la synthèse du trioxyde de soufre en phase gazeuse à partir du dioxyde de
soufre et du dioxygène. Le dioxyde de soufre résulte d’une combustion préalable du soufre dans
un excès d’air de telle sorte que le mélange introduit dans le réacteur de synthèse de SO3 ait la
composition molaire suivante : 10% en O2 , 10% en SO2 et 80% en N2 . On note n0 la quantité
de dioxyde de soufre introduite dans le réacteur.
1. (a) Exprimer la quantité de matière de chaque espèce présente à l’équilibre en fonction
de n0 et de l’avancement ξ (on utilisera l’équation-bilan rapportée à une mole de
SO2 ).
(b) Donner l’expression du taux de conversion τ de SO2 en fonction de n0 et ξ.
2. La synthèse de SO3 est réalisée à la température T0 = 815 K et sous une pression de 1,0
bar. L’analyse d’un litre de mélange gazeux, en équilibre dans ces conditions, montre
qu’il contient 0,238 mmol de dioxyde de soufre.
(a) Déterminer l’avancement de la réaction de synthèse, puis le taux de conversion de
SO2 , et enfin la quantité n0 de dioxyde de soufre initialement introduite.
(b) Calculer la constante d’équilibre K o (815 K).
3. Calculer la variance correspondant à l’équilibre considéré en tenant compte des conditions initiales précisées en début d’énoncé.
4. (a) Quelle est l’influence d’une diminution de température sur l’équilibre de synthèse de
SO3 ?
(b) Calculer la constante d’équilibre K o (730 K).
(c) Comment pourrait-on obtenir ∆r H o si on ne connaissait pas les enthalpies standard
de formation ?
5. (a) Quelle est l’influence d’une élévation de pression sur l’équilibre de synthèse de SO3 ?
(b) À 730 K, on veut obtenir un taux de conversion de SO2 de 90% à partir d’un mélange
contenant 0,05 mol de O2 , 0,05 mol de SO2 et 0,4 mol de N2 . À quelle pression se
placer ?
(c) Déterminer le taux de conversion à 730 K sous 1, 0 bar. Commentaire ?
6. On considère maintenant que température et pression sont maintenues constantes à
T = 815 K et P = 1 bar. L’équilibre est supposé atteint à partir des mêmes quantités
initiales qu’à la première question. On réalise alors une très faible entrée d’air : dξ mol
de O2 et 4 dξ mol de N2 .
Déterminer le sens d’évolution de l’équilibre juste après l’ouverture.
Données (supposées indépendantes de la température) :
∆f H o (SO2 ) = −297, 0 kJ.mol−1
∆f H o (SO3 ) = −395, 3 kJ.mol−1
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Formulaire en coordonnées cylindriques à utiliser dans les deux problèmes d’électromagnétisme :
~=
div A
−→ ~
rot A =
1 ∂Az
∂Aθ
−
r ∂θ
∂z
1 ∂(rAr ) 1 ∂Aθ
∂Az
+
+
r ∂r
r ∂θ
∂z
~ur +
1 ∂
∂V
r
r ∂r
∂r
∆V =
~ = ∆Ar −
∆A
∂Aθ
1
Ar + 2
2
r
∂θ
∂Ar
∂Az
−
∂z
∂r
+
~uθ +
∂(rAθ ) ∂Ar
−
∂r
∂θ
1 ∂2V
∂2V
+
2
2
r ∂θ
∂z 2
~ur + ∆Aθ −
1
∂Ar
Aθ + 2
2
r
∂θ
~uθ + ∆Az ~uz
======================================
2
Onde électromagnétique dans un câble coaxial
2
~uz
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Chauffage par induction
Le problème traite du thème général du chauffage par induction et concerne l’étude électromagnétique d’un dispositif à symétrie de révolution (qui a un rôle industriel très important). Le
chauffage par induction se caractérise et se distingue des autres techniques électro-thermiques
par sa capacité à injecter sans contact de l’énergie thermique dans les matériaux conducteurs de
l’électricité. Les premières idées théoriques datent des années 1890, elles sont dues à Heaviside
et Steinmetz en particulier.
Dans tout le problème, c représente la vitesse de propagation d’une onde électromagnétique
dans le vide. Toutes les données numériques et les formules sont regroupées en début d’énoncé.
Données numériques :
f = 100 kHz, L = 10 cm, a = 2 cm, N = 100 spires.m−1 , P = 100 kW , µ0 = 4π.10−7 H.m−1 ,
γ = 107 S.m−1 .
Partie I : équations de Maxwell dans un métal
~ et B
~ dans un métal caractérisé
I.1. Écrire les équations de Maxwell écrites à partir des champs E
par les constantes ε0 et µ0 . On notera ρ(M, t) la densité volumique de charges électriques et
~j(M, t) le vecteur densité volumique de courant électrique.
Dans toute la suite du problème, on suppose que le métal est un conducteur ohmique à
~
l’intérieur duquel la loi d’Ohm locale ~j(M, t) = γ E(M,
t) est vérifiée en tout point.
I.2. Établir, à partir de ces équations de Maxwell, l’équation locale de conservation de la charge
électrique.
I.3. En déduire une équation différentielle vérifiée au point M par la densité volumique de
charge ρ(M, t) dans le métal dans laquelle apparaît ε0 et γ. Résoudre cette équation en supposant qu’à l’instant initial ρ(M, t = 0) = ρ0 et représenter le graphe correspondant. Application
numérique : calculer la constante de temps τ mise en évidence dans cette équation. Conclure.
Dans toute la suite du problème, le conducteur métallique sera supposé localement neutre,
soit pour tout M , ρ(M, t) = 0.
I.4. On suppose que le champ électrique dans le métal possède une dépendance temporelle
~ = E
~ 0 cos(ωt + ϕ) où E
~ 0 est un vecteur constant. Pour quelle
sinusoïdale, de la forme : E
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gamme de fréquences f les courants de déplacement dans le métal valent moins de un pour
cent des courants de conduction ?
Cette condition restera vérifiée dans la suite du problème et on supposera que l’équation
de Maxwell-Ampère peut s’écrire :
−→ ~
~
rot B = µ0 γ E
Partie II : chauffage d’un cylindre métallique par induction
Le chauffage d’un cylindre métallique est obtenu en plaçant celui-ci au centre d’un inducteur à symétrie de révolution (solénoïde considéré comme infini, à spires jointives et comportant
N spires par mètre), parcouru par un courant alternatif sinusoïdal de pulsation ω et d’amplitude
I0
:
i(t) = I0 cos(ωt). La longueur L du cylindre (identique à celle de l’inducteur) est suffisamment
grande devant son rayon a pour être considérée comme infinie. Le système de coordonnées cylindriques est utilisé et un point M est repéré par (r, θ, z), la base locale associée étant (~ur , ~uθ , ~uz )
(figures 1 et 2 en fin de problème).
~ ne peut avoir de
II.1. À partir de l’étude des symétries, montrer que le champ magnétique B
composantes que sur ~ur et sur ~uz .
~ = B r (r) exp(iωt)~ur + B z (r) exp(iωt)~uz représentera le champ magnéDans la suite, B
tique complexe. De même le vecteur densité de courant s’écrira : ~j = j r (r) exp(iωt) ~ur +
j θ (r) exp(iωt) ~uθ + j z (r) exp(iωt) ~uz . (i est le nombre complexe imaginaire pur, de module 1 et
d’argument π/2). On suppose que les composantes ne dépendent que de r.
II.2. Déduire des équations de Maxwell dans le métal les deux équations différentielles suivantes, relatives aux composantes B r et B z :

d 1 d [rB r ]



=
dr r dr

d2 B z
1 dB z


+
2
dr
r dr
s
avec δ =
=
2i
B
δ2 r
2i
B
δ2 z
2
.
µ0 γω
II.4. À partir de la loi de conservation du flux, montrer que rB r est constant. En déduire que
la composante B r est nulle.
II.5. Montrer alors que les lignes de courant de conduction sont des cercles d’axe zz 0 . Exprimer
la densité de courant ~j au point M en fonction d’une dérivée à préciser.
Dans le cas des basses fréquences, il est admis que la composante B z est bien représentée
par un développement en série tel que :
B z = B 0 1 + α1 r + α2 r2 + ... + αn rn + ...
II.6.a Établir les relations de récurrence entre les coefficients de B z . Préciser en particulier la
valeur de α1 , celle de α2 et la relation entre αn et αn−2 .
II.6.b À quelle condition sur la fréquence, le développement de B z peut-il ne conserver que deux
termes principaux, les autres étant considérés comme négligeables ? Application numérique :
calculer la fréquence maximale fM mise en évidence.
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II.6.c Donner alors une approximation de ~j au premier ordre en r sous la forme ~j = j θ (r) exp(iωt).
Préciser l’expression de j θ (r).
~ > dissipée par
II.6.d Calculer la densité volumique puissance moyenne 1 < pv > (r) = < ~j.E
effet Joule. En déduire la puissance moyenne P dissipée dans le cylindre de longueur L. Tracer
cette puissance moyenne en fonction de la fréquence pour 10−5 fM < f < 10−2 fM (tracé de
log10 (P ) en fonction de log10 (f )).
Dans le cas des fréquences élevées le courant est localisé au voisinage de la surface du
cylindre et décroît exponentiellement en s’en éloignant. Au centre du cylindre, le champ est
alors pratiquement nul et la région intéressante est donc loin de l’axe, près de la surface.
II.7 Montrer que pour r >> δ, l’équation différentielle vérifiée par B z se réduit à :
d2 B z
2i
= 2 Bz
2
dr
δ
Une solution approchée de cette équation peut s’écrire :
r−a
B z (r) = B 1 exp
δ
r−a
exp i
δ
où B 1 est une constante complexe que l’on va chercher à déterminer.
II.8.a On modélise la distribution de courant formée par les spires circulaires de rayon a par
une densité surfacique de courant ~jS = jS ~uθ localisée sur la surface du cylindre de rayon a.
Montrer que, pour que les deux distributions soient équivalentes, il faut que :
jS = N i(t) = N I0 cos(ωt)
On rappelle la relation de passage du champ magnétique entre deux milieux 1 et 2 séparés
par une surface S sur laquelle existe une densité surfacique de courants ~jS . Dans la notation
ci-dessous : M est un point de S, M − et M + sont deux points pratiquement confondus avec
M et situé respectivement dans le milieu 1 et dans le milieu 2 :
+
−
~
~
B(M
) − B(M
) = µ0 ~jS (M ) ∧ ~n12
où ~n12 est le vecteur unitaire normal à S en M et qui est dirigé du milieu 1 vers la milieu 2.
~ = ~0 si r > a.
II.8.b On introduit le vecteur complexe ~j S = N I0 exp(iωt) ~uθ et on admet que B
Écrire la relation de passage du champ magnétique de part et d’autre dela surface cylindrique
r = a. En déduire la relation entre B 1 , N et I0 .
II.8.c Donner alors ~j.
II.8.d Calculer la puissance moyenne P dissipée par effet Joule par le cylindre. Tracer cette
puissance moyenne en fonction de la fréquence pour 102 fM < f < 105 fM (tracé de log10 P , en
fonction de log10 f ).
Application numérique : quel courant l0 faut-il choisir pour avoir une puissance P dissipée
dans le cylindre ?
~ et ~j et jamais les représentations com1. Attention, pour calculer pv il faut utiliser les parties réelles de E
plexes.
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FIGURES :
!
DS n°5bis Centrale - Mines
L
iz
A
!
L
!
2a
FIN DE L’EPREUVE
FIN DE L’EPREUVE
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1 Synthèse du trioxyde de soufre