1 Formule de Burnside Théorème 1. Soit G X où G est un groupe de

1
Formule de Burnside
Théorème 1. Soit G X où G est un groupe de cardinal fini et X un ensemble de cardinal
fini. Notant Fix(g) = {x ∈ X | g.x = x} le fixateur de g, et Ω = {ω1 , . . . , ωr } l’ensemble des
orbites de l’action de G sur X, on a :
card(Ω) = r =
P
1
card(Fix(g)).
card(G) g∈G
Pour montrer ce résultat, on va utiliser la théorie des représentations, avec la représentation de
permutations associée à l’action de G sur X. On aura alors besoin du lemme suivant :
Lemme 1. Etude de l’opérateur de Reynolds.
Soit V un C-espace vectoriel de dimension finie n. On note (ρ, V ) une représentation du groupe
V . Alors, l’application RG définie par :
RG :
V
−→
V
v
7−→
P
1
ρ(g)(v)
card(G) g∈G
est un projecteur, d’image V G = {v ∈ V | ρ(g)(v) = v, ∀g ∈ G} et donc dim(V G ) = Tr(RG ).
Démonstration. :
Etape 1 : montrons que RG est un projecteur. Pour tout g ∈ G, ρ(g) ∈ GL(V ), ce qui implique
que RG ∈ L(V ) est linéaire comme somme d’applications linéaires. Il reste alors à prouver que
RG ◦ RG = RG . Soit g 0 ∈ G, on a :
!
P
P
P
1
1
1
RG ◦ ρ(g 0 ) =
ρ(g) ◦ ρ(g 0 ) =
ρ(gg 0 ) =
ρ(g) = RG
card(G) g∈G
card(G) g∈G
card(G) g∈G
ceci, car ρ est un morphisme de groupe et que γg0 :
G −→
g 7−→
G
est une bijection. On a
gg 0
alors,
RG ◦ RG = RG ◦ (
P
P
P
1
1
1
ρ(g)) =
RG ◦ ρ(g) =
RG = RG
card(G) g∈G
card(G) g∈G
card(G) g∈G
ce qui prouve que RG est un projecteur.
Etape 2 : montrons désormais que Im(RG ) = V G . Supposons y ∈ Im(RG ), alors il existe un
P
1
ρ(g)(v). Alors, pour g 0 ∈ G, on a :
vecteur v ∈ V tel que y = RG (v) =
card(G) g∈G
ρ(g 0 )(y) = ρ(g 0 )(
P
P
1
1
ρ(g)(v)) =
ρ(g 0 g)(v)) = RG (v) = y
card(G) g∈G
card(G) g∈G
ce qui nous donne bien y ∈ V G et Im(RG ) ⊂ V G . Inversement, si y ∈ V G , on a :
∀g ∈ G, ρ(g)(y) = y =⇒
P
P
1
1
ρ(g)(y) =
y=y
card(G) g∈G
card(G) g∈G
et donc y = RG (y) ∈ Im(RG ). On a alors bien Im(RG ) = V G et comme RG est un projecteur
rg(RG ) = dim(Im(RG )) = dim(V G ).
Passons désormais à la démonstration du théorème.
L
Démonstration. On définit VX =
Kex , l’espace vectoriel de dimension card(X) associée à la
x∈X
base indéxée par X, (ex )x∈X . Considérons alors la représentation de G associée à VX , par :
ρ:
G −→
g 7−→
GL(V )
ρ(g) : ex −→ eg.x
où . dans l’expression g.x traduit l’action G X. On définit aussi le projecteur RG associé à la
représentation de permutation ρ comme précédemment. Montrons que :
Tr(RG (g)) = card(Fix(g)) et que rg(RG ) = dim(VXG ) = card(Ω).
2
Pour g ∈ G, la matrice de ρ(g) dans la base (ex )x∈X est une matrice de permutation composée de
0 et de 1 avec exactement un seul 1 par ligne et par colonne. La trace de cette matrice est donc
le nombre de 1 sur la diagonale, c’est-à-dire le nombre de x ∈ X tel que ρ(g)(ex ) = eg.x = ex .
C’est donc exactement le nombre de points fixes sous l’action de g, soit card(Fix(g)). Ainsi,
Tr(ρ(g)) = card(Fix(g)), ce qui implique que :
Tr(RG ) = Tr(
P
P
P
1
1
1
ρ(g)) =
Tr(ρ(g)) =
card(Fix(g))
card(G) g∈G
card(G) g∈G
card(G) g∈G
par linéarité de la trace et le fait que RG soit un projecteur. Montrons alors pour conclure que
dim(Im(RG )) = dim(VXG ) = card(Ω)
en exhibant une base de VXG de cardinal, exactement card(Ω).
Soit Ω = {ωP
1 , ω2 , . . . , ωr }, les r orbites de l’action de G sur X et définissons pour i ∈ [[1, r]],
eωi par eωi =
x. Montrons que (eω1 , . . . , eωr ) est une base de VXG . Soit v ∈ VXG ⊂ VX , alors
x∈ωi
P
v s’écrit de manière unique v =
λx ex pour λx ∈ C et par unicité d’écriture dans une base et
x∈X
le fait que ρ(g)(v) = v pour tout g, on a :
ρ(g)(v) =
P
λx eg.x =
x∈X
P
λ x ex
x∈X
En identifiant les coefficients devant ex , on a donc que λg−1 .x = λx et ce pour tout g ∈ G et pour
tout x ∈ X. Cela montre que v ∈ VXG si et seulement si dans son écriture dans la base (ex )x∈X ,
les coefficients λx devant les ex sont les mêmes pour des x appartenant à une même ortbite de
G X. Ainsi, un élement v ∈ VXG s’écrit :
P
P
v = λ1
ex + . . . + λr
ex = λ1 eω1 + . . . + λr eωr
x∈ω1
x∈ωr
La famille (eω1 , . . . , eωr ) est donc génératrice de VXG . Montrons qu’elle est naturellement libre.
r
P
P
Soit (λi )1≤i≤r ∈ Kr , telle que
λi eωi = 0. En écrivant eωi sous la forme
ex , on a alors une
i=1
x∈ωi
combinaison linéaire nulle de la famille (ex )x∈X qui est une base de VX et donc naturellement
λi = 0 pour tout i. On a donc bien une base de VXG de cardinal r = card(Ω) ce qui prouve que :
dim(VXG ) = Tr(RG ) = card(Ω) =
P
1
card(Fix(g)).
card(G) g∈G