le rotationnel d`un

CPGE PSI 2011-2012
E. SAUDRAIS
ä La circulation est une grandeur algébrique dont le signe dépend du choix d’orientation de la
courbe.
Mathématiques et physique
Analyse vectorielle
˛
ä La circulation du champ le long d’un contour orienté est notée C(t ) =
#»
#»
A (M , t ) · d l
M ∈Γ
M
.
ä La circulation élémentaire d’un champ vectoriel est une forme différentielle :
1. Champ d’une grandeur
#»
#»
δC(t ) = A (M , t ) · d l
.
P
#» #»
ä Exemple de circulation en physique : le travail d’une force δW = F · d l .
Le champ d’une grandeur physique g dans un domaine D de l’espace à un instant t est
défini par la donnée de g (M , t ) en tout point M de D.
3. Champ à circulation conservative
Nature du champ
˛
#»
Champ scalaire : champ d’une grandeur scalaire G(M , t ). Exemples : champ de température, de pression, de potentiel électrostatique.
Un champ vectoriel A (M , t ) est dit à circulation conservative si
#»
#»
A (M , t ) · d l
M ∈Γ
#»
Champ vectoriel : champ d’une grandeur vectorielle A (M , t ). Exemples : champ des vitesses d’un solide, champ électrique.
M
= 0, ∀Γ.
ä La circulation d’un champ à circulation conservative entre deux point est indépendante du chemin suivi entre ces deux points.
Propriétés du champ
4. Flux d’un champ vectoriel
Champ uniforme : sa valeur à un instant t est la même en tout point du domaine D. Elle ne dépend
#»
#»
donc que du temps : G(M , t ) = G(t ) ou A (M , t ) = A (t ).
#»
Le flux d’un champ vectoriel A (M , t ) à travers une surface orientée Σ est défini par
Ï
#»
#»
Φ(t ) =
A (M , t ) · d S M .
Champ permanent (ou stationnaire) : sa valeur en tout point M ne dépend pas du temps. Elle ne
#»
#»
dépend donc que des coordonnées d’espace : G(M , t ) = G(M ) ou A (M , t ) = A (M ).
M ∈Σ
Champ constant : champ à la fois uniforme et permanent. Sa valeur et la même en tout point et à
#»
#»
chaque instant : G(M , t ) = G 0 ou A (M , t ) = A 0 .
ä Le flux est une grandeur algébrique dont le signe dépend du choix d’orientation de la surface.
Ó
On peut définir les lignes de champ et des tubes de champ pour un champ vectoriel :
ä Le flux à travers une surface fermée est noté Φ(t ) =
#»
Ligne de champ d’un champ vectoriel A (M , t ) : c’est la courbe tangente en chacun de ses points au
#»
champ A (M , t ) à l’instant t .
#»
A (M , t ) · d S .
ä Exemple de flux
physique : l’intensité électrique est le flux du vecteur densité de courant
Î en
#»
#»
électrique I =
ȷ · dS .
Tube de champ : c’est l’ensemble des lignes de champ s’appuyant sur un contour.
Σ
2. Circulation d’un champ vectoriel
5. Champ à ux conservatif
#»
Σ2
Un contour Γ est une courbe fermée orientée. On l’oriente arbitrairement en lui associant un sens de parcours. L’orientation du contour défini l’orientation de toute surface Σ s’appuyant sur Γ selon la règle de Maxwell, appelée familièrement
« règle du tire-bouchon » : un tire-bouchon dont le manche
tourne dans le sens de l’orientation du contour avance dans
le sens de l’orientation de la surface.
dS 2
#»
dS 1
Σ1
ä Le flux d’un champ à flux conservatif est constant à travers toute section d’un tube de champ. Le
#»
A (M , t ) · d l
P,Γ
M
.
champ est donc plus intense lorsque les lignes de champ se resserrent.
Γ
La circulation d’un champ vectoriel A (M , t ) d’un point P à un point Q le long d’une courbe Γ orientée
est définie par
#»
#»
A (M , t ) · d S M = 0 , ∀Σ.
ä Le flux d’un champ à flux conservatif à travers une surface s’appuyant sur un contour orienté
PSI Jacam — E. Saudrais
ä Par convention, une surface fermée est orientée vers l’extérieur.
#»
Q
#»
M ∈Σ
ne dépend pas du choix de cette surface ; on peut alors parler du flux du champ à travers un
contour.
traire, mais on ne peut pas orienter indépendamment le contour et la surface.
ˆ
Ó
#»
Un champ vectoriel A (M , t ) est à flux conservatif si
ä Le choix de l’orientation du contour ou de la surface est arbi-
CPQ (t ) =
#»
M ∈Σ
6. L’opérateur gradient
#»
Soit un champ scalaire G(M , t ). Sa variation dG entraînée par un déplacement élémentaire d l de
M est, par définition de l’opérateur gradient :
#»
# »
dG = gradG(M , t ) · d l
2
M
ä M ′ se déduit de M par une variation élémentaire de chacune de ses coordonnées.
#»
# »
ä On peut écrire dG(t ) = G(M ′ , t ) − G(M , t ) avec M M ′ = d l ; on peut considérer ce terme comme
#»
ä S’il existe un point de singularité (où le champ n’est pas défini) à l’intérieur du volume V, le
théorème d’Ostrogradski ne s’applique pas.
la variation de G quand M se déplace de d l .
Une conséquence de ce théorème est :
ä On retiendra l’expression du gradient en coordonnées cartésiennes :
# »
gradG =
Tout champ à divergence identiquement nulle est à flux conservatif, et réciproquement :
Ó
#»
#»
#»
A (P, t ) · d S P = 0 , ∀Σ ⇐⇒ div A (M , t ) = 0 ∀M .
∂G #» ∂G #» ∂G #»
ex +
ey +
ez .
∂x
∂y
∂z
P ∈Σ
ä L’opérateur gradient s’applique à un champ scalaire, qu’il transforme en un champ vectoriel.
# »
# »
# »
ä L’opérateur gradient est linéaire : ∀(λ, µ) ∈ R2 , grad (λG 1 + µG 2 ) = λgradG 1 + µgradG 2 .
9. L’opérateur rotationnel
ä L’ensemble des points M tels que G(M , t ) = cte définit une surface.
# »
ä En tout point M d’une surface G(M , t ) = cte, le vecteur gradG(M , t ) est normal à cette surface, et
#»
Soient un champ vectoriel A (M , t ). Sa circulation dC à travers un contour élémentaire orienté dΓ
entourant le point M est, par définition de l’opérateur rotationnel :
dirigé dans le sens des G croissants.
# » #»
ä Un champ uniforme a un gradient nul. Réciproquement, un champ de gradient nul dans un
Tout champ de gradient est à circulation conservative :
# »
#»
ä D’après la définition du gradient :
#»
où d S est une surface élémentaire orientée s’appuyant sur dΓ.
˛
∃G(M , t ), A (M , t ) = gradG(M , t ) ⇐⇒
˛
A (M , t ) · d l
#»
# »
#»
#»
M ∈Γ
M
#»
ä Cette définition est indépendante du choix de la surface d S s’appuyant sur Γ : un rotationnel
= 0 ; ∀Γ
est à flux conservatif.
˛
gradG(M , t ) · d l =
M ∈Γ
ä L’opérateur rotationnel s’applique à un champ vectoriel, qu’il transforme en un champ vectoriel.
#»
# » #»
# » #»
# » #»
ä L’opérateur rotationnel est linéaire : ∀(λ, µ) ∈ R2 , rot (λ A 1 + µ A 2 ) = λ rot A 1 + µ rot A 2 .
dG = 0
#» #»
ä Si A = gradG, sa circulation élémentaire est une différentielle exacte : δC = A · d l = dG.
#»
# »
#»
dC(t ) = rot A (M , t ) · d S M
domaine de l’espace est uniforme dans ce domaine.
ä Le rotationnel d’un vecteur polaire est un vecteur axial ; le rotationnel d’un vecteur axial est un
vecteur polaire.
ä Exemple de champ à circulation conservative : un force conservative. Ce champ de force dérive
# »
#»
alors d’un potentiel : F = −grad E p .
10. Théorème de Stokes
7. L’opérateur divergence
#»
Soit un champ vectoriel A (M , t ) défini en tout point d’une surface Σ s’appuyant sur un contour
orienté Γ :
˛
Ï
#»
#»
#»
# » #»
A (P, t ) · d l P =
rot A (M , t ) d S M .
#»
Soit un champ scalaire A (M , t ). Son flux dΦ à travers la surface délimitant le volume élémentaire
dτ entourant le point M est, par définition de l’opérateur divergence :
M ∈Σ
P ∈Γ
#»
dΦ(t ) = div A (M , t ) dτM
ä Ce résultats est vrai pour toute surface Σ s’appuyant sur Γ.
ä Les orientations du contour Γ et de la surface Σ ne sont pas indépendantes, mais reliées par la
ä On retiendra son expression en coordonnées cartésiennes
règle de Maxwell.
#»
div A =
∂A x ∂A y ∂A z
+
+
∂x
∂y
∂z
ä S’il existe un point de singularité (où le champ n’est pas défini) à l’intérieur du volume V, le
théorème de Stokes ne s’applique pas.
#»
avec A = A x (M , t ) #»
e x + A y (M , t ) #»
e y + A z (M , t ) #»
e z.
Une conséquence de ce théorème est :
Tout champ à rotationnel identiquement nul est à circulation conservative, et réciproquement :
ä L’opérateur divergence s’applique à un champ vectoriel, qu’il transforme en un champ scalaire.
#»
#»
#»
#»
ä L’opérateur divergence est linéaire : ∀(λ, µ) ∈ R2 , div(λ A 1 + µ A 2 ) = λ div A 1 + µ div A 2 .
˛
#»
#»
Soit un champ vectoriel A (M , t ) défini en tout point d’un volume V délimité par une surface Σ :
Ó
Ñ
#»
#»
#»
A (P, t ) · d S P =
div A (M , t ) dτM .
P ∈Σ
M ∈V
3
PSI Jacam — E. Saudrais
PSI Jacam — E. Saudrais
P ∈Γ
8. Théorème d’Ostrogradski
#»
A (P, t ) · d l
P
= 0 , ∀Γ
⇐⇒
4
# » #»
#»
rot A (M , t ) = 0 ∀M .
11. L’opérateur laplacien
14. L’opérateur nabla
1) Laplacien scalaire
L’opérateur nabla, noté ∇, est appelé aussi opérateur de dérivation spatiale. Il permet d’exprimer les
opérateurs vectoriels :
#»
Le laplacien d’un champ scalaire G(M , t ) est défini par
)
(# »
∆G(M , t ) = div gradG(M , t )
# »
#»
#»
gradG = ∇G ;
Coordonnées cartésiennes :
#»
∇=
ä Cet opérateur est linéaire.
ä On retiendra son expression en coordonnés cartésiennes :
Coordonnées cylindriques :
#»
∇=
∂2 G ∂2 G ∂2 G
∆G =
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
Coordonnées sphériques :
#»
∇=
2) Laplacien vectoriel
#»
#»
∂ #» ∂ #» ∂ #»
ex +
ey +
ez
∂x
∂y
∂z
∂ #» 1 ∂ #» ∂ #»
er +
eθ +
ez
∂r
r ∂θ
∂z
1 ∂ #»
∂ #» 1 ∂ #»
er +
eθ +
eφ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
#» #»
ä L’opérateur laplacien s’écrit comme le carré scalaire de l’opérateur nable : ∆ = ∇ · ∇ .
#»
Le laplacien d’un champ vectoriel A (M , t ) est défini par
)
(
)
# » ( #»
#»
# » # » #»
∆ A (M , t ) = grad div A (M , t ) − rot rot A (M , t )
Mais qui étaient-ils ?
#»
ä Cet opérateur est parfois noté ∆ . Il s’applique à un champ vectoriel, qu’il transforme en un
Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradski (1801-1862), mathématicien et physicien russe. Il fut étudiant à la Sorbonne puis au Collège de France à Paris, de
1822 à 1826. Il rentra en Russie en 1828 et fut élu à l’académie des sciences de
Saint-Pétersbourg. Il démontra en 1831 le théorème de flux-divergence, initialement découvert par Lagrange en 1762, puis redécouvert indépendamment par Gauss en 1813 et par Green en 1825. Ses travaux ont porté sur le
calcul des variations, l’intégration des fonctions algébriques, la théorie des
nombres, l’algèbre, la géométrie, les probabilités et la mécanique classique,
apportant des contributions importantes dans l’étude du mouvement des
corps élastiques et dans le développement de méthodes d’intégration des
équations de la dynamique.
champ vectoriel.
#»
ä En coordonnées cartésiennes uniquement, en notant A = A x (M , t ) #»
e x + A y (M , t ) #»
e y + A z (M , t ) #»
e z,
il s’exprime en fonction des laplaciens des coordonnées :
(
)
(
)
(
)
#»
∆ A (M , t ) = ∆A x (M , t ) #»
e x + ∆A y (M , t ) #»
e y + ∆A z (M , t ) #»
ez
santes.
# » #»
rot A = ∇ ∧ A
Expression de l’opérateur nabla dans les divers systèmes de coordonnées :
ä L’opérateur laplacien ∆ s’applique à un champ scalaire, qu’il transforme en un champ scalaire.
où ∆A x (M , t ) =
#» #»
div A = ∇ · A ;
∂2 A x (M , t ) ∂2 A x (M , t ) ∂2 A x (M , t )
+
+
, et de même pour les deux autres compo∂x 2
∂y 2
∂z 2
12. Champ vectoriel à ux conservatif
(
)
# » #»
La divergence d’un rotationnel est identiquement nulle : div rot A (M , t ) = 0 .
Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un champ soit à flux conservatif est qu’il soit un
champ de rotationnel :
#»
div A (M , t ) = 0 ; ∀ M
⇐⇒
#»
#»
# » #»
∃ R (M , t ) , A (M , t ) = rot R (M , t )
(
) #»
#» # »
Le rotationnel d’un gradient est identiquement nul : rot gradG(M , t ) = 0 .
Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un champ soit à circulative conservatif est qu’il soit
un champ de gradient :
# » #»
#»
rot A (M , t ) = 0 ; ∀ M
⇐⇒
#»
# »
∃G(M , t ) , A (M , t ) = gradG(M , t )
5
PSI Jacam — E. Saudrais
PSI Jacam — E. Saudrais
13. Champ vectoriel à circulation conservative
George Gabriel Stokes (1819-1903), mathématicien et physicien britannique. Ses contributions les plus importantes concernent la dynamique
des fluides (équation de Navier-Stokes), l’optique et la physique mathématique (théorème de Stokes). Le théorème de Stokes a été initialement découvert par William Thomson qui l’a communiqué à Stokes en 1850. C’est
un
général sur l’intégration des formes différentielles. L’énoncé
Î théorème
# » #» #» ¸ #» #»
Σ rot A · d S = Γ A · d l , connu aussi sous le nom de théorème de KelvinStokes, ou théorème du rotationnel, n’en est qu’une application particulière.
Entre autres, il étudia les fluides visqueux, expliqua la fluorescence et étudia
la polarisation de la lumière.
6
Formulaire
Opérateur gradient
(
# »
∂G
∂x
)
(
∂G
#»
ex +
)
(
∂G
#»
ey +
)
#»
ez
∂y x,z
∂z x,y
(
(
)
(
)
)
∂G #» 1 ∂G #»
∂G #»
# »
er +
eθ +
ez
Coordonnées cylindriques : gradG =
∂r θ,z
r ∂θ r,z
∂z r,θ
(
)
(
)
(
)
1
∂G #» 1 ∂G #»
∂G #»
# »
Coordonnées sphériques : gradG =
er +
eθ +
eφ
∂r θ,φ
r ∂θ r,φ
r sin θ ∂φ r,θ
Coordonnées cartésiennes : gradG =
y,z
Opérateur divergence
)
)
(
)
(
∂A y
∂A x
∂A z
+
+
∂x y,z
∂y x,z
∂z x,y
(
)
(
)
(
)
1 ∂A θ
∂A z
#» 1 ∂(r A r )
Coordonnées cylindriques : div A =
+
+
r
∂r θ,z r ∂θ r,z
∂z r,θ
)
(
)
(
)
(
∂A φ
1
∂(sin θ A θ )
1
#» 1 ∂(r 2 A r )
Coordonnées sphériques : div A = 2
+
+
r
∂r
r sin θ
∂θ
r sin θ ∂φ r,θ
θ,φ
r,φ
#»
(
Coordonnées cartésiennes : div A =
Opérateur rotationnel
)
(
)
(
)
∂A y ∂A x #»
∂A z ∂A y #»
∂A x ∂A z #»
−
ex +
−
ey +
−
ez
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
(
)
(
)
(
)
1 ∂A z ∂A θ #»
∂A r ∂A z #» 1 ∂(r A θ ) ∂A r #»
#»
A=
−
er +
−
eθ +
−
ez
r ∂θ
∂z
∂z
∂r
r
∂r
∂θ
(
)
(
)
(
)
∂(sin θ A φ ) ∂A θ #» 1
1 ∂A r ∂(r A φ ) #» 1 ∂(r A θ ) ∂A r #»
1
#»
−
er+
−
e θ+
−
eφ
A=
r sin θ
∂θ
∂φ
r sin θ ∂φ
∂r
r
∂r
∂θ
# » #»
(
Coordonnées cartésiennes : rot A =
#»
Coordonnées cylindriques : rot
Coordonnées sphériques :
#»
rot
Laplacien
∂2G ∂2G ∂2G
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
(
)
1 ∂
∂G
1 ∂2G ∂2G
Coordonnées cylindriques : ∆G =
r
+ 2
+
r ∂r
∂r
r ∂θ 2 ∂z 2
(
)
(
)
1 ∂ 2 ∂G
1
∂
∂G
1
∂2 G
Coordonnées sphériques : ∆G = 2
r
+ 2
sin θ
+
2 ∂φ2
2
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ
(
)
1 ∂2 (r G)
1
∂
∂G
1
∂2 G
=
+ 2
sin θ
+
r ∂r 2
r sin θ ∂θ
∂θ
r 2 sin2 θ ∂φ2
Coordonnées cartésiennes : ∆G =
#»
#»
#»
#»
PSI Jacam — E. Saudrais
Soient a = a(M , t ) et b = b(M , t ) deux champs scalaires, et A = A (M , t ) et B = B (M , t ) deux champs vectoriels.
On a les relations :
# »
# »
# »
ä grad (ab) = a grad b + b grad a
#»
#» # » #»
ä div(a A ) = a div A + grad a · A
#» #» #» # » #» #» # » #»
ä div( A ∧ B ) = B · rot A − A · rot B
#»
# » #»
# » #» # »
ä rot (a A ) = a rot A + grad a ∧ A
#»
#» # »
ä rot (grad a) = 0
# » #»
ä div(rot A ) = 0
#»
#»
# » # » #» # »
ä rot (rot A ) = grad (div A ) − ∆ A
#»
#» #» # » #»
ä div B = 0 ⇐⇒ ∃ A , B = rot A
#» # »
# » #»
ä rot A = 0 ⇐⇒ ∃a , A = grad a
7