Pythagore et les moyennes – 3ème 6 Module

Pythagore et les moyennes – 3ème 6 Module
Parmi les nombreux résultats obtenus par le mathématicien et philosophe grec Pythagore (VIème siècle av. J.-C.) et son école,
figurent les formules des moyennes.
a+b
. Il s’agit de la moyenne étudiée en 4ème.
La moyenne arithmétique m de deux nombres a et b est telle que : m =
2
Cependant, il existe plusieurs autres sortes de moyennes. Par exemple, a et b étant deux nombres positifs :
La moyenne géométrique g est telle que : g ² = ab .
a ² + b²
.
2
1 1
+
1 a b
La moyenne harmonique h est telle que : =
.
h
2
La moyenne quadratique q est telle que : q ² =
Exercice 1.
1) Calculer la moyenne arithmétique, géométrique, quadratique et harmonique des nombres a = 12 et b = 3 . Arrondir
au centième près.
2) Démontrer que la moyenne arithmétique des nombres  et L est égal à la longueur du côté d’un carré ayant le même
périmètre qu’un rectangle de dimensions  et L.
3) Démontrer que la moyenne géométrique des nombres  et L est égal à la longueur du côté d’un carré ayant la même
aire qu’un rectangle de dimensions  et L.
4) Démontrer que la moyenne quadratique des nombres  et L est égal à la longueur du côté d’un carré ayant la même
diagonale qu’un rectangle de dimensions  et L.
x
L

x
Exercice 2.
1) Un véhicule effectue le trajet entre deux villes à la vitesse moyenne V1 à l’aller et V2 au retour. Démontrer que la
moyenne harmonique de V1 et V2 est égale à la vitesse moyenne du véhicule sur l’ensemble du trajet.
2) Vérifier ce résultat avec deux villes distantes de 150 km, V1 = 90 km.h -1 et V2 = 130 km.h -1 .