06_Connexite - Nouvelles de Hugues Talbot

Quelles différences ?
Forme 1
J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D
Forme 2
1/24
Quelles différences ?
Graphe G1
J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D
Graphe G2
1/24
Connexité dans les graphes
Jean Cousty & Hugues Talbot
ISBS 2004-2014
Morphologie Mathématique
J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D
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Plan de la séance
1 Chemin
2 Connexité
3 Algorithmes
4 Degrés
Notes de cours Graphes et Algorithmes
Sections 1.4 à 1.6, pages 11 à 19
J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D
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Chemin
Chemin
Définition
Soit G = (E , Γ) un graphe, et soient x et y deux sommets dans E
Un chemin de x à y (dans G ) est une séquence
ordonnée π = (x0 , . . . , x` ) de sommets de E telle que
∀i ∈ {1, . . . , `}, xi ∈ Γ(xi−1 )
x0 = x et x` = y
J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D
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Chemin
Chemin
Définition
Soit G = (E , Γ) un graphe, et soient x et y deux sommets dans E
Un chemin de x à y (dans G ) est une séquence
ordonnée π = (x0 , . . . , x` ) de sommets de E telle que
∀i ∈ {1, . . . , `}, xi ∈ Γ(xi−1 )
x0 = x et x` = y
2
1
Exemple
π = (1, 2, 3) est un chemin
3
4
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Chemin
Chemin
Définition
Soit G = (E , Γ) un graphe, et soient x et y deux sommets dans E
Un chemin de x à y (dans G ) est une séquence
ordonnée π = (x0 , . . . , x` ) de sommets de E telle que
∀i ∈ {1, . . . , `}, xi ∈ Γ(xi−1 )
x0 = x et x` = y
Si π = (x0 , . . . , x` ) est un chemin, ` est sa longueur
2
1
Exemple
π = (1, 2, 3) est un chemin de
longueur 2
3
4
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Chemin
Quelques chemins remarquables
Un chemin de longueur nulle est appelé un chemin trivial
Exemple
2
1
(3) est un chemin trivial
3
4
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Chemin
Quelques chemins remarquables
Un chemin de longueur nulle est appelé un chemin trivial
Un chemin π = (x0 , . . . , x` ) non trivial est un circuit si x0 = x`
Exemple
2
1
(3) est un chemin trivial
(1, 2, 3, 1) est un circuit
3
4
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Chemin
Quelques chemins remarquables
Un chemin de longueur nulle est appelé un chemin trivial
Un chemin π = (x0 , . . . , x` ) non trivial est un circuit si x0 = x`
Un chemin π = (x0 , . . . , x` ) est élémentaire si tous les sommets qui
le composent sont deux-à-deux distincts (sauf éventuellement x0
et x` ) : ∀i, j ∈ {0, . . . , `}, i 6= j =⇒ xi 6= xj (ou {i, j} = {0, `})
Exemple
2
1
(3) est un chemin trivial
(1, 2, 3, 1) est un circuit
élémentaire
3
4
J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D
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Chemin
Quelques chemins remarquables
Un chemin de longueur nulle est appelé un chemin trivial
Un chemin π = (x0 , . . . , x` ) non trivial est un circuit si x0 = x`
Un chemin π = (x0 , . . . , x` ) est élémentaire si tous les sommets qui
le composent sont deux-à-deux distincts (sauf éventuellement x0
et x` ) : ∀i, j ∈ {0, . . . , `}, i 6= j =⇒ xi 6= xj (ou {i, j} = {0, `})
Exemple
2
1
(3) est un chemin trivial
(1, 2, 3, 1) est un circuit
élémentaire
3
4
J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D
(1, 3, 1, 2, 3, 1) est un circuit
non élémentaire
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Chemin
Propriétés élémentaires
Propriété
Tout chemin π de x à y contient un chemin élémentaire de x à y
J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D
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Chemin
Propriétés élémentaires
Propriété
Tout chemin π de x à y contient un chemin élémentaire de x à y
La longueur d’un circuit élémentaire est inférieure à n (où n = |E |)
J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D
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Chemin
Propriétés élémentaires
Propriété
Tout chemin π de x à y contient un chemin élémentaire de x à y
La longueur d’un circuit élémentaire est inférieure à n (où n = |E |)
La longueur d’un chemin élémentaire qui n’est pas un circuit est
inférieure à n − 1
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Chemin
Chaîne et cycle
Définition
Soit Gs = (E , Γs ) la fermeture symétrique de Γ
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Chemin
Chaîne et cycle
Définition
Soit Gs = (E , Γs ) la fermeture symétrique de Γ
Tout chemin dans Gs est appelé une chaîne (dans G)
J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D
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Chemin
Chaîne et cycle
Définition
Soit Gs = (E , Γs ) la fermeture symétrique de Γ
Tout chemin dans Gs est appelé une chaîne (dans G)
Un cycle (dans G ) est un circuit dans Gs ne passant pas deux fois
par la même arête
J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D
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Chemin
Chaîne et cycle
Définition
Soit Gs = (E , Γs ) la fermeture symétrique de Γ
Tout chemin dans Gs est appelé une chaîne (dans G)
Un cycle (dans G ) est un circuit dans Gs ne passant pas deux fois
par la même arête
Remarque. Si π = (x0 , . . . , x` ) est une chaîne alors, π 0 = (x` , . . . , x0 ) est
une chaîne (car (E , Γs ) est un graphe symétrique, ce qui
implique xi ∈ Γs (xi−1 ) ⇔ xi−1 ∈ Γs (xi ))
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Chemin
Illustration : chemin et chaîne, circuit et cycles
2
1
3
4
Exemple
(1, 2, 1) n’est pas un chemin
(1, 2, 3) est un chemin
(1, 2, 3, 1, 2, 4) est un chemin
(4, 2, 1) n’est pas un chemin
(4, 2, 1) est une chaîne
(1, 2, 3, 1) est un circuit
(1, 3, 2, 1) n’est pas un circuit
(1, 3, 2, 1) est un cycle
(1, 3, 1) n’est pas un cycle
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Connexité
Composante connexe
Définition
Soit x ∈ E . La composante connexe de G contenant x est le
sous-ensemble Cx de E défini par :
Cx = {y ∈ E | il existe une chaîne de x à y }
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Connexité
Composante connexe
Définition
Soit x ∈ E . La composante connexe de G contenant x est le
sous-ensemble Cx de E défini par :
Cx = {y ∈ E | il existe une chaîne de x à y }
Exemple
8
0
1
1
0
11
0
1
0
1
0
2
1
0
1
0
0
1
5
1
0
1
0
0
1
11
00
00
11
3
1
0
17
0
0
1
C1 = {1, 2, 3, 4} = C2 =
C3 = C4
C5 = {5}
1
0
1
0
0
1
4
C6 = C7 = C8 = {6, 7, 8}
1
0
1
0
0
1
6
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Connexité
Composante connexe comme classe d’équivalence
Propriété
1
∀x ∈ E , x ∈ Cx (réflexivité)
2
∀x, y ∈ E , y ∈ Cx =⇒ x ∈ Cy (symétrie)
3
∀x, y , z ∈ E , [y ∈ Cx et z ∈ Cy ] =⇒ z ∈ Cx (transitivité)
Preuve.
1
∀x ∈ E , (x) est une chaîne (triviale), donc x ∈ Cx
2
y ∈ Cx =⇒ ∃ une chaîne π = (x0 , . . . , , x` ) de x à y
=⇒ π 0 = (x` , . . . , x0 ) est une chaîne de y à x =⇒ x ∈ Cy
3
[y ∈ Cx et z ∈ Cy ] =⇒ [∃ une chaîne π = (x0 , . . . , x` ) de x à y et
∃ une chaîne π 0 = (y0 , . . . , ym ) de y à z]
=⇒ π 00 = (x0 , . . . , x` , y1 , . . . , ym ) est une chaîne de x à z
=⇒ z ∈ Cx
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Connexité
Composante fortement connexe
Définition
Soit x ∈ E . La composante fortement connexe (de G ) contenant x
est le sous-ensemble Cx0 de E défini par
Cx0 = {y ∈ E | ∃ un chemin de x à y et ∃ un chemin de y à x}
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Connexité
Composante fortement connexe
Définition
Soit x ∈ E . La composante fortement connexe (de G ) contenant x
est le sous-ensemble Cx0 de E défini par
Cx0 = {y ∈ E | ∃ un chemin de x à y et ∃ un chemin de y à x}
Exemple
8
0
1
1
0
11
0
1
0
1
0
2
1
0
1
0
0
1
5
1
0
1
0
0
1
11
00
00
11
3
1
0
17
0
0
1
C10 = {1, 2, 3} = C20 = C30
C40 = {4} ; C50 = {5}
C60 = {6} ; C70 = {7}
1
0
1
0
0
1
4
C80 = {8}
1
0
1
0
0
1
6
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Connexité
Composante fortement connexe comme classe
d’équivalence ?
Exercice. Les composantes fortement connexes sont-elles des classes
d’équivalence ? Preuve ou contre-exemple ?
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Algorithmes
Calcul de composantes connexes et fortement connexes
Méthode
Nous allons d’abord étudier une caractérisation des composantes
connexes et fortement connexes reposant sur la dilatation
Ceci nous permettra ensuite de proposer des algorithmes efficaces
pour les calculer
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Algorithmes
Opérateurs itérées
Définition
Soit ψ un opérateur et i ∈ N
On désigne par ψi l’opérateur défini par
1
2
ψi = ψψi−1
ψ0 = Id (c.a.d ∀X ⊆ E , ψ0 (X ) = X )
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Algorithmes
Opérateurs itérées
Définition
Soit ψ un opérateur et i ∈ N
On désigne par ψi l’opérateur défini par
1
2
ψi = ψψi−1
ψ0 = Id (c.a.d ∀X ⊆ E , ψ0 (X ) = X )
Exemple (dilatation itéré)
1
δΓ,0 (X ) = X
2
δΓ,1 (X ) = δΓ (δΓ,0 (X )) = δΓ (X )
3
δΓ,2 (X ) = δΓ (δΓ,1 (X )) = δΓ (δΓ (X ))
4
...
5
δΓ,i (X ) = δΓ (δΓ,i−1 (X )) = δΓ (. . . δΓ (X ) . . .)
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Algorithmes
Illustration : dilatation itérée
8
2
1
7
5
3
4
6
Exemple
X = δΓ,0 (X ) = {1}
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Algorithmes
Illustration : dilatation itérée
8
2
1
7
5
3
4
6
Exemple
X = δΓ,0 (X ) = {1}
δΓ,1 (X ) = {2}
J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D
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Algorithmes
Illustration : dilatation itérée
8
2
1
7
5
3
4
6
Exemple
X = δΓ,0 (X ) = {1}
δΓ,1 (X ) = {2}
δΓ,2 (X ) = {3, 4}
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Algorithmes
Dilatation itérée et chemins de longueur fixe
Propriété
Soient x ∈ E et i ∈ N
Les deux égalités suivantes sont vraies
δΓ,i ({x}) = {y ∈ E | ∃ un chemin de x à y de longueur i}
δΓ−1 ,i ({x}) = {y ∈ E | ∃ un chemin de y à x de longueur i}
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Algorithmes
Dilatation itérée et chemins de longueur fixe
Propriété
Soient x ∈ E et i ∈ N
Les deux égalités suivantes sont vraies
δΓ,i ({x}) = {y ∈ E | ∃ un chemin de x à y de longueur i}
δΓ−1 ,i ({x}) = {y ∈ E | ∃ un chemin de y à x de longueur i}
Définition
On définit pour tout X ⊆ E et tout p ∈ N
δd
Γ,p (X ) = ∪{δΓ,i (X ) | i ∈ {0, . . . , p}}
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Algorithmes
Dilatation itérée et chemins de longueur fixe
Propriété
Soient x ∈ E et i ∈ N
Les deux égalités suivantes sont vraies
δΓ,i ({x}) = {y ∈ E | ∃ un chemin de x à y de longueur i}
δΓ−1 ,i ({x}) = {y ∈ E | ∃ un chemin de y à x de longueur i}
Définition
On définit pour tout X ⊆ E et tout p ∈ N
δd
Γ,p (X ) = ∪{δΓ,i (X ) | i ∈ {0, . . . , p}}
L’ensemble δd
Γ,p (X ) est la pré-fermeture de X d’ordre p
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Algorithmes
Fermeture transitive et chemins
Corollaire
Soit x ∈ E
Les deux égalités suivantes sont vraies
δd
Γ,p ({x}) = {y ∈ E | ∃ un chemin de x à y de longueur ≤ p}
δ\
Γ−1 ,p ({x}) = {y ∈ E | ∃ un chemin de y à x de longueur ≤ p}
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Algorithmes
Fermeture transitive et chemins
Corollaire
Soit x ∈ E
Les deux égalités suivantes sont vraies
δd
Γ,p ({x}) = {y ∈ E | ∃ un chemin de x à y de longueur ≤ p}
δ\
Γ−1 ,p ({x}) = {y ∈ E | ∃ un chemin de y à x de longueur ≤ p}
Définition
Soit x ∈ E , la fermeture (transitive) de {x} est l’ensemble
δd
Γ,∞ ({x}) = {y ∈ E | ∃ un chemin de x à y }
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Algorithmes
Fermeture transitive et chemins
Corollaire
Soit x ∈ E
Les deux égalités suivantes sont vraies
δd
Γ,p ({x}) = {y ∈ E | ∃ un chemin de x à y de longueur ≤ p}
δ\
Γ−1 ,p ({x}) = {y ∈ E | ∃ un chemin de y à x de longueur ≤ p}
Définition
Soit x ∈ E , la fermeture (transitive) de {x} est l’ensemble
δd
Γ,∞ ({x}) = {y ∈ E | ∃ un chemin de x à y }
\
Exercice. Démontrer que δd
Γ,∞ ({x}) = δΓ,n−1 ({x}) (où n = |E |)
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Algorithmes
Illustration : fermeture transitive
8
2
1
7
5
3
4
6
Exemple
X = δd
Γ,0 (X ) = {1}
X = δΓ,0 (X ) = {1}
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Algorithmes
Illustration : fermeture transitive
8
2
1
7
5
3
4
6
Exemple
X = δΓ,0 (X ) = {1}
X = δd
Γ,0 (X ) = {1}
δd
Γ,1 (X ) = {1, 2}
δΓ,1 (X ) = {2}
J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D
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Algorithmes
Illustration : fermeture transitive
8
2
1
7
5
3
4
6
Exemple
X = δΓ,0 (X ) = {1}
δΓ,1 (X ) = {2}
δΓ,2 (X ) = {3, 4}
J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D
X = δd
Γ,0 (X ) = {1}
δd
Γ,1 (X ) = {1, 2}
δd
Γ,2 (X ) = {1, 2, 3, 4} =
d
δΓ,7 (X )
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Algorithmes
Fermeture transitive et composante connexe
Propriété
Soient x ∈ E . Soient Cx et Cx0 les composantes connexe et,
respectivement, fortement connexe contenant x
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Algorithmes
Fermeture transitive et composante connexe
Propriété
Soient x ∈ E . Soient Cx et Cx0 les composantes connexe et,
respectivement, fortement connexe contenant x
Les deux égalités suivantes sont vraies
\
Cx0 = δ\
Γ,n−1 ({x}) ∩ δΓ−1 ,n−1 ({x})
\
Cx = δΓs ,n−1 ({x}) = δ\
Γs ,n−1 ({x})
où n = |E | et Γs désigne la fermeture symétrique de Γ
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Algorithmes
Fermeture transitive et composante connexe
Propriété
Soient x ∈ E . Soient Cx et Cx0 les composantes connexe et,
respectivement, fortement connexe contenant x
Les deux égalités suivantes sont vraies
\
Cx0 = δ\
Γ,n−1 ({x}) ∩ δΓ−1 ,n−1 ({x})
\
Cx = δΓs ,n−1 ({x}) = δ\
Γs ,n−1 ({x})
où n = |E | et Γs désigne la fermeture symétrique de Γ
Remarque importante
Pour calculer les composantes connexes et fortement connexes
contenant x, il suffit donc de calculer la fermeture transitive de {x}
pour les graphes (E , Γ), (E , Γ−1 ) et (E , Γs )
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Algorithmes
Algorithme naïf pour la fermeture transitive de {x}
Algorithme TRANS_NAIF ( Données : (E , Γ), x ∈ E ;
Résultat : Z = δ\
Γ,n−1 ({x}))
X := {x} ; Y := ∅ ; Z := {x} ;
Pour chaque i de 1 à n − 1 Faire
Y := DIL((E , Γ), X ) ;
Z := Z ∪ Y ;
X := Y ; Y := ∅ ;
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/* Y = δΓ,i ({x}) */
/* Z = δc
Γ,i ({x}) */
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Algorithmes
Algorithme naïf pour la fermeture transitive de {x}
Algorithme TRANS_NAIF ( Données : (E , Γ), x ∈ E ;
Résultat : Z = δ\
Γ,n−1 ({x}))
X := {x} ; Y := ∅ ; Z := {x} ;
Pour chaque i de 1 à n − 1 Faire
Y := DIL((E , Γ), X ) ;
Z := Z ∪ Y ;
X := Y ; Y := ∅ ;
/* Y = δΓ,i ({x}) */
/* Z = δc
Γ,i ({x}) */
Complexité
En utilisant l’algorithme DIL vu en TP
La complexité de l’algorithme TRANS_NAIF est
O(n2 + nm) (où n = |E | et m = |Γ|)
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Algorithmes
Algorithme linéaire pour la fermeture transitive de {x}
Algorithme TRANS ( Données : (E , Γ), x ∈ E ;
Résultat : Z = δ\
Γ,n−1 ({x}))
X := {x} ; Y := ∅ ; Z := {x} ;
Pour chaque i de 1 à n − 1 Faire
Tant que ∃y ∈ X Faire
X := X \ {y } ;
Pour chaque z ∈ Γ(y ) Faire
Si z ∈
/ Z Alors Y := Y ∪ {z} ; Z := Z ∪ {z} ;
X := Y ; Y := ∅ ;
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Algorithmes
Algorithme linéaire pour la fermeture transitive de {x}
Algorithme TRANS ( Données : (E , Γ), x ∈ E ;
Résultat : Z = δ\
Γ,n−1 ({x}))
X := {x} ; Y := ∅ ; Z := {x} ;
Pour chaque i de 1 à n − 1 Faire
Tant que ∃y ∈ X Faire
X := X \ {y } ;
Pour chaque z ∈ Γ(y ) Faire
Si z ∈
/ Z Alors Y := Y ∪ {z} ; Z := Z ∪ {z} ;
X := Y ; Y := ∅ ;
Complexité
En représentant X et Y par des LC et Z par un TB
La complexité de l’algorithme TRANS est linéaire
O(n + m) (où n = |E | et m = |Γ|)
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Algorithmes
Algorithme linéaire pour la fermeture transitive de {x}
L’algorithme TRANS peut être simplifié sans changer sa complexité :
Algorithme TRANS ( Données : (E , Γ), x ∈ E ;
Résultat : Z = δ\
Γ,n−1 ({x}))
X := {x} ; Z := {x} ;
Tant que ∃y ∈ X Faire
X := X \ {y } ;
Pour chaque z ∈ Γ(y ) Faire
Si z ∈
/ Z Alors X := X ∪ {z} ; Z := Z ∪ {z} ;
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Algorithmes
Extraction de la composante fortement connexe de {x}
Algorithme CFC ( Données : (E , Γ), x ∈ E ;
Résultat : Z = Cx0 )
X := TRANS((E , Γ), x) ;
Γ−1 := SYM_1(E , Γ) ;
Y := TRANS((E , Γ−1 ), x)
Z := X ∩ Y ;
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Algorithmes
Extraction de la composante fortement connexe de {x}
Algorithme CFC ( Données : (E , Γ), x ∈ E ;
Résultat : Z = Cx0 )
X := TRANS((E , Γ), x) ;
Γ−1 := SYM_1(E , Γ) ;
Y := TRANS((E , Γ−1 ), x)
Z := X ∩ Y ;
Complexité
En utilisant
l’algorithme linéaire SYM_1 vu au premier cours
l’algorithme linéaire TRANS
La complexité de l’algorithme CFC est linéaire :
O(n + m) (où n = |E | et m = |Γ|)
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Algorithmes
Extraction de la composante connexe de {x}
Algorithme CC ( Données : (E , Γ), x ∈ E ;
Résultat : Y = Cx )
Γ−1 := SYM_1(E , Γ) ;
Γs := Γ ∪ Γ−1 ;
Y := TRANS((E , Γs ), x)
J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D
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Algorithmes
Extraction de la composante connexe de {x}
Algorithme CC ( Données : (E , Γ), x ∈ E ;
Résultat : Y = Cx )
Γ−1 := SYM_1(E , Γ) ;
Γs := Γ ∪ Γ−1 ;
Y := TRANS((E , Γs ), x)
Complexité
En utilisant
l’algorithme linéaire SYM_1 vu au premier cours
l’algorithme linéaire TRANS
La complexité de l’algorithme CC est linéaire :
O(n + m) (où n = |E | et m = |Γ|)
J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D
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Degrés
Degrés
Problème
Dans une réunion mondaine, y a-t-il toujours deux personnes ayant
le même nombre d’amis présents ?
Peut-on tracer dans le plan cinq droites distinctes, telles que
chacune d’entre elles ait exactement trois points d’intersection
avec les autres ?
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Degrés
Degrés
Problème
Dans une réunion mondaine, y a-t-il toujours deux personnes ayant
le même nombre d’amis présents ?
Peut-on tracer dans le plan cinq droites distinctes, telles que
chacune d’entre elles ait exactement trois points d’intersection
avec les autres ?
Pour répondre à ces questions, rendez-vous p. 16 section 1.4.4 et
exercice 9, 10, 11 du polycopié
A vous de jouer !
J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D
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