corrige

1080 2
540 2
Exercice 1
270 2
1/ Décomposition des nombres 720 et 1080 en produit de facteurs premiers :
135 3
4
2
3
3
On obtient alors : 720 = 2 × 3 × 5 et
1080= 2 × 3 × 5 .
45
3
2/ En utilisant le résultat cette décomposition , on a :
15
3
4
2
4
2
5
5
a/ 720 = 2 × 3 × 5 = 2 × 3 × 5 = 16 × 3 × 5 = 12 5 et
1
3
3
3
3
2
2
1080 = 2 × 3 × 5 = 2 × 3 × 5 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2 × 3 × 2 × 3 × 5 = 6 30
720
360
180
90
45
15
5
1
CORRIGE du DM 1
2
2
2
2
3
3
5
b/ Comme 720 = 2 × 3 × 5 et 1080= 2 × 3 × 5 , le diviseur commun le plus grand possible
est 2 3 × 3 2 × 5 , d’où PGCD(720 ;1080 ) = 2 3 × 3 2 × 5 = 360 .
1080
360 × 3 3
c/ On peut simplifier par le PGCD :
=
= .
720
360 × 2 2
3/ Application :
10,8 m = 1080 cm et 7,20 m= 720 cm . La dimension de la dalle carrée est égale à :
PGCD(720 ;1080 ) = 360 , soit 3,60 m de côté .
720
1080
Le nombre de dalles suivant la largeur est
= 2 et suivant la longueur est
=3 .
360
360
Le nombre de dalles nécessaires est alors 2 × 3 , soit 6 dalles .
Exercice 2
3
2
3 × (− 1) × 1 − 4 × (− 1) × (− 1)
− 3 + 4 −1
1/ S =
=
=
= −0,5 , donc S est un nombre décimal : S ∈ ID.
2
−2
2
2 × (1) × (− 1)
4
2
3
3 × (− 2 ) × (− 1) − 4 × (− 2 ) × (2 )
3
2/ S =
3/ S =
2 × (− 1) × (2 )
3×
( 2) ×
3
2×
( )
2 − 4× 2 ×
( 2) ×
2
( 2)
2
2
(
2 × 10 − 2
)
2
× 10 3
3 × 8 + 8 × 4 56
=
= 14 , donc S est un nombre entier naturel: S ∈ IN.
2× 2
4
2
=
( )
3 × 10 4 × 10 −2 − 4 × 10 4 × 10 3
2
3 2 × 2 − 4× 2 2
2× 2× 2
2
=
= 12 − 8 2 = 3 2 − 4 , donc S est réel : S ∈ IR.
4 2
2
3 × 1012 × 10 −2 − 4 × 10 4 × 10 6 3 × 1010 − 4 × 1010
= -5 × 1010 , S ∈
=
−4
3
−1
2 × 10 × 10
2 × 10
.
2
2 ⎛ −1⎞
⎛2⎞ 3
2 (− 1)
23
2 2
3× ⎜ ⎟ × − 4 × × ⎜ ⎟
3× 3 − 4 × × 2
−
3 ⎝ 2 ⎠ =
⎝3⎠ 4
3
2
3
= 3 3 = 0 , donc S ∈ IN.
2
9
32 1
⎛3⎞ ⎛ 1⎞
−
− 4× 2 ×
2×⎜ ⎟ ×⎜− ⎟
16
2
4
⎝4⎠ ⎝ 2⎠
3
5/ S =
=
2
3
4/ S =
2
3
2
a
a
avec
irréductible .
b
b
2
2
a2
⎛a⎞
1/ En élevant au carré l’égalité précédente , on obtient :
2 = ⎜ ⎟ , soit 2 = 2 , par suite : a ² = 2b² .
b
⎝b⎠
2/ a/ Soit x = 2n un nombre entier pair , alors en élevant au carré : x² = ( 2n )² = 2² × n² = 4n² = 2 × ( 2n² ) =2k
avec k= 2n² un nombre entier naturel . Donc le carré d’un nombre pair est pair .
b/ Soit x = 2n + 1 un nombre entier impair , alors en élevant au carré :(x)² = ( 2n+1 )²= (2n)² +2 × (2n ) × 1+ 1²
(x)² = 4n² +4n+1 = 2( 2n² + 2n) + 1 = 2k +1 avec k= 2n² + 2 n un nombre entier naturel . Comme x² s’écrit
sous forme de 2k+1 , alors x² est impair . Donc le carré d’un nombre impair est un nombre impair .
3/ On sait que a² = 2b² . Le nombre 2b² étant pair , alors a² est un nombre pair . On en déduit que soit le nombre a
est pair soit il est impair . Si a était impair , alors son carré serait impair ( d’après le résultat de la question 2/ ) ,
ce est impossible puisque le nombre a² est pair . Conclusion : le nombre entier a est donc pair .
4/ Comme a est pair , il peut s’écrire a= 2k . On remplace cette égalité dans la relation a² = 2b² , on obtient :
( 2k)² = 2b² ; en simplifiant on obtient b² = 2k² . En raisonnant de la même façon que la question 3/ , on
démontre que le nombre entier b est pair .
a
5/ On en déduit que les deux entiers a et b sont pairs , par suite ils sont multiples de 2 , donc la fraction
est
b
réductible , ce qui contredit l’hypothèse initiale qui est « a/b est irréductible » .Conclusion : Le nombre 2 n’est
pas rationnel , il est irrationnel : 2 ∈ IR .
Exercice 92 page 30 : On suppose que
2 est rationnel , c’est-à-dire :
( )
2=