1 Applications des nombres complexes à la

Lycée Auguste Brizeux
PCSI B
Programme de colle : semaine 9 (du 24 au 28 novembre 2014)
APPLICATION DES NOMBRES COMPLEXES À LA TRIGONOMÉTRIE
et plus si affinités !
Objectifs
• Exploiter les nombres complexes pour la manipulation d'expressions trigonométriques.
• Dénir et utiliser les racines n-ièmes d'un complexe, notamment en vue de la résolution
d'équations polynomiales.
• Acquérir le vocabulaire usuel sur les ensembles et les applications.
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Applications des nombres complexes à la trigonométrie
1. Linéarisation.
2. Dé-linéarisation .
3. Calculs de sommes de cosinus et de sinus.
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Racines
n-ièmes
d'un nombre complexe
1. Notion de racine n-ième d'un nombre complexe (où n ∈ N \ {0, 1}) : il ne s'agit pas tout à fait de la même
notion que celle vue dans le chapitre Fonctions usuelles. En particulier, un nombre complexe non nul admet
plusieurs racines n-ièmes.
2. Calcul explicite sous forme trigonométrique, écriture sous forme de liste sans répétition : un nombre complexe
non nul admet exactement n racines n-ièmes deux à deux distinctes. Somme des racines n-ièmes d'un nombre
complexe non nul.
3. Cas particulier des racines n-ièmes de l'unité. Exemples : racines carrées, cubiques, quatrièmes de l'unité. Notation
2π
j = ei 3 .
... et quelques autres plaisirs mathématiques
,→ Les techniques de manipulations de sommes (et de produits) doivent être globalement maîtrisées,
et les sommes de références doivent être connues : les élèves pourront être interrogés là-dessus.
,→ Le chapitre suivant, intitulé Ensembles et applications, a été l'occasion de quelques rappels :
le vocabulaire usuel concernant les ensembles et les applications a été (re-)mis en place.
En outre, les notions d'injection,
de :::::::::
surjection et de ::::::::
bijection ont été, également, introduites.
:::::::
Pour cette semaine de colles, les diérentes dénitions de ces notions sont à connaître
parfaitement, et les élèves doivent savoir comment initier un raisonnement permettant
d'établir l'injectivité, la surjectivité ou la bijectivité d'une application.
Toutes les dénitions et tous les énoncés des propositions doivent être sus, et feront éventuellement
l'objet d'une question de cours. Les élèves seront également interrogés sur la démonstration de l'un des résultats
suivants (choisi par l'interrogateur) :
• Formule du binôme de Newton.
• Linéarisation (les élèves doivent savoir linéariser une expression trigonométrique sans hésitation).
• Dé-linéarisation : expression de cos(nx) et de sin(nx) en fonction de cos(x) et sin(x) (pour des valeurs de n
à expliciter).
• Calcul de
n
X
cos(a + kb) et de
k=0
n
X
k=0
sin(a + kb), où (a, b) ∈ R2 et n ∈ N.
• {e i n k ∈ Z} = {e i n k ∈ J0, n − 1K}.
• La composée de deux injections (resp. surjections, resp. bijections) est une injection (resp. surjection, resp.
2kπ
bijection).
2kπ