On considère un entier n vérifiant n 2. Définition 1 On appelle racine

ECS1-1
Sur les racines de l’unité
Lycée Pierre de Fermat
2016-2017
On considère un entier n vérifiant n Ê 2.
Exemples
Définition 1
1 Ï Les racines cubiques (i.e. 3e) de
On appelle racine n-ième de l’unité tout nombre complexe z ∈
z n = 1.
C vérifiant
e
l’unité sont :
2iπ
3
•
¡ 2π ¢2
2π
4π
1 , ei 3 et ei 3 = ei 3
c’est-à-dire i.e. en notant j = e
•
2iπ
3
:
•
e
2
Pour n = 2, les racines carrées de l’unité sont 1 et −1.
1
1 , j et j .
4iπ
3
Cherchons maintenant les racines n-ièmes de l’unité avec n Ê 1 quelconque.
e
Soit z = ρeiθ un nombre complexe non nul écrit sous forme trigonométrique (i.e. 2 Ï Les racines 4 de l’unité sont :
¡ 2π ¢3
¡ 2π ¢2
2π
3π
π
ρ ∈ ∗+ et θ ∈ ), alors :
1 , ei 4 = ei 2 , ei 4 = eiπ et ei 4 = ei 2
R
i
R
−1
c’est-à-dire :
z n = 1 ⇐⇒ ρn einθ = ei×0
⇐⇒ ρn = 1 et nθ ≡ 0 [2π]
Z / nθ = 2kπ
2kπ
⇐⇒ ρ = 1 et : ∃k ∈ Z / θ =
n
⇐⇒ ∃k ∈ Z / z = e
2ikπ
n
⇐⇒ ∃k ∈ ‚0, n − 1ƒ / z = e
2ikπ
n
•
•
1 , i , −1 et − i.
⇐⇒ ρ = 1 et : ∃k ∈
−i
3 Ï Les racines 5e de l’unité sont :
1, e
i 2π
5
¡ 2π ¢2
¡ 2π ¢3
4π
6π
, ei 5 = ei 5 , ei 5 = ei 5 ,
.
•
•
e
e
4iπ
5
2iπ
5
•
•
•
¡ 2π ¢4
8π
et ei 5 = ei 5 .
e
6iπ
5
•
•
e
Théorème 2
Les racines n-ièmes de l’unité sont les n nombres complexes :
1, ω, ω2 , . . . , ωn−1
avec ω = e
2iπ
n
.
8iπ
5
Remarques
1 Ï Si z est une racine n-ième de l’unité alors c’est aussi le cas de z.
En fait, si z = ωk alors z = ωn−k .
1
1
2 Ï Le produit de deux racines n-ièmes de l’unité est encore une racine n-ième
de l’unité.
3 Ï Interprétation géométrique :
Comme on l’a constaté sur les
exemples, les points du plan complexe dont les affixes sont les racines
n-ièmes de l’unité sont situés sur
le cercle trigonométrique et sont les
sommets d’un polygone régulier à n
cotés.
Pour n = 6 on obtient donc un hexagone régulier :
e
−1
2iπ
3
•
iπ
e3
•
•
•
•
e
4iπ
3
1
•
e
5iπ
3
On termine avec un résultat à retenir : la somme de toutes les racines n-ièmes de
l’unité est nulle !
Proposition 3
2π
On pose ω = ei n alors :
1 + ω + ω2 + · · · + ωn−1 = 0.
Démonstration
Comme ω 6= 1, on a :
1 + ω + ω2 + · · · + ωn−1 =
d’où le résultat puisque ωn = 1.
Par exemple, on a 1 + j + j2 = 0.
1 − ωn
1−ω