DM 9 (MP*) : Une initiation `a la topologie de R

D.M. 9 (MP*) : Une initiation à la topologie de R
Pour le lundi 24 février
1) Ouverts et fermés, définitions
a) Un sous ensemble A de R est dit ouvert si, et seulement si, ∀ x ∈ A, ∃ ε > 0, ]x−ε, x+ε[ ⊂ A.
Autrement dit A est ouvert si, et seulement si, pour chaque point x de A, il existe un voisinage
de x inclus dans A.
(i) Vérifier que les intervalles ouverts ]a, b[ ou ]a, +∞[ ou ] − ∞, a[ sont ouverts, et que par
exemple I = [a, b] n’est pas ouvert.
(ii) Vérifier qu’une réunion (même infinie) d’intervalles ouverts est encore ouverte.
Remarque – En fait un ouvert de R est toujours une réunion (éventuellement infinie) d’intervalles[
ouverts. En effet pour tout x ∈ A si on note εx > 0 un ε tel que ]x − εx , x + εx [⊂ A, on a
A=
]x − εx , x + εx [.
x∈A
b) Un sous-ensemble F de R est dit fermé si, et seulement si, son complémentaire R \ F est
ouvert.
(i) Vérifier que les intervalles de la forme [a, b] mais aussi [a, +∞[ sont fermés.
(ii) Vérifier que l’ensemble Z est fermé dans R.
2) Caractérisation séquentielle des fermés
a) Démontrer l’équivalence suivante : A ⊂ R est fermé si, et seulement si, si (an ) ∈ AN est une
suite convergente dans R alors sa limite est aussi dans A.
(Bien sûr les intervalles fermés vérifient cette propriété).
b) Retrouver, à l’aide de la prop. du a), le fait que Z est fermé dans R, en considérant ce qu’est
une suite d’entiers qui converge.
c) Soit (un ) une suite convergente, soit l sa limite et A = {un , n ∈ N} ∪ {l}. Démontrer que cet
ensemble est fermé.
3) L’application “distance à une sous-ensemble”
def
Pour A ⊂ R et x ∈ R, on définit la distance de x à A, d(x, A) = inf{|x − a|, a ∈ A}.
a) Montrer que d(x, A) = 0 ⇔ ∃ (an ) ∈ AN , an −→ x.
n→+∞
b) On appelle adhérence de A et note Ā = {x ∈ R, d(x, A) = 0}.
Justifier que A est fermé dans R si, et seulement si, Ā = A.
c) Que dire de l’adhérence de A dans R si A est dense dans R ?
Retenir de cela que les deux propriétés “fermés” et ”denses” sont diamétralement opposées
d) Montrer que si A est un ensemble fermé, pour tout x ∈ R, ∃ax ∈ A, d(x, A) = |x − ax |.
(Autrement dit l’inf. est atteint).
e) Pour deux sous-ensembles A et B de R, on note d(A, B) = inf{|a − b|, (a, b) ∈ A × B}.
Donner un exemple de deux sous-ensembles fermés A et B disjoints tels que pourtant d(A, B) = 0 !
(Ce n’est pas si facile... il est nécessaire que A et B soient non bornés, cf. fin du 4) )
4) Ensembles compacts
a) Par déf. un sous-ensemble K de R est dit compact si, et seulement si, il a la propriété suivante,
dite de Bolzano-Weierstrass :
Pour toute suite (xn ) ∈ K N , cette suite admet une suite extraite convergente dont la limite x
est aussi dans K.
(i) En déduire que si K est compact, alors K est nécessairement fermé (avec la caract. du 2).
(ii) Montrer aussi que K est borné (On pourra raisonner par l’absurde).
Remarque – Le théorème de Bolzano-Weierstrass dit que le récip. du a) est vraie : si on a un
ensemble K qui est fermé et borné alors pour toute suite (xn ) ∈ K N elle est bornée, donc par B.W.
elle admet une suite extraite convergente, et comme K est fermée, la limite est dans K.
Conclusion : les ensembles compacts de R sont simplement les ensembles fermés et bornés dans
R.
MPSI 1, D.M 9 ]
1
Les segments de R sont les intervalles compacts.
1
b) Montrer que si { , n ∈ N∗ } ∪ {0} est compact.
n
c) Montrer que si A est un ensemble fermé et K est un ensemble compact de R avec A et K
disjoints alors d(A, K) > 0 i.e. que le phénomène du 3) f) ne se produit pas.
5) Retours sur les sous-groupes de R : le groupe des périodes d’une fonction
Soit f : R → R une fonction quelconque.
On note Πf = {T ∈ R, ∀ x ∈ R, f (x + T ) = f (x)}.
a) A quelle condition sur l’ensemble Πf la fonction f est-elle périodique ?
b) Justifier que Πf est un sous-groupe de (R, +).
c) On a vu en exercice la forme des sous-groupes de (R, +). Avec le langage de ce problème, ils
sont soit de la forme αZ et en particulier fermés, soit denses.
(i) Montrer que si f = χQ alors Πf est dense.
(ii) Montrer que si f est continue alors Πf est fermé (avec la caract. du 2.) En déduire que
si f est une fonction périodique continue non constante, f admet bien une plus petite période
strictement positive.
d) Soit T1 et T2 dans R+∗ tels que T1 /T2 6∈ Q. Que dire d’une fonction f continue sur R
admettant les nombres T1 et T2 comme périodes ?
e) Soit f et g deux fonctions continues périodiques de périodes respectives T1 et T2 .
On suppose ici T1 /T2 ∈ Q. Montrer que h = f + g est aussi périodique
f) On a les mêmes hyp. qu’au e) sauf qu’on suppose que T1 /T2 6∈ Q.
On veut montrer que h = f + g n’est pas périodique (c’est plus difficile).
Indication – Supposer que h est T périodique et considérer ϕ(x) = f (x+T )−f (x) = g(x)−g(x+T ).
MPSI 1, D.M 9 ]
2