2 - Fun

MOOC « Des rivières et des hommes »
Détails des calculs – séquence 3.1 – Exemple de la vidéo 2
On considère un écoulement uniforme dans un canal rectangulaire de largeur L = 200 m et de
pente de fond S0 = 0.0001. La rugosité est donnée par le coefficient de Manning n = 0.016. Le
débit vaut Q = 1000 m³/s.
L’écoulement étant uniforme, il peut être schématisé comme ci-dessous, avec une profondeur
d’eau constante.
On calcule la profondeur uniforme à partir de la formule de Manning, écrite pour une section
rectangulaire, donc en considérant A = Lh et P = L+2h :
Q=
1 L5 3 h 5 3
S 01 2
23
n (L + 2 h )
Pour trouver h, il faut procéder par itérations, à partir de l’équation suivante, dans laquelle on
a isolé le terme en h5/3 :
h5 3 =
Q n ( L + 2 h) 2 3
S 01 2 L5 3
On va partir d’une valeur estimée de la profondeur hest, et vérifier cette estimation en calculant
la valeur de vérification hvérif :
hvérif =
53
Q n ( L + 2 hest ) 2 3
S 01 2 L5 3
Le tableau ci-dessous donne les itérations, à partir d’une valeur de départ hest = 1.5 m. On voit
qu’on converge rapidement vers la solution h = 3.53 m.
Itération
1
2
3
4
hest
1.5000
3.5030
3.5305
3.5309
hvérif
3.5030
3.5305
3.5309
3.5309
Nous pouvons maintenant passer au calcul de la vitesse de l’écoulement. Le profil de vitesses
logarithmique étant bien établi en écoulement uniforme, nous allons calculer la vitesse
moyenne U d’abord à partir du débit et ensuite vérifier que cette valeur est bien la valeur
moyenne du profil logarithmique de vitesses.
A partir du débit
C’est évidemment le plus simple, on calcule simplement
U=
Q
1000
=
= 1.42 m/s
L h 200 × 3.53
A partir du profil logarithmique
On doit pour cela utiliser la formule suivante, qui correspond à l’intégration sur la verticale du
profil de vitesses :
U=
u*  −1 h 
ln A e χ 
ks 
κ 
Quelles valeurs donner aux paramètres de la formule ?
• Le nombre κ est la constante de Von Kárman et vaut 0.4
• Le coefficient A (qui n’est pas l’aire mouillée ici !) est défini par
•
•
•
•
1
ln A = 8.50 et vaut
κ
donc A = 29.9641
Le nombre e, base du logarithme naturel ou népérien, vaut 2.718281…
χ, paramètre dépendant de la rugosité du lit et donc la valeur varie entre 0.4 et 1.4, est
pris ici égal à 1
Le paramètre ks désigne la « rugosité équivalente au sable », il est donc pris ici égal au
diamètre des grains, soit 1.9 mm ou encore 0.0019 m pour écrire la formule finale
avec les bonnes unités
La profondeur h est la profondeur uniforme qui vient d’être calculée, soit 3.53 m
Il nous faut encore calculer la vitesse de frottement u*
u* = g R S 0 = g
A
200 × 3.53
S 0 = 9.81×
× 0.0001 = 0.058 m/s
P
200 + 2 × 3.53
Finalement, cela donne
U=
0.058 
1
3.53 
ln 29.9641 ×
× 1×
 = 1.42 m/s
0.4 
2.71828
0.0019 
On retrouve bien la vitesse moyenne calculée précédemment, et on peut achever de s’en
convaincre en dessinant le profil de vitesses (en bleu dans la figure ci-dessous) et en
superposant la valeur de la vitesse moyenne (en rouge).
On remarque ainsi que le profil de vitesses dans un écoulement présente une vitesse qui
augmente rapidement à partir du fond, où la vitesse est supposée nulle, et qu’ensuite, sur la
majeure partie de la profondeur de l’écoulement, il présente une allure presqu’uniforme, avec
des valeurs assez peu éloignées de la vitesse moyenne.
Le fait de travailler avec une vitesse moyenne pour le calcul des écoulements est donc une
hypothèse tout à fait valable. En outre, on voit aussi que lorsque l’écoulement est bien établi,
on ne commet pas de grosse erreur en considérant, comme on le fait souvent en pratique, un
coefficient α de Coriolis (coefficient de non-uniformité des vitesses) égal à 1.