Mécanique Analytique

Mécanique Analytique
Badis Ydri ∗
Institute of Physics, BM Annaba University,
BP 12, 23000, Annaba, Algeria.
October 29, 2016
∗
Email:[email protected], [email protected]
Contents
1
2
3
Chute Libre
1.1 Référentiel Non Inertiel: Rotation et Accélération . . . .
1.2 Deuxième Loi de Newton Dans un Référentiel Non Inertiel
1.3 Chute Libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Principes Varitionnels et Équations de Lagrange
2.1 Mécanique de Systéme de Particules Ponctuelles . . . .
2.2 Contraintes Holonomes et Principe des Travaux Virtuels
2.3 Équations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Calcul Variationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Principe de Moindre Action d’Hamilton . . . . . . . . . .
2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
3
5
6
10
11
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13
13
16
19
20
21
25
28
Mécanique Hamiltonienne
39
3.1 Lois de Conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Transformation de Legendre et Équations d’Hamilton . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Équation de Hamilton à Partir de Calcul Variationnel: Le Principe de Hamilton
Modifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Transformations Canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5 Formulation Symplectique, Crochets de Poisson et Théorème de Liouvil . . . . 49
3.6 Équation de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.8 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Chapter 1
Chute Libre
1.1
Référentiel Non Inertiel: Rotation et Accélération
Un référentiel inertiel est un repére où la premiére loi de Newton s’applique: tout systéme
isolé, pas soumis á aucune force extérieure, est soit au repos soit animé d’un mouvement rectiligne uniforme.
Les référentiels inertiels déplacent avec des vitesses constantes les uns par rapport aux autres.
Aussi dans les référentiels inertiels la deuxiéme loi de Newton s’applique:
F~ = m~a.
(1.1)
L’accélération et la rotation produisent des référentiels non inertiels. Nous vollons réécrire la
deuxiéme loi de Newton dans un référentiel non inertiel associé avec rotation.
Soit L un référentiel inertial (x, y, z) avec un origine O et soit M un référentiel non inertial
0
0
0
0
(x , y , z ) avec un origine O en état de rotation autour de L. Nous supposons pour simplifié
0
que O coı̈ncide avec O. L est appellé le systéme de laboratoire et M est appellé le systéme
0
0
0
~ un
en mouvement. Les vecteurs unitaires de systéme M sont notés par ~e1 , ~e2 , et ~e3 . Soit A
vecteur dans le systéme M dépendant du temps que l’on ecrit sous la forme
~ = A01~e01 + A02~e02 + A03~e03 .
A
(1.2)
La derivée de ce vecteur dans M est
0
0
0
~
dA
dA1
dA2
dA3
0
0
0
|M =
|M ~e1 +
|M ~e2 +
|M ~e3 .
dt
dt
dt
dt
(1.3)
0
Dans le systéme L les vecteurs ~ei dépendent du temps parce que ils tournent avec M . La derivée
~ dans L est donc donnée par
de vecteur A
~
~
dA
dA
0 0
0 0
0 0
|L =
|M + A1~ė1 + A2~ė2 + A3~ė3 .
dt
dt
(1.4)
MA, Badis Ydri
4
On a introduit la notation
~ė0i = d ~e01 |L .
dt
(1.5)
~ė01 = a1~e02 + a2~e03 , ~ė02 = −a1~e01 + a4~e03 , ~ė03 = −a2~e01 − a4~e02 .
(1.6)
On peut calculer (voir exercices)
~ par
Si nous définissons le vecteur C
~ = (a4 , −a2 , a1 )
C
(1.7)
~
~
dA
dA
~ A.
~
|L =
|M + Cx
dt
dt
(1.8)
nous obtenons le résultat
~ est exactement le vecteur vitesse angulaire de la rotation de systéme M autour
Le vecteur C
de systéme L (voir exercices). Ainsi
~ =Ω
~ = Ω1~e1 + Ω2~e2 + Ω3~e3 ,
C
(1.9)
où ~e1 , ~e2 , et ~e3 sont les vecteurs unitaires de systéme L et Ω1 , Ω2 , et Ω3 sont les vitesse angulaires
atour des axes x, y, et z. Nous obtenons alors
~
~
dA
dA
~ A.
~
|L =
|M + Ωx
dt
dt
(1.10)
Nous écrivons cette relation sous la forme
~ = D̂M A
~ + Ωx
~ A,
~
D̂L A
(1.11)
~
D̂L = D̂M + Ωx,
(1.12)
où d’une façon générale
où D̂L et D̂M sont le operateus différentiels
D̂L =
d
d
|L , D̂M = |M .
dt
dt
(1.13)
MA, Badis Ydri
1.2
5
Deuxième Loi de Newton Dans un Référentiel Non
Inertiel
Nous appliquons immédiatement la relation obtenue au-dessus au vecteur de position ~r pour
en déduire la vitesse
~ r.
~ṙ = D̂L~r = D̂M ~r + Ωx~
(1.14)
Encore une fois pour en deduire l’accélération
~ D̂M ~r + Ωx~
~ r)
~r̈ = D̂L (D̂L~r) = (D̂M + Ωx)(
~ r + 2Ωx(
~ D̂M ~r) + Ωx(
~ Ωx~
~ r).
= D̂2 ~r + (D̂M Ω)x~
M
(1.15)
En d’autre termes,
~
d2~r
dΩ
d2~r
~ d~r |M + Ωx(
~ Ωx~
~ r).
|
=
|
+
|M x~r + 2Ωx
L
M
2
2
dt
dt
dt
dt
(1.16)
Le deuxiéme terme est l’accélération linéaire, le troisiéme terme est l’accélération de Coriolis,
et le quartriéme terme est l’accélération centripéte. En multipliant par m nous obtenons la
deuxiéme loi de Newton
~
d2~r
d2~r
dΩ
~ d~r |M + mΩx(
~ Ωx~
~ r).
F~ = m 2 |L = m 2 |M + m |M x~r + 2mΩx
dt
dt
dt
dt
(1.17)
Ou
m
~
d2~r
~ − m dΩ |M x~r − 2mΩx
~ d~r |M − mΩx(
~ Ωx~
~ r).
|
=
F
M
2
dt
dt
dt
(1.18)
Les forces supplémentaires sont des forces dynamiques virtuelles due à l’accélération. Les effets
de ces forces peuvent être négligés dans la plupart des cas sur la terre par ce que la vitesse
angulaire de la rotation de la terre autour de son axe est trés faible donnée par
Ω=
2π
2π
=
∼ 10−5 s−1 .
T
24h
(1.19)
Jusqu’ à maintenant nous avons supposé que le point d’origine de référentiel inertiel L coı̈ncide
avec le point d’origine de référentiel non inertiel M . Nous considérons maintenant la situation
0
~ réprésentant une
la plus générale où l’origine O est séparé de l’origine O par un vecteur R
0
translation de systéme L par rapport au systéme M . Alors, le vecteur de position ~r dans M
est relié au vecteur de position ~r dans L par la relation simple
~ + ~r0 .
~r = R
(1.20)
MA, Badis Ydri
6
La deuxiéme loi de Newton s’écrit dans ce cas sous la forme
0
~
d2 R
d2~r
~
F − m 2 |L = m 2 |L .
dt
dt
(1.21)
Le résultat finale est dérivé de la même maniére qu’auparavant et il est donné par la formule
suivante
0
0
~
~
d2~r
d~r
d2 R
dΩ
0
~
~ Ωx~
~ r0 ).
~
m 2 |M = F − m 2 |L − m |M x~r − 2mΩx |M − mΩx(
dt
dt
dt
dt
(1.22)
1.3
Chute Libre
Nous allons considérer le probléme de la chute libre. En premier lieu, on va négliger la
rotation de la terre autour du soleil.
Le référence inertiel L est fixé au centre de la terre. Donc l’origine O de L est identifié avec
le centre de la terre. Le référence non inertiel M est en etat de rotation avec la terre, c’est à
0
dire l’origine O de M est placé sur la surface de la terre.
Nous commençons à partire de l’équation de mouvement obtenue dans le paragraphe précédent,
viz
0
0
~
~
d2 R
dΩ
d~r
d2~r
0
~
~
~ Ωx~
~ r0 ).
m 2 |M = F − m 2 |L − m |M x~r − 2mΩx |M − mΩx(
dt
dt
dt
dt
(1.23)
~
La vitesse angulaire de la rotation de la terre est une constante dans le temps, i.e. dΩ/dt
= 0.
L’équation ce réduit à
0
0
~
d2~r
d2 R
d~r
~
~
~ Ωx~
~ r0 ).
m 2 |M = F − m 2 |L − 2mΩx |M − mΩx(
dt
dt
dt
(1.24)
De la même maniére nous obetnons
~
~
~
~
d2 R
d2 R
dΩ
dR
~
~
~ Ωx
~ R)
~
|
=
|
+
|
x
R
+
2
Ωx
|M + Ωx(
L
M
M
dt2
dt2
dt
dt
~ Ωx
~ R).
~
= Ωx(
(1.25)
~ est fixé dans M . La deuxième loi de Newton
Nou avons utilisé ci-dessus le fait que le vecteur R
devient
MA, Badis Ydri
7
0
m
0
d2~r
~ Ωx~
~ r0 ).
~ − mΩx(
~ Ωx
~ R)
~ − 2mΩx
~ d~r |M − mΩx(
|
=
F
M
dt2
dt
0
(1.26)
0
~ + ~r autour de R
~ au voisinage de la terre, i.e. r << R.
Nous allons développer le vecteur ~r = R
Donc, la force de la pesanteur est donnée par
~r
GmM~r
GmM R~
F~ = −
'
,
r3
R3
(1.27)
La deuxième loi de Newton deviendra
0
0
~
GmM R
d~r
d2~r
~
~
~
~
~ Ωx~
~ r0 ).
− mΩx(ΩxR) − 2mΩx |M − mΩx(
m 2 |M = −
3
dt
R
dt
(1.28)
De l’autre côté, l’accélération de la pesanteur est donnée expérimentalement par
~g = −
~
GM R
~ Ωx
~ R).
~
− Ωx(
R3
(1.29)
Le deuxiéme terme est l’accélération centripéte due à la rotation de la terrre. Alors nous
obtenons
0
0
d2~r
~ d~r |M − Ωx(
~ Ωx~
~ r0 ).
|
=
~
g
−
2
Ωx
M
2
dt
dt
(1.30)
Nous pouvons négliger le dernier terme qui est proportionnel à Ω2 et donc il est trés petit parce
que la vitesse angulaire de la terre est faible. Ainsi
0
0
d2~r
~ d~r |M .
|M = ~g − 2Ωx
2
dt
dt
(1.31)
~ = Ω~e3 . Mais le champs de la pesanteur
La vitesse angulaire de référentiel M autour de L est Ω
0
~g dans M est dirigé vers le centre de la terre, i.e. ~g = −g~e3 . Soit λ l’angle qui fait le vecteur
~ = R~e03 avec ~e3 . Donc
de position R
0
0
0
0
0
0
~e3 = (~e3~e1 )~e1 + (e~3~e2 )~e2 + (~e3~e3 )~e3
0
0
= − sin λ~e1 + cos λ~e3 .
(1.32)
C’est à dire
~ = Ω~e3 = −Ω sin λ~e0 + Ω cos λ~e0 .
Ω
3
1
(1.33)
MA, Badis Ydri
8
La deuxiéme loi de Newton donne alors les équations de mouvement
0
ẍ = 2Ω cos λẏ
0
0
0
0
ÿ = −2Ω(ż sin λ + ẋ cos λ)
0
0
z̈ = −g + 2Ωẏ sin λ.
(1.34)
Nous obtenons alors un systéme de trois équations differentielles couplées de deuxiéme ordre
dont le paramétre de couplage est Ω. Si Ω = 0 nous obtenons les équation de la chute libre dans
un systéme inertiel. Pour résoudre ces équations nous devons spécifier les conditions initiales.
Par exemple le corps va descendre vers le bas à partir d’une hauteur h sans vitesse initiale, viz
x(0) = y(0) = 0 , z(0) = h , ẋ = ẏ = ż = 0.
(1.35)
En intégrant ces équation une seul fois avec ces conditions initiales nous obtenons
0
ẋ = 2Ω cos λy
0
0
0
0
ẏ = −2Ω(z sin λ + x cos λ) + 2Ωh sin λ
0
0
ż = −gt + 2Ωy sin λ.
0
0
(1.36)
0
En substituant ẋ et ż dans ÿ nous arrivons à léquation suivante
0
0
ÿ + 4Ω2 y = ct , c = 2Ωg sin λ.
(1.37)
La solution générale de cette équation est égale à la solution générale de l’équation homogéne
plus la solution particuliére de l’équation non homogéne, c’est à dire
0
y =
t
+ A cos 2Ωt + B sin 2Ωt.
4Ω2
(1.38)
A l’instant initial t = 0 nous devons avoir y = ẏ = 0 donc B = 0 et A = −c/8Ω3 . Alors
0
y =
t
c
g sin λ
sin 2Ωt
−
cos 2Ωt =
(t −
).
2
3
4Ω
8Ω
2Ω
2Ω
(1.39)
0
En remplaçant dans ẋ et puis en intégrant nous obtenons
0
x =
g sin λ cos λ 2 1 − cos 2Ωt
(t −
).
2
2Ω2
(1.40)
0
En remplaçant dans ż et puis en intégrant
g 2 g sin2 λ 2 1 − cos 2Ωt
z =h− t +
(t −
).
2
2
2Ω2
0
(1.41)
MA, Badis Ydri
9
Encore une fois parce que la vitesse angulaire est faible nous pouvons développer les fonctions
sinusoidales et retenir seulement les premiers termes. Nous arrivons finalement à
0
x = 0.
0
y =
gΩt3 sin λ
.
3
g
0
z = h − t2 .
2
(1.42)
(1.43)
(1.44)
Donc la masse ne tombe pas verticalement sur la terre, c’est à dire vers le centre, à cause de la
rotation de la terre. Il y a une petite déflexion de la trajectoire vers l’est. Ceci est due à l’excés
de vitesse à t = 0 à la hauteur z = h dans le référence inertiel dirigé vers l’est par rapport à
une mass sur la surface de la terre.
MA, Badis Ydri
1.4
10
Exercices
Exrecice 1:
Montre que les termes supplémentaires dans l’équation
~
~
dA
dA
0 0
0 0
0 0
|L =
|M + A1~ė1 + A2~ė2 + A3~ė3
dt
dt
peuvent s’écrire sous la forme
~
~
dA
dA
~ A
~
|L =
|M + Cx
dt
dt
~
et déterminer le vecteur C.
Exercice 2:
~ est la vitesse angulaire de rotation Ω.
~
Montrer que C
Exercice 3:
• Vérifier l’équation (1.25).
• Dériver les équations de mouvements (1.34).
• Dériver les solutions (1.40) et (1.41).
MA, Badis Ydri
1.5
11
Solutions
0 0
0 0
Exercice 1:
A partir de la condition de normalisation ~ei~ei = 1 on peut déduire ~ėi~ei = 0.
Donc la dérivée par rapport au temps du vecteur unitaire est perpendiculaire au vecteur. On
peut écrire alors
~ė01 = a1~e02 + a2~e03 , ~ė02 = a3~e01 + a4~e03 , ~ė03 = a5~e01 + a6~e02 .
0 0
0 0
0 0
A partir de la condition d’orthogonalité ~e1~e2 = 1 on peut déduire ~ė1~e2 = −~ė2~e1 . Nous obtenons
directement a3 = −a1 . De la même maniére nous obtenons a6 = −a4 , a5 = −a2 . Donc
seulement trois parmi les six coefficients ai sont linéairement indépendents. En remplaçant
nous arrivons à
~
~
dA
dA
0
0
0
0
0
0
0
0
0
|L =
|M + ~ė1 (−a1 A2 − a2 A3 ) + ~ė2 (a1 A1 − a4 A3 ) + ~ė3 (a2 A1 + a4 A2 ).
dt
dt
Les deuxiéme, troisiéme et quatriéme termes sont exactement le produit vectoriel
0
~e1 ~e02 ~e03 ~ A
~ = C1 C2 C3 Cx
0
A A0 A0 1
2
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
= ~ė1 (C2 A3 − C3 A2 ) − ~ė2 (C1 A3 − C3 A1 ) + ~ė3 (C1 A2 − C2 A1 ),
~ par
Si nous définissons le vecteur C
~ = (a4 , −a2 , a1 ).
C
nous obetnons le résultat
~
~
dA
dA
~ A.
~
|L =
|M + Cx
dt
dt
Exercice 2:
Nous supposons que le référentiel M est en état de rotation autour de l’axe
~ = Ω~e3 . Donc z 0 = z. Nous supposons aussi que le vecteur A
~
z avec une vitesse angulaire Ω
tourne avec M , i.e.
~
dA
|M = 0.
dt
~ de A
~ ne change pas avec le temps. Mais la composante
Il est clair que la composante paralléle à Ω
~ et l’axe
perpendiculaire qui est égale en module à A sin φ, où φ est l’angle entre le vecteur A
~ tourne d’une angle Ωdt. Alors le
des z, change de direction. Pendant un temps dt le vecteur A
~ est donnè par
module de la variation de A
dA = A sin φ.Ωdt.
MA, Badis Ydri
12
La direction de ce vecteur est idnetique à la direction de vecteur
~ Adt.
~
Ωx
Donc
~ = Ωx
~ Adt.
~
dA
En d’autre terme,
~ = Ωx
~ A
~⇒C
~ = Ω.
~
dA
Chapter 2
Principes Varitionnels et Équations de
Lagrange
2.1
Mécanique de Systéme de Particules Ponctuelles
Nous considérons un systéme de plusieurs particules ponctuelles de vecteurs de position ~ri
et de masses mi . La deuxiéme loi de Newton pour la particule i s’ecrit
(e)
F~i = F~i +
X
j
d~pi
.
F~ji =
dt
(2.1)
Comme d’habitude la quantité de mouvement p~i est défini en fonction de la vitesse ~vi par la
formule
d~ri
p~i = mi~vi = mi .
(2.2)
dt
(e)
La force extérieure qui s’exerce sur la particule i est F~i alors que la force intérieure qui s’excerce
sur la particule i due á la particule j est F~ji . Nous avons, par conséquence de la troisiéme loi
de Newton, F~ii = 0 et F~ij = −F~ji . La deuxiéme loi de Newton peut se réécrite alors comme
(e)
F~i = F~i +
X
j
2
d ~ri
F~ji = mi 2 .
dt
(2.3)
Par sommation sur toutes les particules
0=
X
i
F~i =
X
(e)
F~i =
i
La masse totale M est définie par M =
~ est défini par
systéme R
X
i
P
i
mi
~
d2~ri
d2 R
=
M
.
dt2
dt2
(2.4)
mi et le vecteur de position du centre de masse de
X
~ = 1
R
mi~ri .
M i
(2.5)
MA, Badis Ydri
14
Donc les forces intérieures, parce qu’elles obissent la troisiéme loi de Newton, n’ont aucun effet
sur le mouvement du systéme. La force extérieure totale est donnée en fonction de la quantité
de mouvment totale par l’équation
~
d2 R
dP~
=M 2.
F~ (e) = M
dt
dt
(2.6)
Nous pouvons en conclure immédiatement la loi de conservation de la quantité de mouvment:
si la force extérieure totale est nulle la quantité de mouvment totale doit être conservée dans
le temps.
(e)
Nous calculons maintenant le travail effectué par les forces F~i et F~ji pour déplacer le
systéme de l’état initial 1 á l’état final 2. Nous avons
XZ 2
XZ 2
X Z 2 (e)
~
~
F~ji d~si .
(2.7)
W12 =
Fi d~si =
Fi d~si +
1
i
1
i
1
i,j
Tout d’abord, nous avons
W12 =
2
XZ
i
F~i d~si =
XZ
1
mi
1
i
=
2
XZ
1
i
2
d~vi
~vi dt
dt
1
d( mi vi2 )
2
= T2 − T1 .
(2.8)
mi vi2 .
(2.9)
L’énergie cinétique totale est definie par
T =
X1
2
i
(e)
Nous supposons maintenant que les forces extérieures F~i
d’un potentiel Vi , c’est á dire
sont des forces conservatrices derivées
(e)
~ i Vi .
F~i = −∇
(2.10)
Donc nous calculons
XZ
i
1
2
(e)
F~i d~si = −
XZ
i
2
~ i Vi d~si = −
∇
1
X
Vi |21 .
(2.11)
i
Nous allons aussi supposer que les forces intérieures F~ji sont des forces conservatrices derivées
d’un potentiel Vij , c’est á dire
~ i Vij .
F~ji = −∇
(2.12)
Puisque F~ij = −F~ji , nous devons prendre Vij comme une fonction de la distance |~
ri − ~rj |
~
seulment, soit Vij = Vji . Nous pouvons également vérifier que la force Fij se situe le long de la
MA, Badis Ydri
15
ligne reliant les particules i et j. Nous définissons le vecteur de la différence par ~rij = ~ri − ~rj .
Nous avons alors
~ i Vij = −∇
~ j Vij = ∇
~ ij Vij .
∇
Nous pouvons maintenant calculer
Z
XZ 2
1X 2 ~
~
~ j Vij d~sj )
Fji d~si = −
(∇i Vij d~si + ∇
2
1
1
i,j
i,j
Z
1X 2~
= −
∇ij Vij (d~si − d~sj )
2 i,j 1
Z
1X 2~
∇ij Vij d~rij
= −
2 i,j 1
1X
= −
Vij |21 .
2 i6=j
(2.13)
(2.14)
Par conséquent, le travail effectué est donné par
W12 = −V2 + V1 .
(2.15)
L’energie potentielle totale V est donnée par
V =
X
Vi +
i
1X
Vij .
2 i6=j
(2.16)
D’aprés les résultats W12 = T2 − T1 et W12 = −V2 + V1 , nous concluons que l’énergie totale
T + V est conservée.
Comme d’habitude, nous définissons le moment cintéique total du systéme par l’équation
suivante
X
~ =
L
~ri x~pi .
(2.17)
i
La dérivée par rapport au temps est donnée par
X
~
dL
d~pi
=
~ri x
dt
dt
i
X
X
(e)
=
~ri xF~i +
~ri xF~ji
i
=
X
i
i6=j
1X
(e)
~ri xF~i +
~rij xF~ji .
2 i6=j
(2.18)
MA, Badis Ydri
16
Si nous supposons que les forces intérieures entre n’importe quelles deux particules, en plus
d’être égales et dans des directions opposées, se trouvent le long de la ligne reliant les deux
particules, nous obtenons directement ~rij xF~ji = 01 . Dans ce cas, la dérivée par rapport au
temps du moment cinétique total donne le moment de la force extérieure totale, c’est á dire
~
dL
(e)
= Ni .
dt
(2.19)
Nous concluons directement la loi de la conservation du moment cinétique: si le moment de la
force extérieure totale est nulle le moment cinétique totale doit être conservée dans le temps.
2.2
Contraintes Holonomes et Principe des Travaux Virtuels
Dans la section précédente nous avons obtenu, á partir de la deuxiéme loi de Newton, les
équations de mouvement
(e)
F~i +
X
j
2
d ~ri
F~ji = mi 2 .
dt
(2.20)
Le but maintenant est d’essayer de résoudre en ~ri ces équations de mouvement. Cette tache
est trés difficile en pratique surtout quand le mouvement du systéme de particules est soumis
á des contraintes arbitrairement complexes. Les contraintes sur le mouvement sont des forces
qui limitent le mouvement du systéme d’une façons bien definie mais leurs formes explicites
sont inconnus. Ces forces sont données simplement par des relations reliant les variables du
probléme et le temps. Nous allons considére ici seulment les contraints holonomes qui peuvent
être exprimées par des equations de la forme
f (~r1 , ~r2 , ~r3 , ..., t) = 0.
(2.21)
Alors les vecteurs de position ~ri ne sont pas tous linéairement indépendants et de plus cette
dépendance linéaire peut changer avec le temps. Comme un premier exemple nous prenons le
cas du corps solide. Le mouvement des particules dans ce cas est limité de telle sorte que les
distances entre les particules sont maintenus fixes, c’est à dire ne varient pas dans le temps.
En outre, les contraintes dans cet exemple sont holonomes car elles peuvent être exprimées par
des équations de la forme (oú cij sont des constantes)
(~ri − ~rj )2 − c2ij = 0.
1
(2.22)
Cette condition est connue sous le nom de la lois forte de l’action et réaction. Les forces qui obéissent á
cette condition sont des forces centrales.
MA, Badis Ydri
17
Comme un autre exemple sur les contraintes holonomes nous pouvons considérer le mouvement
d’une particule le long d’une linge ou sur une surface oú les équations des contraintes sont
données par l’équation de la ligne ou la surface.
Les contraintes qui ne peuvent pas être exprimées par des équations de la forme (2.21)
sont dites non holonomes . Comme un exemple nous considérons le mouvement des molécules
d’un gaz dans un récipient: les parois du récipient constituent des contraintes non holonomes.
Comme un deuxiéme exemple nous prenons le mouvement d’une particule sur la surface d’une
sphere sous l’influence du champs gravitationnel qui est décrit par les équations non holonomes
suivantes
~r2 − a2 ≥ 0.
(2.23)
Comme nous l’avons déjà dit, la présence des contraintes signifie que pas tous les vecteurs de position ~ri sont linéairement indépendants, c’est à dire pas tous les équations différentielles (2.20)
sont indépendantes. Évidemment, cela va poser des problémes dans la résolution du systéme
linéaire des équations (2.20). Cette difficulté sera résolue par l’introduction de coordonnées
généralisées qui caractérisent complétement l’état du systéme.
Nous supposons que le systéme contient N particules et que nous avons k contraintes
holonomes. Alors, il doit exister 3N − k degrés de liberté indépendants qi qui sont appelés
coordonnées généralisées. Nous pouvons donc exprimer les vecteurs ~ri en fonction des coordonnées généralisées qi et le temps comme suit
~r1 = ~r1 (q1 , q2 , ...., q3N −k , t)
.
.
.
~rN = ~rN (q1 , q2 , ...., q3N −k , t).
(2.24)
Nous allons considére maintenant des déplacements virtuels infinitésimals δ~ri qui sont des
déplacements compatibles avec les contraintes imposées au systéme à l’instant t. Un déplacement
virtuel δ~ri doit être comparé avec un déplacement réel d~ri qui se produit pendant un temps
d’intervalle dt et au cours de lequel les forces et les contraintes imposées au systéme peuvent
varier. Pour être plus précis un déplacement réel est donné en général par l’équation
3N
−k
X
∂~ri
∂~ri
d~ri =
dt +
dqj .
∂t
∂qj
j=1
(2.25)
De l’autre côté, pour un déplacement virtuel nous avons
δ~ri =
3N
−k
X
j=1
∂~ri
δqj .
∂qj
(2.26)
MA, Badis Ydri
18
Nous remarquons que le premier terme, venant de la dépendance temporelle explicite des
vecteurs de position, est annulé dans δ~ri puisque un déplacement virtuel se produit à un instant
de temps fixe. Voir figure 1.
Nous pouvons ecrire les équations du mouvement (2.20) sous la forme F~i − d~pi /dt = 0 où
p~i = mi d~ri /dt. Danc la particule i est en état d’équilibre mécanique sous l’influence de la force
totale F~i eff = F~i − d~pi /dt. Il est évident que le travail virtuel de cette force dans le déplacement
virtuel δ~ri est nul. Par sommation sur toute les particules nous obetnons
X
(F~i −
i
d~pi
)δ~ri = 0.
dt
(2.27)
(e)
(a)
Nous décomposons la force F~i en deux forces: la force appliquée F~i ≡ F~i et la force de la
(a)
contrainte f~i , à savoir F~i = F~i + f~i . Ainsi, nous avons
X
(a)
(F~i
−
i
X
d~pi
f~i δ~ri = 0.
)δ~ri +
dt
i
(2.28)
Nous nous limitons maintenant aux systémes pour lesquels le travail virtuel net des forces de
contraintes est zéro. En effet, les déplacements virtuels qui sont compatibles avec les contraintes
imposées sur le systéme sont précisément les déplacements qui sont prependiculair aux forces
des contraintes de telle sorte que le travail virtuel net des forces des contraintes est égal à zéro.
Comme un exemple nous prenons le cas du corps solide. Dans ce cas la distance rij entre les
particules i et j rest constante dans le temps et par conséquence le différentiel d~rij ne peut que
être perpendiculaire à la force intérieure F~ij , c’est à dire le travail des forces intérieures est nul.
De l’autre côtè, le différentiel virtuel δ~rij est par définition tangentiel á la varité representant
les contraintes, donnée ici par la sphere (2.22), et par conséquence δ~rij est aussi perpendiculaire
à ~rij , et donc le travail virtuel des forces intérieures est aussi nul. Danc dans le cas du corps
solide le travail virtuel des forces des contraintes, qui sont identifiées avec les forces intérieures,
est null.
Nous obtenons alors, pour les systémes physiques dans le travail virtuel des forces des
contraintes est nul, le principe des travaux virtuels de d’Almebart donné par
X
i
(a)
(F~i
−
d~pi
)δ~ri = 0.
dt
(2.29)
Nous remarquons que les forces de contraintes ne semblent pas explicitement dans cette équations
et leurs seul effet est de rendre les déplacements virtuels pas tous linéairement indépendants.
MA, Badis Ydri
2.3
19
Équations de Lagrange
Nous calculons maintenant le travail virtuel en fonctions des coordonnées généralisées. Nous
avons
X
(a)
F~i δ~ri =
X
=
X
i
i,j
ri
(a) ∂~
F~i
δqj
∂qj
Qj δqj .
(2.30)
j
Les Qj sont les composantes de la force generalisée définie par
Qj =
X
i
ri
(a) ∂~
.
F~i
∂qj
(2.31)
Puisque les coordonnées généralisées ne portent pas nécessairement la dimension de longueur
on déduit que la force generalisée ne porte pas nécessairement la dimension de force.
Nous calculons aussi
X d~pi
dt
i
d2~ri ∂~ri
δqj
2 ∂q
dt
j
i,j
X d d~ri ∂~ri d~ri d ∂~ri =
mi
−
δqj
dt dt ∂qj
dt dt ∂qj
i,j
X d ∂~ri ∂~vi
=
mi
~vi
− ~vi
δqj .
dt
∂q
∂q
j
j
i,j
δ~ri =
X
mi
Nous utilisons le résultat ∂~vi /∂ q̇j = ∂~ri /∂qj pour obtenir
X d ∂~vi X d~pi
∂~vi
δ~ri =
mi
~vi
− ~vi
δqj
dt
dt
∂
q̇
∂q
j
j
i
i,j
X d ∂T ∂T =
−
δqj .
dt ∂ q̇j
∂qj
j
L’energie cinétique totale est donnée par T =
X
i
(a)
(F~i
−
d~pi
)δ~ri
dt
(2.32)
(2.33)
1
2
i 2 mi vi .
P
Le principe de D’Alembart devient
X
d ∂T
∂T
= −
Qj −
+
δqj = 0.
(2.34)
dt
∂
q̇
∂q
j
j
j
Parce que les coordonnées généralisées sont linéairement independentes nous concluons directement les équations du mouvement
d ∂T
∂T
−Qj +
−
= 0.
(2.35)
dt ∂ q̇j
∂qj
MA, Badis Ydri
20
Dans l’équation ci-dessus on a j = 1, ..., n où n = 3N − k est le nombre des coordonnées
généralisées independentes, c’est à dire le nombre des degrés de liberté. Pour les forces derivées
(a)
~ i V et par conséquence
d’un potentiel on a F~i = −∇
Qj = −
∂V
.
∂qj
(2.36)
Nous obtenons alors les équations du mouvement
d ∂L
∂L
−
= 0.
dt ∂ q̇j
∂qj
(2.37)
Ces équations sont les équations du mouvement de Lagrange où L est le lagrangien defini par
L = T − V.
2.4
(2.38)
Calcul Variationnel
Nous considérons maintenant une fonction f d’une variable y qui est elle-même une fonction
de la variable x, c’est à dire f = f (y) et y = y(x). La fonction f peut dépendre aussi de la
derivée ẏ = dy/dx et de x qui joue le rôle du temps tandis que y joue le rôle de la position.
Nous donnons l’intégrale
Z x2
I=
f (y, ẏ, x)dx.
(2.39)
x1
Cette intégrale est un exemple des fonctionelles qui sont des fonctions où la variable n’est pas
un nombre mais un chemin y = y(x) reliant deux points (x1 , y1 = y(x1 )) et (x2 , y2 = y(x2 )).
Le calcul des variations des fonctionelles est appelé un calcul variationel. La question qui nous
intéresse le plus est la suivante: quel est le chemin ys = ys (x) pour lequel l’intégrale I prend
une valeur stationaire oú extremum, c’est à dire une valeur maximale, minimale ou un point
d’inflexion.
Nous considérons alors des chemins infiniment proche du chemin stationaire ys = ys (x) qui
peuvent être paramétrés (caractérisés) par un paramétre α comme suivant
y(x) ≡ y(x; α) = y(x; 0) + αη(x) , ys (x) ≡ y(x; 0).
(2.40)
Puisque les chemins commencent au point (x1 , y1 = y(x1 )) et ils se croisent au point (x2 , y2 =
y(x2 )) nous avons
η(x1 ) = η(x2 ) = 0.
(2.41)
L’intégrale I devient alors pour ces chemins une fonction ordinaire de la variable α. Ainsi
Z x2
I(α) =
f (y(x; α), ẏ(x; α), x)dx.
(2.42)
x1
MA, Badis Ydri
21
La valeur stationaire de la fonction I est donc donnée par la condition
dI(α)
|α=0 = 0.
dα
Nous allons maintenant calculer la derivée comme d’habitude. Nous avons
Z x2
d
d
I(α) =
f (y(x; α), ẏ(x; α), x)dx
dα
x1 dα
Z x2 ∂f dy ∂f dẏ
+
dx
=
∂y dα ∂ ẏ dα
x1
Z x2 ∂f dy ∂f d2 y
=
+
dx
∂y dα ∂ ẏ dαdt
x1
Z x2 d ∂f dy
d ∂f dy
∂f dy
+
=
−
dx.
∂y dα dx ∂ ẏ dα
dx ∂ ẏ dα
x1
(2.43)
(2.44)
Évidemment, nous avons utilisé l’intégration par parties pour arriver à la derniére ligne. Aussi
le deuxiéme terme s’annule par la condition (2.41). Nous obtenons alors
Z x2 d
∂f
d ∂f
dy
I(α) =
−
dx.
(2.45)
dα
∂y dx ∂ ẏ
dα
x1
La valeur stationaire de la fonction f est donc donnée par
Z x2 ∂f
d ∂f
−
η(x)dx = 0.
∂y dx ∂ ẏ
x1
Nous utilisons maintenant le résultat suivant:
Z x2
M (x)η(x)dx = 0 , ∀η ⇒ M (x) = 0.
(2.46)
(2.47)
x1
La valeur stationaire de la fonction I est donnée par l’équation du mouvement
∂f
d ∂f
−
= 0.
∂y dx ∂ ẏ
2.5
(2.48)
Principe de Moindre Action d’Hamilton
Nous avons jusqu’ici dérivé les équations du mouvement de Lagrange à partir d’un principe
différentiel, qui est le principe de d’Alembart, qui considére le déplacement virtuel du systéme
autour de son état instantané. Nous allons maintenant rédérivé les équations de Lagrange á
partire d’un principe intégrale qui est le principe de moindre action de Hamilton. Dans cette
méthodes intégrale on va considérer la variation virtuel de chemin emprunté par le systéme
autour de chemin réel entre deux instants t1 et t2 .
MA, Badis Ydri
22
L’état instantané du systéme à l’instant t est décrit par n coordonnées généralisées q1 ,
q2 ,...,qn et il est aussi appelé la configuration du systéme à l’instant t. Cette configuration est
alors un point dans l’espace de configuration qui est de dimension n oú les axes sont donnés
précisément par les coordonnées généralisées qi . Évidement l’état du systéme va évoluer avec
le temps et par conséquence l’état va tracer dans l’espace de configuration une courbe appelée
le chemin de mouvement du systéme.
Le principe de moindre action de Hamilton est moins général que le principe de D’Alembart.
Il s’applique uniquement aux systémes oú les forces, y compris les forces de contraintes, sont
derivées d’un potentiel généralisé U . Le potentiel généralisé est un potentiel qui dépend des
coordonnées généralisées qi et aussi des vitesses généralisées q̇i soit U = U (qi , q̇i , t). Les forces
généralisées dans ce cas sont obtenues par les équations
∂U
d ∂U
Qj = −
+
.
∂qj dt ∂ q̇j
(2.49)
Ces systémes sont appelés monogéniques où les équations du mouvement sont toujours données
par les équations de Lagrange avec un lagrangien defini par L = T − U . Ces systémes devinnent
conservatrices lorsque le potentiel depend uniquement des coordonnées généralisées.
Nous définissons l’action entre deux instants t1 et t2 par l’intégrale
Z t2
I[q] =
Ldt.
(2.50)
t1
Le lagrangien L est une fonction des coordonnées et vitesses généralisées qi et q̇i et aussi de
temps t, c’est à dire L = L(q1 , q2 , ..., qn , q̇1 , q̇2 , ..., q̇n , t). De l’autre côté l’action est un fonctionel
qui est invariant sous l’effet des transformations ponctuelles des coordonnées généralisées.
Le principe de moindre action de Hamilton peut s’énoncer comme suit: L’intégrale I atteint
sa valeur stationaire, c’est á dire atteint sa valeur maximale, minimale ou point d’inflexion,
pour le chemin réel du mouvement.
D’un point de vue technique ce principe peut être exprimé de la façon suivante: Toutes les
variations du premier ordre dans le chemin du systéme autour de chemin réel du mouvement
vont engendrer des variations du second ordre de l’action I et par conséquence tous les chemins
infiniment proche de chemin réel auront la même valeur de l’action. Ce probléme est alors un
probléme variationel pour le fonctionel de l’action I qui dépend d’une seul fonction qui est le
lagrangien L. Nous écrivons le principe de Hamilton comme suivant
Z t2
δ
δ
I[q] =
L(q1 , q2 , ..., qn , q̇1 , q̇2 , ..., q̇n , t)dt.
(2.51)
δqi
δqi t1
Nous pouvons montrer pour les systémes soumis aux contraintes holonomes que le principe de
moindre action de Hamilton est une condition nécessaire et suffisante pour les équations de
Lagrange. Dans ce qui suit nous allons montrer explicitement pour les systémes monogéniques
que le principe de Hamilton est une condition suffisante pour les équations de Lagrange. Ainsi
MA, Badis Ydri
23
nous pouvons prendre le principe de Hamilton comme le postulat fondamental de la mécanique
en place des lois de Newton dans ce cas, c’est á dire pour les systémes monogéniques.
Nous considérons les chemins qi (t) dans l’espace de configuration entre les deux états instantanés (q1 (t1 ), ..., qn (t1 )) et (q1 (t2 ), ..., qn (t2 )) qui ont la même valeur de l’action que le chemin
(s)
réel qi (t) puisque ils sont infiniment proche. Ces chemins peuvent être caractérisé par un
paramétre α comme suit: qi (t) ≡ qi (t, α) = qi (t, 0) + αηi (t) oú α = 0 est associée au chemin réel
(s)
qi (t, 0) = qi (t), et ηi sont des fonctions arbitraires qui s’annulent aux points limites t1 et t2 .
Nous supposons que les fonctions ηi sont continues et aussi leurs derivées premiére et seconde
sont continues. Pour ces chemins l’action devient une fonction ordinaire de la variable α. Il
peut s’écrire
Z
t2
I(α) =
L(qi (t, α), q̇i (t, α), t)dt.
(2.52)
t1
Nous définissons le déplacement virtuel δqi par
∂qi
δqi =
|α=0 dα = ηi dα.
∂α
(2.53)
De l’autre côté, nous définissons la variation infinitésimale de l’action par
δI =
dI
|α=0 dα.
dα
(2.54)
Nous calculons
Z
t2
∂L ∂qi
∂qi ∂α
t
Z 1t2 ∂L ∂qi
=
∂qi ∂α
t
Z 1t2 ∂L ∂qi
=
∂qi ∂α
t1
Z t2 ∂L ∂qi
=
∂qi ∂α
t1
dI
=
dα
+
+
+
−
∂L ∂ q̇i
dt
∂ q̇i ∂α
∂L ∂ ∂qi
dt
∂ q̇i ∂t ∂α
∂L d ∂qi
dt
∂ q̇i dt ∂α
t
d ∂L ∂qi
∂L ∂qi 2
dt +
.
dt ∂ q̇i ∂α
∂ q̇i ∂α t1
(2.55)
Le dernier terme s’annule pusique tous les chemins passent par les points (t1 , yi (t1 , 0) et (t2 , yi (t2 , 0)).
Donc nous obtenons
Z
t2
δI =
t1
∂L
d ∂L
−
δqi dt.
∂qi dt ∂ q̇i
(2.56)
Le principe de Hamilton est donné par
δI
=
dα
dI
|α=0 = 0.
dα
(2.57)
MA, Badis Ydri
Nous obtenons alors les équations du mouvement
Z t2 ∂L
d ∂L
−
ηi dt = 0.
∂qi dt ∂ q̇i
t1
24
(2.58)
Cette relation est valable pour toutes les fonctions ηi . Donc en utilsant le résultat fondamental
(2.47) nous obtenons finalement les équations du mouvement de Lagrange
d ∂L
∂L
−
= 0.
(2.59)
∂qi dt ∂ q̇i
Nous écrivons le principe de moindre action de Hamilton sous la forme finale
δI
∂L
d ∂L
=
−
= 0.
δqi
∂qi dt ∂ q̇i
(2.60)
MA, Badis Ydri
2.6
25
Exercices
Exercice 1:
• Montrer que ∂~vi /∂ q̇j = ∂~ri /∂qj .
• Cacluler l’énergie cinétique en fonction des coordonnées et vitesses generalisées.
Exercice 2: Le pendule double est un systéme constitué d’un pendule rigide de longueur l1
et de masse m1 auquel est fixé un second pendule rigide de longueur l2 et de masse m2 . Voir
figure 2. Quelles sont les contraintes holonomes imposées sur le systéme et quel est le nombre
de degrés de liberté. Calculer le lagrangien du systéme et dériver les équations du mouvement
de Lagrange.
Exercice 3:
On donne le lagrangien
1
1
0
L = m(aẋ2 + 2bẋẏ + cẏ 2 ) − K(ax2 + 2bxy + cy 2 ).
2
2
(2.61)
Calculer les équations du mouvement. Quel est le systéme physique décrit par ces équations.
Déduire le lagrangien L = T − V associé à ce systéme.
Exercice 4:
On donne le lagrangien
L=
1 2 4
m ẋ + mẋ2 V (x) − V 2 (x).
12
(2.62)
Calculer les équations du mouvement de Lagrange. Qu’elle est l’interprétation physique des ces
équations.
Exercice 5:
Montrer que les équations de Lagrange sont invariantes sous l’influence des
transformations ponctuelles
qi −→ si : qi = qi (sj , t).
Exercice 6:
donnée par
(2.63)
Montrer que pour les forces dérivees d’un potentiel la force generalisée est
Qj = −
∂V
.
∂qj
(2.64)
Exercice 7:
Écrire le lagrangien d’une particule libre se déplaçant à la vitesse constante
~v par rapport au référentiel d’inertie K. Montrer que le lagrangien de la particule libre par
0
rapport au référentiel d’inertie K , qui se déplace avec une vitesse V~ par rapport au référentiel
K, conduit aux mêmes équations du mouvement.
MA, Badis Ydri
Exercice 8:
26
La longueur d’un arc infinitésimal dans le plan est donnée par
p
ds = dx2 + dy 2 .
(2.65)
Montrer que le chemin le plus court entre deux points (x1 , y1 ) et (x1 , y1 ) dans le plan est la
ligne droite reliant ces deux points.
Répéter la même question pour la surface de la sphére. La longueur d’un arc infinitésimal
sur la surface de la sphére est donnée par
ds =
q
dθ2 + sin2 θdφ2 .
(2.66)
Exercice 9: Écrire le lagrangien d’un oscillateur harmonique et ces équations du mouvement.
Nous supposons maintenant que nous ne savons pas résoudre les équations du mouvement et
que nous savons seulement que le mouvement est périodique avec une période T = 2π/Ω où Ω
est la fréquence angulaire. La position de l’oscillateur harmonique est une fonction du temps
x(t) qui s’ecrit sous la forme d’une série de Fourier donnée par
x(t) =
X
aj cos jΩt.
(2.67)
j=0
Nous prenons les chemins dans l’espace des configurations entre les deux instants du temps
t1 = 0 et t2 = T donnés par les fonctions ci-dessus. Calculer l’action de l’oscillateur en fonction
des paramétres aj . Montrer que la valeur stationaire de l’action est donnée par
r
Ω=
k
, aj = 0 , ∀j 6= 1.
m
(2.68)
Exercice 10:
Le pendule sphérique est un pendule qui n’oscille pas dans un plan mais sur
une sphére. Quelles sont les équations des contraintes et les coordonnées généralisées dans ce
cas. Calculer le lagrangien du systéme et les équations du mouvement.
Exercice 11: Un disque glisse sur un plan incliné. Déterminer les coordonnées généralisées
nécessaires pour décrire complétement l’état du systéme. Déterminer les contraintes sur le
mouvement si le disque roule sans glissement sur le plan incliné.
Exercice 12:
Quelles sonts les contraintes imposées sur le mouvement dans les cas suivants:
• Une particule se déplaçant sur une ellipse.
• Une particule se déplaçant sur une sphére.
MA, Badis Ydri
27
• Un corps solide constitué de trois partiules.
• Une particule se glissant sur un plan incliné avec une angle α.
• Une particule se déplaçant sur une droite qui est en état de rotation avec une vitesse
angulaire constante Ω.
Exercice 13: Un disque vertical (roue) se roule sans glissement sur un plan horizontal. Nous
supposons que la roue ne tombe pas. Calculer les équations des contraintes. Est-ce-que ces
contraintes sont holonomes.
Exercice 14:
Nous considérons un systéme constitué de deux masses M1 et M2 accrochées
à deux poulies concentriques de diamétre R1 et R2 respectivement. Montrer que le travail
virtuel des forces des contraintes est null à l’équilibre. Utiliser le principe de d’Alembart pour
déterminer l’état d’équilibre du systéme.
Exercice 15: Deux masses m1 et m2 sont reliées par une corde de longueur l et se déplaçant
sans frottement sur des plans inclinés avec des angles α et β respectivement. La corde se déplace
sans frottement sur une poulie qui est séparée par des distances l1 etl2 des masses m1 et m2
respectivement. Voir figure 6. Utiliser le principe de d’Alembart pour calculer l’accélération du
systéme. Déterminer les distances l1 et l2 en fonction du temps.
Exercice 16: Le pendule à ressort est une masse m suspendue au bout d’un ressort d’une constante de rappel k oscillant sous l’effet de la pesanteur. Quelles sont les coordonnées généralisées
dans ce probléme. Calculer le lagrangien et dériver les équations du mouvement.
Exercice 17:
Deux corps sont reliées par une corde de longueur l sur un plan incliné avec
une angle α. Quelles sont les coordonnées généralisées dans ce cas. Calculer le lagrangien et
dériver les équations du mouvement. Résoudre explicitement les équations du mouvement.
Exercice 18:
Un corpuscule sphérique se déplaçant dans un tube en état de rotation dans
le plan xy autour de l’axe z avec une vitesse angulaire constante Ω. Dériver les équations du
mouvement de Lagrange. Résoudre ces équations du mouvement.
MA, Badis Ydri
2.7
28
Solutions
Exercice 1:
• La vitesse en fonction des coordonnées et vitesses généralisées est donnée par
~vi =
∂~ri X ∂~ri
d~ri
=
+
q̇j .
dt
∂t
∂qj
j
(2.69)
La derivée partielle par rapport á q̇j donne la réponse souhaitée.
•
T = M0 +
X
Mj q̇j +
j
M0 =
X1
i
Exercice 2:
2
mi
1X
Mjk q̇j q̇k .
2 j,k
X ∂~ri ∂~ri
X ∂~ri ∂~ri
∂~ri 2
, Mj =
mi
.
, Mjk =
mi
.
.
∂t
∂t ∂qj
∂qj ∂qk
i
i
(2.70)
(2.71)
Les coordonnées de la premiére masse sont
x1 = l1 sin θ1 , y1 = −l1 cos θ1 .
(2.72)
Les coordonnées de la deuxiéme masse sont
x2 = x1 + l2 sin θ2 , y2 = y1 − l2 cos θ2 .
(2.73)
x21 + y12 = l12 .
(2.74)
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 = l22 .
(2.75)
Nous remarquons
Ceux-ci sont les équations des contraintes holonomes dans ce cas.Le nombre de degrés de liberté
est donc 4 − 2 = 2. Les coordonnées généralisées dans ce cas sont les deux angles θ1 et θ2 .
Pour calculer le lagrangien nous devons calculer les énergies cinétique et potentielle. La
vitesse de la premiére masse
v12 = ẋ21 + ẏ12 = l12 θ̇12 .
(2.76)
v22 = ẋ22 + ẏ22 = l12 θ̇12 + l22 θ̇22 + 2l1 l2 θ̇1 θ̇2 cos(θ1 − θ2 ).
(2.77)
La vitesse de la seconde masse
L’énergie cinétique est
MA, Badis Ydri
29
1
1
m1 v12 + m2 v22
2
2
1
1
=
(m1 + m2 )l12 θ̇12 + m2 l22 θ̇22 + m2 l1 l2 θ̇1 θ̇2 cos(θ1 − θ2 ).
2
2
T =
(2.78)
Nous calculons maintenant l’énergie potentielle. Les forces de pesanteur qui s’exercent sur les
deux corps sont F~1 = m1~g et F~2 = m2~g . Dans ce cas l’énergie potentielle est égale à moins le
travail des forces de pesanteur. Ainsi
V
= m1 g.y1 + m2 g.y2
= −(m1 + m2 )gl1 cos θ1 − m2 gl2 cos θ2 .
(2.79)
Donc le lagrangien de pendule double est donné par
1
1
(m1 + m2 )l12 θ̇12 + m2 l22 θ̇22 + m2 l1 l2 θ̇1 θ̇2 cos(θ1 − θ2 )
2
2
+ (m1 + m2 )gl1 cos θ1 + m2 gl2 cos θ2 .
L =
(2.80)
Les équations du mouvement sont
Exercice 3:
d ∂L ∂L
d
2
−
=0⇔
(m1 + m2 )l1 θ̇1 + m2 l1 l2 θ̇2 cos(θ1 − θ2 )
dt ∂ θ̇1
∂θ1
dt
− − m2 l1 l2 θ̇1 θ̇2 sin(θ1 − θ2 ) − (m1 + m2 )gl1 sin θ1 = 0.
(2.81)
d ∂L ∂L
d
2
=0⇔
m2 l2 θ̇2 + m2 l1 l2 θ̇1 cos(θ1 − θ2 )
−
dt ∂ θ̇2
∂θ2
dt
− − m2 l1 l2 θ̇1 θ̇2 sin(θ1 − θ2 ) − m2 gl2 sin θ2 = 0.
(2.82)
Les équations du mouvement sont données par
0
0
d ∂L ∂L
−
= 0 ⇔ m(aẍ + bÿ) + K(ax + by) = 0.
dt ∂ ẋ
∂x
(2.83)
0
0
d ∂L ∂L
−
= 0 ⇔ m(bẍ + cÿ) + K(bx + cy) = 0.
dt ∂ ẏ
∂y
(2.84)
Nous définissons les variables
u1 = ax + by , u2 = bx + cy.
(2.85)
MA, Badis Ydri
30
Les équations du mouvement vont prendre alors une forme simple données par
mü1 + Ku1 = 0 , mü2 + Ku2 = 0.
(2.86)
Ces équations sont les équations du mouvement de deux oscillateurs harmoniques u1 et u2 où
chaque oscillateur est un ressort avec une masse m et une raideur K. Les énergies cinétique et
potentielle sont données par
1
1
T = mu̇2 , V = Ku2 .
2
2
(2.87)
Le lagrangien du sysétme est donné par
1
1
L = m(u̇21 + u̇22 ) − K(u21 + u22 ).
2
2
(2.88)
Ainsi, le systéme physique ici est un oscillateur harmonique en deux dimensions.
Exercice 5:
Nous avons d’un côté
X ∂L ∂qj X ∂L ∂ q̇j
∂L
=
+
∂si
∂qj ∂si
∂ q̇j ∂si
j
j
X ∂L ∂qj X ∂L ∂ X ∂qj
∂qj
=
+
ṡk +
∂q
∂s
∂
q̇
∂s
∂s
∂t
j
i
j
i
k
j
j
k
X ∂L ∂qj X ∂L ∂ 2 qj
∂ 2 qj
=
+
ṡk +
.
∂qj ∂si
∂ q̇j ∂si ∂sk
∂si ∂t
j
j,k
(2.89)
De l’autre côté nous avons
X ∂L ∂ q̇j
∂L
=
∂ ṡi
∂ q̇j ∂ ṡi
j
X ∂L ∂qj
=
.
∂ q̇j ∂si
j
(2.90)
C’est à dire
X d ∂L ∂ q̇j X ∂L d ∂qj d ∂L =
+
.
dt ∂ ṡi
dt
∂
q̇
∂
ṡ
∂
q̇
dt
∂s
j
i
j
i
j
j
(2.91)
Donc si nous avons les équations de Lagrange
d ∂L ∂L
−
= 0,
dt ∂ q̇i
∂qi
(2.92)
nous concluons immédiatement les équations de Lagrange
d ∂L ∂L
−
= 0.
dt ∂ ṡi
∂si
(2.93)
MA, Badis Ydri
Exercice 7:
31
Par rapport au référentiel galiléen K nous avons
1
L = m~v 2 .
2
(2.94)
0
Par rapport au référentiel galiléen K nous avons
L
1 02
m~v
2
1
= L + mV~ 2 + m~v V~
2
dF
.
= L+
dt
0
=
(2.95)
1
F = mV~ 2 t + m~r.V~ .
2
(2.96)
0
∂L
∂L
∂ dF .
=
+
∂ri
∂ri ∂ri dt
(2.97)
Nous calculons maintenant
0
∂L
∂ ṙi
∂L
∂ dF +
∂ ṙi ∂ ṙi dt
∂L ∂F
=
+
.
∂ ṙi ∂ri
=
(2.98)
La derniére équation donne
0
d ∂L d ∂L d ∂F =
+
dt ∂ ṙi
dt ∂ ṙi
dt ∂ri
∂L
d ∂F =
+
.
∂ri dt ∂ri
(2.99)
Nous obtenons alors
0
0
d ∂L ∂L
−
dt ∂ ṙi
∂ri
d ∂F ∂ dF −
dt ∂ri
∂ri dt
= 0.
=
(2.100)
Ce résulat est valide pour toutes les fonctions différentiable F = F (ri , t) et non pas seulement
pour la fonction (2.96).
MA, Badis Ydri
32
Exercice 8: La longueur d’une courbe quelconque dans le plan entre deux points (x1 , y1 ) et
(x2 , y2 ) est donnée par
Z
2
I =
ds
1
Z
2
p
=
dx2 + dy 2
1
Z
x2
dxf (y, ẏ).
=
(2.101)
x1
f (y, ẏ) =
p
1 + ẏ 2
(2.102)
Nous calculons directement
∂f
∂f
ẏ
=0,
=p
.
∂y
∂ ẏ
1 + ẏ 2
(2.103)
L’équation du mouvement est alors
ẏ
c
p
.
= c ⇔ ẏ = a = √
1 − c2
1 + ẏ 2
(2.104)
a et c sont des constantes d’intégration. En intégrant encore une fois nous obtenons
y = ax + b.
(2.105)
Cette équations est l’équation d’une droite. Les constantes a et c sont determinées à partire de
la condition que la droite doit passer par les deux points (x1 , y1 ) et (x2 , y2 ). Alors le chemin le
plus court reliant deux points (x1 , y1 ) et (x2 , y2 ) est la droite.
Dans le cas de la sphére nous avons
q
dφ
f (φ, φ̇, θ) = 1 + sin2 θφ̇2 , φ̇ =
.
(2.106)
dθ
L’équation des valeurs stationaires est donnée par
sin2 θφ̇
q
= c.
(2.107)
1 + sin2 θφ̇2
Nous pouvons réécrire cette équation sous la forme
ρ̇
φ̇ = − p
, ρ = a cot θ.
1 − ρ2
(2.108)
Danc la solution stationaire est donné par (en négligeant une constante d’intégration)
sin φ = −a cot θ.
Ces équations sont les équations des grands cercles sur la surface de la sphére.
(2.109)
MA, Badis Ydri
Exercice 9:
33
L’action est donné par
Z T
Ldt
I =
0
Z T
1
1
=
mẋ2 − kx2 dt
2
2
0
Z T
Z T
1
1
2
=
x (t) − k
ẋ2 (t).
m
2
2
0
0
(2.110)
Nous calculons
T
Z
XX
2
x (t) =
0
Z
T
cos jΩt cos kΩtdt
aj ak
0
j=0 k=0
T
aj ak δjk
2
j=0 k=0
T X 2
=
a.
2 j=0 j
XX
=
(2.111)
De l’autre côté nous avons
x(t) =
X
aj cos jΩt ⇒ ẋ(t) = −Ω
X
j=0
jaj sin jΩt.
(2.112)
j=0
Donc nous calculons
Z
T
2
2
ẋ (t) = Ω
0
XX
Z
jkaj ak
j=0 k=0
= Ω2
=
T
sin jΩt sin kΩtdt
0
T
jkaj ak δjk
2
k=0
XX
j=0
2 X
TΩ
2
j 2 a2j .
(2.113)
πX
k 2
a.
mΩj 2 −
2 j=0
Ω j
(2.114)
j=0
L’action deviendra
I=
La valeur stationaire est donné par la condition
δI = 0 ⇒ π
X
j=0
La solution est donnée par
mΩj 2 −
k
aj δaj = 0.
Ω
(2.115)
MA, Badis Ydri
34
mΩj 2 −
k
aj = 0 , ∀j.
Ω
Un peu de de réflexion donne immédiatement la solution finale
r
k
Ω=
, aj = 0 , ∀j 6= 1.
m
(2.116)
(2.117)
Exercice 10:
Le vecteur position, puisque il est situé sur la surface d’une sphére, doit
satisfaire à la condition
~r2 = L2 .
(2.118)
Cette équation est l’équation de la contrainte holonome dans ce cas. Ainsi, le nombre de degrés
de liberté est 2. Encore une fois, puisque le vecteur position est situé sur une sphére, nous
pouvons le réécrire sous la forme
~r = L sin θ cos φî + sin θ sin φĵ + cos θk̂ .
(2.119)
Nous pouvons prendre les deux angles θ et φ comme notre coordonnées généralisées.
Nous calculons la vitesse, l’énergie cinétique et l’énergie potentielle:
~v = Lθ̇ cos θ cos φî + cos θ sin φĵ − sin θk̂ + Lφ̇ sin θ − sin φî + cos φĵ .
(2.120)
1
1
T = mL2 θ̇2 + mL2 φ̇2 sin2 θ.
2
2
(2.121)
V = −mgL cos θ.
(2.122)
Le lagrangien du pendule sphérique est ainsi donné par
1
1
L = mL2 θ̇2 + mL2 φ̇2 sin2 θ + mgL cos θ.
2
2
(2.123)
Les équations du mouvement sont données par
1
θ̈ = − (g − Lφ̇2 cos θ) sin θ.
L
(2.124)
d
(φ̇ sin2 θ) = 0.
dt
(2.125)
MA, Badis Ydri
35
Exercice 11:
L’état du systéme est complétement déterminé en donnant la distance l que
le disque traverse sur le plan incliné et l’angle α avec laquelle le disque tourne autour de son
axe de rotation. Les coordonnées généralisées sont donc l et α. Voir figure 3.
Quand le disque roule sans glisser sur le plan incliné la distance traversée l pendant un
intervalle du temps dt sera égale á la distance angulaire dα autour de l’axe de rotation fois le
rayon du disque R, c’est à dire
dl = Rdα ⇔ v = Rα̇.
(2.126)
Cette équation est l’équation d’une contrainte holonome qui est ici donnée par la condition de
roulement sans glissement.
Exercice 12:
•
x2 y 2
+ 2 = 1.
a2
b
(2.127)
x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sin φ , z = r cos θ ⇒ x2 + y 2 + z 2 = r2 .
(2.128)
(~ri − ~rj )2 = c2ij .
(2.129)
•
•
•
y
= tan α.
x
(2.130)
y
= tan Ωt.
x
(2.131)
x = −l cos α , y = −l sin α ⇒
•
x = r cos Ωt , y = r sin Ωt ⇒
Exercice 13:
Pour déterminer l’état du systéme nous devons avoir les coordonnées xw et
yw dans le plan du centre de masse de la roue, l’angle ψ qui spécifie l’orientation de la roue, et
l’angle de rotation φ de la roue. Voir figure 4.
Les composantes de la vitesse ~v sont
ẋw = −v sin ψ , ẏw = v cos ψ.
(2.132)
De l’autre côté la condition de roulement sans glissement donne
v = Rφ̇.
(2.133)
En remplaçant nous obtenons les equations de contarinte
dxw = −R sin ψdφ , dyw = R cos ψdφ.
(2.134)
Donc ces contraintes sont non holonomes puisque nous ne pouvons pas intégrer ces équations .
MA, Badis Ydri
36
Exercice 14:
Les forces des contraintes dans ce cas sont les tensions T~1 et T~2 . Voir figure
5. La rotation des poulies avec un angle dφ correspond aux déplacements linéaires donnés par
δy1 = R1 δφ1 , δy2 = −R2 δφ.
(2.135)
Le travail virtuel des forces de tension est donné par
δW = T~1 δ~r1 + T~2 δ~r2
= T1 δy1 + T2 δy2
= (T1 R1 − T2 R2 )δφ.
(2.136)
Mais à l’équilibre les moments de rotation des forces de tension sont égaux. Donc à l’équilibre
le travail virtuel des forces de tension s’annule. Le principe de travail virtuel de D’Alembart
prend alors la forme
X
(a)
F~i δ~ri = 0.
(2.137)
i
Les forces appliquées dans ce cas sont les forces de pesanteur. Donc l’équation ci-dessus prend
la forme
m1 gδy1 + m2 gδy2 = 0.
(2.138)
m1 R1 = m2 R2 .
(2.139)
L’état de l’équilibre est donné par
Exercice 15:
Le principe de travail virtuel de D’Alembart prend la forme
X
(a)
(F~i
˙ ri = 0.
− ~p)δ~
i
(2.140)
i
Nous écrivons aussi cette équations sous la forme
¨
¨
(m1~g − m1~l1 )δ~l1 + (m2~g − m2~l2 )δ~l2 = 0.
(2.141)
Nous obtenons par la projection l’équation suivante
(m1 g sin α − m1 ¨l1 )δl1 + (m2 g sin β − m2 ¨l2 )δl2 = 0.
(2.142)
La contrainte sur le mouvement dans ce cas est donnée par
l = l1 + l2 ⇒ δl1 = −δl2 .
(2.143)
¨l1 = m1 sin α − m2 sin β g.
m1 + m2
(2.144)
Nous obtenons alors
MA, Badis Ydri
Exercice 16:
37
Les coordonnées de la masse m (figure 7) sont données par
x = r sin φ , y = r cos φ.
(2.145)
Les coordonnées généralisées sont r, puisque la longueur de ressort n’est pas fixée dans ce cas,
et l’angle φ.
L’énergie cinétique est donnée par
1
T = m(ṙ2 + r2 φ̇2 ).
2
(2.146)
Soit r0 la longueur de ressort à l’équilibre. L’énergie potentielle est donnée par
V
1
= −m~g~r + k(r − r0 )2
2
1
= −mgr cos φ + k(r − r0 )2 .
2
(2.147)
Le lagrangien du systéme est ainsi donné par
1
1
L = m(ṙ2 + r2 φ̇2 ) + mgr cos φ − k(r − r0 )2 .
2
2
(2.148)
L’équation du mouvement par rapport à φ est
mrφ̈ = −mg sin φ − 2mṙφ̇.
(2.149)
Le deuxiéme terme est la force de Coriolis dû à la dépendance au temps de la longueur de
pendule.
L’équation du mouvement par rapport à r est
mr̈ = mrφ̇2 + mg cos φ − k(r − r0 ).
(2.150)
Le dernier terme est la force de Hook.
Exercice 17:
Les coordonnées relatives dans la figure 8 sont données par
x = l cos α , y = l sin α.
(2.151)
Nous avons une seule contrainte holonome dans ce cas et par conséquent nous avons un seul
degré de liberté. La coordonnée généralisée est l’angle α. Le lagrangien du systéme est donné
par
1 2 2
ml α̇ + m~g~r
2
1 2 2
=
ml α̇ − mgl sin α.
2
L =
(2.152)
MA, Badis Ydri
38
Les équations du mouvement de Lagrange sont
α̈ +
g
cos α = 0.
l
(2.153)
En multipliant les deux côtés de cette équation par α̇ nous pouvons intégrer cette équation une
fois pour obtenir
r
g
(2.154)
α̇ = 2(c − sin α).
l
c est une constante d’intégration. En intégrant une deuxiéme fois en utilisant séparation des
variables nous obtenons
Z α
dα
p
t − t0 =
.
(2.155)
2(c − gl sin α)
α0
Exercice 18:
Le lagrangien du systéme est donné par
1
L = m(ṙ2 + Ω2 r2 ).
2
(2.156)
Les équations du mouvement de Lagrange sont
r̈ − Ω2 r = 0.
(2.157)
r = A exp(Ωt) + B exp(−Ωt).
(2.158)
La solution est donnée par
Chapter 3
Mécanique Hamiltonienne
3.1
Lois de Conservation
Nous considérons un systéme constitué de particules ponctuelles qui s’interagissent entre
elles par des forces dérivant d’une énergie potentielle qui dépend seulement de la position.
Nous calculons
∂T
∂V
∂L
=
−
∂ ẋi
∂ ẋi ∂ ẋi
= mi xi − 0
= pix .
(3.1)
Ceci est exactement la quantité de mouvement de la particule i dans la direction x. Donc nous
allons définir la quantité de mouvement généralisée où bien la quantité de mouvement conjugée
oú canonique pi associée á la coordonnée généralisée qi par l’expression
pi =
∂L
.
∂ q̇i
(3.2)
Comme la coordonnée généralisée qi ne porte pas nécessairement la dimension de longueur la
quantité de mouvement généralisée pi ne porte pas nécessairement la dimension de l’impulsion.
Nous introduisons maintenant la notion des coordonnées cycliques. La coordonnée cyclique
qi est une coordonnée qui ne figure pas explicitement dans le lagrangien L qui peut autrement
depend de la derivée q̇i . Dans ce cas les équations de Lagrange conduisent à
∂L
d ∂L d
−
= 0 ⇒ pi = 0 ⇒ pi = constant.
∂qi dt ∂ q̇i
dt
(3.3)
Ainsi, la quantité de mouvement généralisée associée à une coordonnée cyclique est conservée
dans le temps. C’est á dire elle est une constante de mouvement. Ceci est la condition de
conservation la plus générale dans la mécanique analytique.
MA, Badis Ydri
40
Pour les forces cosnervatrices, l’énergie potentielle est une fonction uniquement des coordonnées généralisées. Dans ce cas la force généralisée Qi associée à la coordonnée généralisée
cyclique qi est nulle identiquement pusique le potentiel ne dépend pas de qi .
En outre, si la coordonnée généralisée cyclique qi est tel que dqi correspond à une translation
du systéme dans la direction ~n, la nullité de la force généralisée Qi est équivalente à la nullité
de la force ordinaire dans la direction ~n, et en plus la conservation de la quantité de mouvement
généralisée pi est équivalente à la conservation de la quantité de mouvement ordinaire dans la
direction ~n. Alors dans ce cas la force et la quantité de mouvement généralisées sont précisément
la force et la quantité de mouvement ordinaires. Nous obtenons donc la loi de conservation de
la quantité de mouvement lorsque l’état du systéme reste invariant sous l’effet des translations.
Nous disons que les translations sont des symmétries de systéme.
De même, si la coordonnée généralisée cyclique qi est tel que dqi correspond à une rotation
du systéme autour d’un axe ~n, la nullité de la force généralisée Qi est équivalente à la nullité du
moment de rotation autour de l’axe ~n, et en plus la conservation de la quantité de mouvement
généralisée pi est équivalente à la conservation du moment angulaire dans la direction ~n. Nous
obtenons alors la loi de conservation du moment angulaire lorsque l’état du systéme reste
invariant sous l’effet des rotations. Nous disons dans ce cas que les rotations sont des symmétries
de systéme.
Les lois de conservation, c’est à dire l’existence des coordonnées généralisées cycliques, sont
toujours liées à la présence des symmetries qui caractérisent l’état du systéme. Par exemple,
l’existence d’une coordonnée cyclique translationnelle signifie que le systéme reste invariant sous
l’effet des translations dans la direction de la coordonnée cyclique et par conséquent la quantité
de mouvement dans cette direction est invariante. De même, l’existence d’une coordonnée
cyclique rotationnelle signifie que le systéme reste invariant sous l’effet des rotations autour
de la direction de la coordonnée cyclique et par conséquent le moment cinétique dans cette
direction est invariant.
Nous pouvons démontrer la loi de conservation de l’énergie totale en utilisant les équations
de Lagrange comme suivant. Nous calculons
X ∂L dqi X ∂L dq̇i ∂L
dL
=
+
+
dt
∂q
dt
∂
q̇
dt
∂t
i
i
i
i
X d ∂L X ∂L dq̇i ∂L
=
q̇i +
+
dt ∂ q̇i
∂ q̇i dt
∂t
i
i
X d ∂L ∂L
=
q̇i +
.
(3.4)
dt ∂ q̇i
∂t
i
Nous concluons directement
dh ∂L
+
= 0.
(3.5)
dt
∂t
h est exactement la fonction de l’énergie de Hamilton et elle est donnée par l’équation suivante
X ∂L
h(q, q̇, t) =
q̇i
− L.
(3.6)
∂
q̇
i
i
MA, Badis Ydri
41
Ainsi, si le lagrangien L ne dépend pas de temps explicitement, le hamiltonien sera conservée
dans le temps. Dans ce cas h est une constante de mouvement qui s’appelle la constante de
Jacobi.
Pour les systémes conservatives le lagrangien L prend la forme générale suivante
L = L0 (q, t) + L1 (q, q̇, t) + L2 (q, q̇, t).
(3.7)
Les fonctions L1 et L2 sont des fonctions homogénes de premier et second degrés respectivement
dans les variables q̇i .
Une fonction f (x, y, ...) est dite homogénes de degré q dans les variables x, y,... si la condition
suivante est satisfaite
f (tx, ty, ...) = tq f (x, y, ...).
0
(3.8)
0
Nous définissons x = tx, y = ty,... Nous calculons directement
0
0
0
0
df (x , y , ...)
dx ∂f
dy ∂f
∂f
∂f
q−1
=
f (x, y, ...) = x
+y
+ ...
0 +
0 + ... ⇔ qt
dt
dt ∂x
dt ∂y
∂(tx)
∂(ty)
(3.9)
Pour t = 1, nous obtenons le théorème d’Euler
X ∂f
= qf.
xi
∂xi
i
(3.10)
En générale, le lagrangien de plusieur autre systémes, pas nécessairement conservatives, prend
précisément la forme (3.7). En appliquant maintenant le théorème d’Euler á la fonction h
donnée par équation (3.6) nous obtenons
h = L2 − L0 .
(3.11)
De l’autre côté, l’énergie cinétique prend toujours la forme
T = T0 (q) + T1 (q, q̇) + T2 (q, q̇).
(3.12)
L0 = T0 − V , L1 = T1 , L2 = T2 .
(3.13)
h = T2 − T0 + V.
(3.14)
Il est donc clair que
Ainsi
En plus, si le changement de variable ~ri −→ qi ne dépend pas du temps on aura T = T2 et par
conséquent
h = T + V.
Ceci est vraiment l’énergie totale du systéme.
(3.15)
MA, Badis Ydri
3.2
42
Transformation de Legendre et Équations d’Hamilton
Nous considérons encore une fois un sytéme physique soumis á des contraintes holonomes
fj (qi , q̇i , t) = 0 se déplaçant sous l’influence des forces monogéniques, c’est à dire des forces
dérivant d’un potentiel qui dépend sur les coordonnées et vitesses généralisées U = U (qi , q̇i , t)
données par la relation
∂U
d ∂U
Qj = −
+
.
∂qj dt ∂ q̇j
(3.16)
Pour un sytéme constituté de N degrés de liberté nous avons N équations de mouvement
données par les équations de Lagrange:
∂L
d ∂L
−
= 0.
(3.17)
∂qi dt ∂ q̇i
Ces équations sont des équations différentielles de second ordre, et par conséquent, il faut 2n
conditions initiales pour avoir une solution unique. Par exemple nous pouvons spécifier les n
positions qi et les n vitesses q̇i à l’instant initial t0 .
L’état oú la configuration du systéme est un point (q1 , ..., q2 ) dans l’espace des configurations déplaçent dans le temps le long d’une trajectoire donnée précisément par la solution des
équations de Lagrange.
Dans la formulation hamiltonienne de la mécanique classique les équations de mouvement
sont données par les équations de Hamilton qui sont des équations différentielles du premier
ordre. Puisque le nombre des conditions initiales nécessaires ne peut pas changer il va rester
le même égal à 2n comme dans la formulation lagrangienne. Donc le nombre des équations
différentielles du premier ordre nécessaires pour décrire l’état du systéme doit être donné par
2n, c’est à dire nous devons travailler avec 2n variables. Il est tout à fait naturel de choisir la
moitié de ces variables comme les coordonnées généralisées qi et de choisir l’autre moitié comme
les quantitées de mouvement généralisées pi définis par
pi =
∂L(qj , q̇j , t)
.
∂ q̇i
(3.18)
Le couple (qi , pi ) est appelé variables canoniques. L’état du systéme dans la formulation hamiltonienne est donc donnée par un point (q1 , q2 , ..., qn , p1 , p2 , ..., pn ), dans un espace à 2n dimensions appelé l’espace de phase du systéme où les axes sont donnés par les coordonnées et les
quantitées de mouvement généralisées qi et pi , déplaçant dans le temps selon les équations de
Hamilton.
La transition entre la formulation lagrangienne et la formulation hamiltonienne est effectuée
par un changement de variable de la forme
(qi , q̇i , t) −→ (qi , pi , t).
(3.19)
MA, Badis Ydri
43
Ceci est un exmple sur la transformation de Legendre.
Nous rappelons ci-aprés quelque définitions concernant la transformation de Legendre d’une
fonction f (x) de la variable x. Nous supposons que la fonction ext convexe c’est à dire qu’elle
satisfait la condition
d2 f
> 0.
dx2
(3.20)
Cette condition peut aussi bien être réexprimer comme suivant. La fonction pente qui est
définie par l’équation
s(x) =
df
dx
(3.21)
est une fonction monotone puisque elle croı̂t uniquement dans la variable x et donc il y a une
seul valeur de s pour chaque point x. C’est à dire la fonction s = s(x) est univoque et admet
une fonction réciproque x = x(s) qui est elle même univoque.
Nous pouvons commencer alors à partir de la pente s comme variable indepenent, utilser la
fonction réciproque x = x(s) pour obtenir la seul valeur de x qui correpond à s, et puis remplacer
avec cette valeur dans la fonction f pour obtenir la fonction f (x(s)). La transformation de
Legendre g(s) de la fonction f (x) est le point de l’intersection de la droite tangente à la fonction
f (x) dans le point x = x(s) avec l’axe des y, c’est à dire
f (x(s)) = sx(s) − g(s) ⇔ g(s) = sx(s) − f (x(s)).
(3.22)
Voir figure 10. La transformation de Legendre est une application de la dualité entre points et
droites: La fonction f peut être donnée par les points (x, y) où bien par l’ensemble des pairs
(s, −g) constitués des pents s et des points d’intersection −g. Nous pouvons aussi définir la
transformation de Legendre par l’operation de maximisation
g(s) = maxx (sx − f (x)).
(3.23)
Nous considérons maintenant une fonction f (x, y) de deux variables x et y. La dérivée totale
de la fonction f est donnée par
df = udx + vdy , u =
∂f
∂f
, v=
.
∂x
∂y
(3.24)
La transformation de Legendre à partir des variables (x, y) aux variables (u, y) va transformer
la fonction f (x, y) à la fonction g(u, y) définie par
g = ux − f.
(3.25)
Nous calculons le differentiel
dg = xdu − vdy ≡
∂g
∂g
du +
dy.
∂u
∂y
(3.26)
MA, Badis Ydri
44
Nous obtenons
x=
∂g
∂g
, v=− .
∂u
∂y
(3.27)
Comme nous l’avons dit, la transition entre la formulation lagrangienne et la formulation
hamiltonienne est effectuée par une transformation de Legendre. Plus précisément, nous allons effectuer une transformation des variables généralisées (qi , q̇i , t) aux variables canoniques
(qi , pi , t). Donc à la place de la fonction lagrangienne L = L(qi , q̇i , t), qui est une fonction de
qi ,q̇i et t, nous allons travailler dans la formulation hamiltonienne avec ce qu’on appelle la fonction hamiltonienne qui est une fonction de qi , pi et t définie par la transformation de Legendre
suivante
X
H(qi , pi , t) =
q̇i pi − L(qi , q̇i , t).
(3.28)
i
Nous calculons d’un côté
dH =
∂H
∂H
∂H
dt.
dqi +
dpi +
∂qi
∂pi
∂t
(3.29)
De l’autre côté, nous calculons
∂L
∂L
∂L
dq̇i −
dqi −
dt
∂ q̇i
∂qi
∂t
∂L
∂L
dt
= q̇i dpi −
dqi −
∂qi
∂t
∂L
= q̇i dpi − ṗi dqi −
dt.
∂t
dH = q̇i dpi + pi dq̇i −
(3.30)
Par comparaison nous obtenons les équations de mouvement de Hamilton
q̇i =
∂H
∂H
, −ṗi =
.
∂pi
∂qi
(3.31)
Nous obtenons aussi
−
∂L
∂H
=
.
∂t
∂t
(3.32)
Pour un grand nombre de systémes physiques et coordonnées généralisées nous avons:
• Le lagrangien s’ecrit sous la forme L(qi , q̇i , t) = L0 (qi , t) + L1 (qi , q̇i , t) + L2 (qi , q̇i , t) où L2
est une fonction homogéne de second degré en q̇i et L1 est une fonction homogéne de
premier degré en q̇i . Dans ce cas nous calculons
q̇i pi = q̇i
∂L1
∂L2
+ q̇i
= L1 + 2L2 .
∂ q̇i
∂ q̇i
(3.33)
Ainsi
H = L2 − L0 .
(3.34)
MA, Badis Ydri
45
• En général, l’énergie cinétique prend la forme T = T2 (qi , q̇i , t)+T1 (qi , q̇i , t)+T0 (qi , t). Si les
équations définissons les coordonnées généralisées ne dépend pas du temps explicitement,
P
c’est á dire si ~ri = ~ri (q1 , q2 , ..., qn ), nous aurons ~vi =
ri /∂qj et par conséquent
j q̇j ∂~
T = T2 où T2 est une fonction de qi et q̇i qui est quadratique dans les variables q̇i . De
l’autre côté, si l’énergie potentielle ne dépend pas sur les vitesses généralisées q̇i alors
L2 = T , L1 = 0 et L0 = −V . Nous obtenons alors
H = T + V.
(3.35)
Ceci est l’énergie totale du systéme.
Nous pouvons montrer sans difficulté en utilisant les équations de Hamilton que
dH
∂H
=
.
(3.36)
dt
∂t
Ainsi, si l’énergie potentielle ne dépend pas explicitement du temps, alors L ne dépendra pas
explicitement du temps et par conséquent le hamiltonien ne dépendra pas explicitement du
temps et il est donc conservé.
3.3
Équation de Hamilton à Partir de Calcul Variationnel: Le Principe de Hamilton Modifié
Nous avons montré que les équations de Lagrange peuvent être obtenus á partir de principe
intégrale de Hamilton donné par
Z t2
δI = δ
dtL(qi , q̇i , t) = 0.
(3.37)
t1
Le calcul variationnel doit être effectué entre les deux points dans l’espace de configuration
donnés par (q1 (t1 ), ..., qn (t1 )) et (q1 (t2 ), ..., qn (t2 )).
Puisque les équations de Hamilton décrivent le mouvement du systéme dans l’espace de
phase le principe variationnel qui peut donné ces équations doit être formulé nécessairement
dans cet espace.
P
En remplaçant par l’équation L(qi , q̇i , t) = i q̇i pi − H(qi , pi , t) dans le principe de Hamilton
au-dessus, et puis en réinterprétant le chemin sur lequel le calcul variationnel est effectué comme
un chemin dans l’espace de phase reliant les deux points (q1 (t1 ), ..., qn (t1 ), p1 (t1 ), ..., pn (t1 )) et
(q1 (t2 ), ..., qn (t2 ), p1 (t2 ), ..., pn (t2 )), nous obtenons le principe de Hamilton modifié donné par
Z t2 X
δI = δ
dt
q̇i pi − H(qi , pi , t) = 0.
(3.38)
t1
i
Ceci est un principe variationnel dans un esapce á 2n dimension de la méme forme que le
principe (3.37) c’est á dire de la forme
Z t2
δI = δ
dtL(qi , q̇i , pi , ṗi , t) = 0.
(3.39)
t1
MA, Badis Ydri
46
Les équations de Lagrange pour cet principe sont immédiatement données par
∂H
d ∂L
∂L
d
−
=0⇔
pi +
= 0.
dt ∂ q̇i
∂qi
dt
∂qi
d ∂L
∂L
d ∂H
−
=0⇔
0 − q̇i +
= 0.
dt ∂ ṗi
∂pi
dt
∂pi
(3.40)
(3.41)
Nous obtenons alors directement les équations de mouvement de Hamilton.
3.4
Transformations Canoniques
Nous allons d’abord rappeler briévement la notion de coordonnée cyclique. La coordonnée
généralisée qi est une coordonnée cyclique si l’hamiltonien H = H(qi , pi ) ne dépend pas de cette
coordonnée. Danc, dans ce cas, en utilisant les équations de Hamilton, nous trouvons que la
quantité de mouvement généralisée pi associée á qi est conservée dans le temps. Nous avons
alors
−ṗi =
∂H
= 0 ⇒ pi = βi = constant.
∂qi
(3.42)
La premiére remarque fondamentale est comme suit: La résolutions des équations de Hamilton
dans le cas des coordonnées cycliques est une opération trés facile.
De l’autre côté le choix des coordonnées et quantitées de mouvement généralisées est dans
une large mesure arbitraire puisque il y a un nombre infinie de choix possibles. Ainsi, puisque
le but est toujours la résolutions des équations de mouvement de Hamilton, il est dans notre
intérêt de choisir des coordonnées et quantitées de mouvement généralisées Qi et Pi de telle
sorte qu’elles soient aussi cycliques. Cette nouvelle ensemble (Qi , Pi ) doit aussi satisfaire aux
équations de Hamilton avec un nouveau hamiltonien K(Qi , Pi ) qui est généralement différent
de l’hamiltonien H(qi , pi ). Pour cette raison la transformation (qi , pi ) −→ (Qi , Pi ) est dite
transformation canonique.
La transformation canonique est une généralisation des transformations ponctuelles dans
l’espace de configuration données par qi −→ Qi = Qi (qi , t). En effet, une transformation
canonique est un changement de variable dans l’espace de phase de la forme
qi −→ Qi = Qi (qj , pj , t) , pi −→ Pi = Pi (qj , pj , t).
(3.43)
Nous supposons que (qi , pi ) est une solution des équations de Hamilton avec un hamiltonien
H = H(qi , pi ), c’est á dire
q̇i =
∂H
∂H
, −ṗi =
.
∂pi
∂qi
(3.44)
MA, Badis Ydri
47
Comme nous l’avons montrée au-dessus, ces équations dérivent de principe de Hamilton modifié
suivant
Z t2
(pi q̇i − H(q, p, t)) = 0.
(3.45)
δ
t1
La transformation qi −→ Qi = Qi (qj , pj , t), pi −→ Pi = Pi (qj , pj , t) est une transformation
canonique parce qu’ on suppose que (Qi , Pi ) est une solution des équations de Hamilton avec
un nouveau hamiltonien K(Q, P, t), c’est á dire les nouvelles variables Qi et Pi sont des variables
canoniques. Donc, nous avons les nouvelles équations de Hamilton
Q̇i =
∂K
∂K
, −Ṗi =
.
∂Pi
∂Qi
(3.46)
Ces équations dérivent de principe de Hamilton modifié suivant
Z t2
δ
(Pi Q̇i − K(Q, P, t)) = 0.
(3.47)
t1
Ainsi, il faut avoir
Z
t2
Z
t2
(pi q̇i − H(q, p, t)) = δ
δ
t1
(Pi Q̇i − K(Q, P, t)) = 0.
(3.48)
t1
Donc, il faut avoir
λ(pi q̇i − H(q, p, t)) = Pi Q̇i − K(Q, P, t) +
dF
.
dt
(3.49)
λ est une constante et F est une fonction dans l’espace de phase dont la dérivée seconde est une
fonction continue. Les transformations canoniques avec λ 6= 1 sont nommées transformations
canoniques élargies tandis que celles avec λ = 1 sont simplement nommées canoniques.
La constante λ est liée á une transformation canonique trés speciale appelée transformation
d’échelle définie par
qi −→ Qi = µqi , pi −→ Pi = νpi .
(3.50)
µ et ν sont des constantes. Les nouvelles équations de Hamilton donnent les anciennes équations
de Hamilton avec la solution
K(Qi , Pi ) = λH(qi , pi ) , λ = µν.
(3.51)
λ(pi q̇i − H(q, p, t)) = Pi Q̇i − K(Q, P, t).
(3.52)
C’est á dire
Nous pouvons toujours choisir λ = 1 en utilisant une transformation d’échelle. Nous supposons
0
0
par exemple que nous avons une transformation canonique (qi , pi ) −→ (Qi , Pi ) avec λ 6= 1.
MA, Badis Ydri
48
0
0
Nous considérons la transformation d’échelle (Qi , Pi ) −→ (Qi = µQi , Pi = νPi ) avec λ = µν.
0
0
La transformation canonique (qi , pi ) −→ (Qi , Pi ) est une composition de la transformation
0
0
canonqiue (qi , pi ) −→ (Qi , Pi ) et la transformation d’échelle (Qi , Pi ) −→ (Qi , Pi ). Nous pouvons
vérifier que λ = 1 pour la transformation canonique (qi , pi ) −→ (Qi , Pi ).
Ainsi, nous pouvons concentrer sur les transformations canoniques avec λ = 1 sans aucune
perte de généralité. Pour ces transformations nous avons
dF
.
(3.53)
dt
Les transformations canoniques qui ne dépendent pas du temps explicitement, c’est á dire
Qi = Qi (qj , pj ) et Pi = Pi (qj , pj ), sont nommées transformations canoniques limitées.
La fonction F est une fonction dans l’espace de phase, c’est á dire une fonction de qi ,
Qi , pi et Pi , et dans le temps. Donc, elles est une fonction á 4n + 1 variables. En utilisant
Qi = Qi (qj , pj , t) et Pi = Pi (qj , pj , t) et leurs réciproques, nous voyons que F est en réalité une
fonction á 2n+1 variables seulement. La fonction F nous permet de déterminer la forme exacte
de la transformation canonique en prenant la moitié de ces variables parmi les coordonnées de
phase anciennes (qi , pi ) et l’autre moitié de ces variables est prise parmi les nouvelles coordonnées
de phase (Qi , Pi ) . Donc F joue le rôle de la fonction génératrice de la transformation canonique
et nous avons seulement quatre type possibles des transformations canoniques données par les
fonctions génératrices suivantes
pi q̇i − H(q, p, t) = Pi Q̇i − K(Q, P, t) +
F = F1 (qi , Qi , t).
(3.54)
F = F2 (qi , Pi , t).
(3.55)
F = F3 (pi , Qi , t).
(3.56)
F = F4 (pi , Pi , t).
(3.57)
Nous allons discuter maintenant avec quelque details les deux premiers cas.
Premier cas :
Dans ce cas
F = F1 (qi , Qi , t).
(3.58)
Nous calculons
pi q̇i − H = Pi Q̇i − K +
∂F1 ∂F1
∂F1
+
q̇i +
Q̇i .
∂t
∂qi
∂Qi
(3.59)
Puisque les coordonnées qi et Qi sont linéairement independantes nous obtenons
pi =
∂F1
∂F1
, Pi = −
.
∂qi
∂Qi
K=H+
∂F1
.
∂t
(3.60)
(3.61)
MA, Badis Ydri
49
Deuxiéme cas :
Dans ce cas la fonction génératrice doit être une fonction dans les coordonnées généralisées anciennes qi et les quantitées de mouvement nouvelles Pi . En comparant
avec le premier cas, nous voyons que Pi ici joue le rôle de Qi là-bas. Alors, dans l’équation (3.53)
il faut remplaçer Pi Q̇i par Qi Ṗi . Cela peut être réalisé en choisissant la fonction génératrice
comme suit
F = F2 (qi , Pi , t) − Qi Pi .
(3.62)
Nous calculons maintenant
pi q̇i − H = −Qi Ṗi − K +
∂F2 ∂F2
∂F2
+
q̇i +
Ṗi .
∂t
∂qi
∂Pi
(3.63)
Encore une fois, pusique qi etPi sont linéairement independantes nous obtenons
pi =
∂F2
∂F2
, Qi =
.
∂qi
∂Pi
K=H+
∂F2
.
∂t
(3.64)
(3.65)
Pour le troisiéme et quatriéme cas nous écrivons
F = F3 (pi , Qi , t) + qi pi .
(3.66)
F = F4 (pi , Pi , t) + qi pi − Qi Pi .
(3.67)
Les transformations canoniques pour lesquelles la fonction génératrice ne dépend pa du temps
sont sont précisément les transformations canoniques limitées. Dans ce cas
∂F
= 0 ⇒ K = H.
∂t
3.5
(3.68)
Formulation Symplectique, Crochets de Poisson et
Théorème de Liouvil
Condition symplectique : Nous pouvons réécrire les transformations canoniques sous une
forme différente mais équivalente aux fonctions génératrices en utilisant la formulation symplectique des équations de Hamilton. Nous définissons le vecteur η dans 2n dimension, constituté
par les coordonnées et les quantitées de mouvement généralisées qi et pi , et le vecteur ξ aussi
dans 2n dimension, constituté par les coordonnées et les quantitées de mouvement généralisées
Qi et Pi , donnés par
, ,
qi
Qi
η=
, ξ=
.
(3.69)
pi
Pi
MA, Badis Ydri
50
Ces vecteurs sont définis dans l’espace de phase. Les équations de la transformation canonique
limitée Qi = Qi (qj , pj ) et Pi = Pi (qj , pj ) prend alors la forme
ξ = ξ(η).
(3.70)
Les équations de Hamilton dans les variables η sont données par
η̇ = J
∂H
.
∂η
La matrice J est 2nx2n et elle est donnée par
0 1n
J=
.
−1n 0
(3.71)
(3.72)
Les équations de Hamilton dans les variables ξ sont données par
∂H
.
ξ˙ = J
∂ξ
(3.73)
Nous définissons la matrices M par
Mij =
∂ξi
.
∂ηj
(3.74)
Nous avons
ξ˙i = Mij η̇j
= Mij Jjk
∂H
∂ηk
∂H
∂ξl
∂H
= (M JM T )il
.
∂ξl
= Mij Jjk Mlk
(3.75)
Par comparaison nous obtenons alors
M JM T = J.
(3.76)
Cette condition est nommée la condition symplectique et donc la matrice M est une matrice
symplectique. La condition symplectique est une condition nécessaire et suffisante pour toutes
les transformations canoniques y compris ceux qui dépendent du temps et non pas seulement
pour les transformations canoniques limitées considérées au-dessus. Nous pouvons montrer
que la condition symplectique implique l’existence de la fonction génératrice. Aussi, nous
pouvons utiliser la formulation symplectique pour démontrer que l’ensemble des transformations
canoniques est un groupe.
MA, Badis Ydri
51
Transformations canoniques infinitésimales Nous pouvons montrer que les transformations canoniques satisfont la condition symplectique comme suit. En premier lieu, puisque
nous avons la structure d’un groupe nous pouvons décomposer une transformation canonique
quleconque comme suivant
qi
Qi (q, p, t0 )
Qi (q, p, t)
η=
−→ ξ(η, t0 ) =
−→ ξ(η, t) =
.
(3.77)
Pi (q, p, t0 )
Pi (q, p, t)
pi
Le premier terme satisfaire la condition symplectique pusique il est donné par une transformation canonique limitée, c’est à dire elle ne dépend pas du temps. Encore une fois, pusique
nous avons la structure d’un groupe, on peut décomposer le deuxiéme terme en transformations
canoniques infinitésimales. En d’autre termes, nous divisions l’intervalle t − t0 en intervalles
infinitésimales dt et nous considérons seulement les transformations canoniques dans chaque
intervalle.
Nous commençons par définir les transformations canoniques infinitésimales. Nous remarquons que la fonction F2 = qi Pi génère l’application identité. Nous pouvons montrer, dans ce
cas, que Qi = qi , Pi = pi et K = H. La transformation canonique infinitésimale correspond
alors à
F2 = qi Pi + G(qj , Pj , t).
(3.78)
Nous calculons
P i = pi − ∂G
∂G
∂G
, Qi = q i + = qi + .
∂qi
∂Pi
∂pi
(3.79)
C’est à dire nous pouvons penser de G comme une fonction de q et p, et non pas de q et P , et le
temps. La fonction G est la fonction génératrice de la transformation canonique infinitésimale.
Nous avons
δpi = Pi − pi = −
∂G
∂G
, δqi = Qi − qi = .
∂qi
∂pi
(3.80)
Nous pouvons écrire les équations (3.80) sous la forme compacte
δη = ξ − η = J
∂G
.
∂η
(3.81)
Aussi, nous pouvons calculer pour la transformation canonique infinitésimale au-dessus que
M=
∂ξ
∂
= 1+
δη
∂η
∂η
∂ 2G
= 1 + J
.
∂η∂η
La matrice ∂ 2 G/∂η∂η est une matrice symétrique avec des composantes données par
(3.82)
MA, Badis Ydri
52
∂ 2G ∂ 2G
=
.
∂η∂η ij ∂ηi ∂ηj
(3.83)
Nous pouvons maintenant vérifier directement que les transformations canoniques infinitésimales
satisfont à la condition symplectique. En effet, nous avons
M JM
T
∂ 2G
∂ 2G
=
1 + J
J 1−
J
∂η∂η
∂η∂η
= J.
(3.84)
Si nous choisissons = dt, la transformation canonique infinitésimale sera exactement donnée
par la transformation ξ(η, t0 ) −→ ξ(η, t) avec t = t0 + dt . Cette transformation satisfaire à
la condition symplectique et par conséquence la transformation canonique qui apparaı̂t dans le
deuxiéme terme de (3.77), qui est la composition de transformations canoniques infinitésimales
de type = dt, satisfaire à la condition symplectique.
Crochets de Poisson Nous définissons les crochets de Poisson de deux fonctions u et v sur
l’espace de phase par rapport aux variables qi et pi par la relation
[u, v]η
X ∂u ∂v
∂u ∂v
−
=
∂q
∂p
∂pi ∂qi
i
i
i
T
∂u
∂v
.
=
J
∂η
∂η
(3.85)
Nous calculons ce qu’on appelle les crochets de Poisson fondamentales données par
[η, η]η = J.
(3.86)
Explicitement
[qi , qj ]η = 0 , [pi , pj ]η = 0 , [qi , pj ]η = −[pi , qj ]η = δij .
(3.87)
Nous calculons maintenant
∂u
∂v
Jij
∂ηi ∂ηj
∂u ∂ξk ∂ξl ∂v
=
Jij
∂ξk ∂ηi ∂ηj ∂ξl
∂v
∂u
=
(M JM T )kl
∂ξk
∂ξl
= [u, v]ξ .
[u, v]η =
(3.88)
MA, Badis Ydri
53
Donc les crochets de Poisson sont invariants sous l’effet des transformations canoniques. Cette
condition est complétement équivalente à la condition symplectique. Nous pouvons aussi utiliser
cette invariance pour dèmontrer que la condition symplectique implique l’existence de la fonction génératrice de la transformation canonique.
Nous considérons maintenant une fonction u des variables qi , pi et le temps, c’est à dire
u = u(qi , pi , t). En utilisant les équations de Hamilton, la dérivé exacte de la fonction u par
rapport au temps est donnée par
X ∂u
du
∂u
∂u
=
q̇i +
ṗi +
dt
∂qi
∂pi
∂t
i
X ∂u ∂H
∂u ∂H
∂u
=
−
+
∂qi ∂pi
∂pi ∂qi
∂t
i
∂u
.
(3.89)
∂t
Ceci est l’équation de mouvement de la fonction u. Nous pouvons obtenir les équations de
Hamilton comme un cas particulier comme suivant. Si nous choisissons u = qi , pi nous obtenons
directement q̇i = [qi , H]η , ṗi = [pi , H]η . En utilisant la notation symplectique nous obtenons
alors
∂H
η̇ = [η, H]η = J
(3.90)
∂η
= [u, H]η +
qui est léquation de Hamilton (3.71).
Nous pouvons aussi exprimer les transformations canoniques infinitésimales (3.81) en utilisant les crochets de Poisson. En choisissant u = η et v = G dans (3.85) nous obtenons
[η, G]η = J
∂G
,
∂η
(3.91)
La transformation canonique infinitésimale (3.81) peut s’ecrire sous la forme
δη = [η, G]η .
(3.92)
Sin nous choisissons par exemple = dx et G = pj nous obtenons δqi = dx[qi , pj ]η = δij dx et
δpi = dx[pi , pj ]η = 0 ce que veut dire que la translation dans la direction j est générée par la
quantité de mouvement pj .
Comme un deuxiéme exemple nous considérons le suivant. Si nous choisissons = dt et
G = H nous obtenons δη = η̇dt = dη c’est à dire
= dt , G = H ⇒ δη = η̇dt = dη.
(3.93)
Donc l’hamiltonien est le générateur de mouvement du sytéme dans le temps. Cet résultat est
trés important et nous pouvons également l’obtenir de la maniére suivante. Si nous choisissons
G = H dans la transformation canonique infinitésimale (3.80) nous concluons directement que
δpi = ṗi , δqi = q̇i ⇒ = dt.
(3.94)
MA, Badis Ydri
54
Donc la fonction de Hamilton est la fonction génératrice de mouvement infinitésimale, c’est á
dire des translations infinitésimales dans le temps. En d’autre terme, le mouvement du systéme
dans le temps est une transformation canonique générée par l’hamiltonien.
Théorème de Liouville Le volume dans l’espace de phase est aussi invariant, comme les
crochets de Poisson, sous l’effet des transformations canoniques. Le volume infinitésimale dans
l’espace de phase est défini dans les coordonnées ηi par l’élément de volume
dVη = d2n η = dq1 ...dqn dp1 ...dpn .
(3.95)
Sous l’effet de la transformation canonique η −→ ξ le volume dVη va tronsformer á l’élément
de volume dVξ donné par
dVξ = d2n ξ = dQ1 ...dQn dP1 ...dPn .
(3.96)
Ces deux volumes dVη et dVξ sont reliés par le déterminant appelé jacobien de la transformation
canonique η −→ ξ. Nous avons exactement
∂ξi 2n
|d η
∂ηj
= |detMij |d2n η.
d2n ξ = |det
(3.97)
C’est á dire
dVξ = ||M ||dVη .
(3.98)
De l’autre côté, la condition symplectique M JM T = J donne
detJ = det(M JM T )
= detM.detJ.detM T
= detJ.(detM )2 .
(3.99)
Nous concluons que |M |2 = 1 et par conséquence
dVξ = dVη .
(3.100)
Donc le volume infinitésimale est invariant sous l’effet des transformations canoniques. En
d’autre terme, le volume de n’importe quelle région dans l’espace de phase est invariant sous
l’effet des transformations canoniques. Ainsi, nous avons l’intégrale invariant
Z
Vη =
dVη
Z
=
d2n η
Z
=
dq1 ...dqn dp1 ...dpn .
(3.101)
MA, Badis Ydri
55
Cet intégrale est connu sous le nom de l’intégrale invariant de Poincaré.
Nous considérons maintenant un volume infinitésimale dVη dans l’espace de phase qui contient dNη points (q1 , ..., qn , p1 , ..., pn ). Chaque point définit un état possible du systéme à un
instant initial t0 . La densité des états est définie par
ρ=
dNη
.
dVη
(3.102)
Le volume est invariant dans le temps si les points évoluent dans le temps selon les équations
de Hamilton. Danc le volume dVη peut changer de forme dans le temps mais pas sa valeur. Il
est évident que le nombre des états dNη dans le volume dVη reste aussi constant dans le temps
puisque le mouvement du systéme est détereminé uniquement par les positions initiales dans
l’espace de phase et donc tous le points dans le volume dVη à l’instant t0 déplacent collectivement
pour occuper le nouveau volume dVη à l’instant t. Nous concluons alors que la densité des états
est une constante dans le temps, c’est à dire
dρ
= 0.
dt
(3.103)
Ceci est le théorème de Liouville. La fonction ρ est une fonction dans l’espace de phase de
coordonnées qi , pi et le temps. En utilisant le résultat (3.89) nous obtenons
∂ρ
dρ
= [ρ, H]η + .
dt
∂t
(3.104)
Le théorème de Liouville prend alors la fome équivalente
∂ρ
= −[ρ, H]η .
∂t
(3.105)
Interpretation active et passive des transformations canoniques :
Les transformations canoniques peuvent être interprétées activement ou passivement. Dans l’interprétation
passive de la transformation canonique nous changeons l’espace de phase η avec coordonnées qi
et pi à l’espace de phase ξ avec coordonnées Qi et Pi . Danc le systéme à l’instant t peut être
0
décrit par la configuration A = (qi , pi ) mais aussi par la configuration A = (Qi , Pi ). En d’autre
terme, une fonction quelconque u dans les variables du systéme doit prendre la même valeur
0
u(A) = u(A ) dans les deux espaces η et ξ malgré que la dépendance fonctionnelle de u sur qi
et pi est différente de sa dépendance fonctionnelle sur Qi et Pi .
Dans l’interprétation active de la transformation canonique les coordonnées Qi et Pi sont
les coordonnées d’un autre point B qui est différent de point A dans le même espace de phase
η = ξ. Donc la transformation canonique déplace le systéme de point A = (qi , pi ) vers le
point B = (Qi , Pi ) dans le sense que la transformation canonique nous permet d’exprimer la
configuration B en fonction de la configuration A et vice versa. Ainsi, de ce point de vue,
la valeur de la fonction u change lors de déplacement de A à B malgré que sa dépendance
fonctionnelle sur les variables qi et pi est identique à sa dépendance fonctionnelle sur les variables
MA, Badis Ydri
56
Qi et Pi . Le changement ∂u dans la valeur de la fonction lors de déplacement de A à B est
donné par
∂u = u(B) − u(A)
= u(η + δη) − u(η)
∂u
δη
=
∂η
∂u ∂G
= J
∂η ∂η
= [u, G]η .
(3.106)
Pour l’hamiltonien les choses sont plus compliqués parce que ce dernier change aussi de H à
K sous l’effet de la transformation canonique si la fonction génératrice dépend du temps où
K = H + ∂F2 /∂t = H + ∂G/∂t. Danc même dans l’interprétation passive de la transformation
0
0
canonique l’hamiltonien change de H(A) à K(A ) lors de déplacement de A vers A , alors que
dans l’interprétation active l’hamiltonien change, comme expliqué au-dessus, de H(A) à H(B)
lors de cet déplacement. Dans ce cas nous définissions ∂H comme la différence entre les valeurs
de l’hamiltonien dans les deux interprétations, á savoir
0
∂H = (H(B) − H(A)) − (K(A ) − H(A))
0
= H(B) − K(A ).
(3.107)
Cette définition coı̈ncide avec la définition précédente dans le cas où la fonction ne change pas
sous l’effet des transformations canoniques. Nous calculons maintenant
∂G
∂t
∂G
= H(B) − H(A) − ∂t
∂G
= [H, G]η − ∂t
dG
= − .
dt
0
∂H = H(B) − H(A ) − (3.108)
En résumé si la fonction génératrice G est une constante de mouvement, la transformation
canonique infinitésimale correspondant ne change pas la valeur de l’hamiltonien et par conséquent
l’hamiltonien est invariant. Ainsi, les constantes de mouvement sont précisément les fonctions
génératrices des transformations canonqiues infinitésimales qui laissent l’hamiltonien invariant.
3.6
Équation de Hamilton-Jacobi
Nous considérons une transformation canonique à partir de coordonnées (qi , pi ) vers les
coordonnées (Qi , Pi ) tel que Qi et Pi sont constantes dans le temps c’est à dire Qi = βi et
MA, Badis Ydri
57
Pi = αi . Cette transformation peut être obtenue en supposant que l’hamiltonien transformé
K(Q, P, t) est nul. Puisque K(Q, P, t) = H(q, p, t) + ∂F /∂t nous devons avoir
H(q, p, t) +
∂F
= 0.
∂t
(3.109)
On prend une fonction génératrice F de seconde type c’est à dire F = F2 (qi , Pi , t). En utilisant
l’équation de transformation pi = ∂F2 /∂qi nous pouvons écrire l’équation au-dessus sous la
forme
H(q1 , q2 , ..., qn ,
∂F2 ∂F2
∂F2
∂F2
,
, ...,
, t) +
= 0.
∂q1 ∂q2
∂qn
∂t
(3.110)
Ceci est léquation de Hamilton-Jacobi qui est une équation différentielle aux dérivées partielles
du premier ordre dans n + 1 variables q1 , ....,qn et t. L’inconnu est la fonction génératrice F2 .
La solution qui est notée par F2 = S = S(q1 , ..., qn , α1 , ..., αn , αn+1 , t) est nommée la fonction
de Hamilton principale. Il est évident que les nombres αi sont des constantes d’intégration. Il
est aussi évident que S + α est une solution si S est une solution. En d’autre terme, il exist
une constante d’intégration qui apparaı̂t seulement ajouté á S et par conséquent elle n’est pas
importante dans la solution puisque elle va être simplifié dans les dérivées partielles. Soit αn+1
cette constante d’intégration. Donc la solution F2 = S prend la forme
F2 = S = S(q1 , ..., qn , α1 , ..., αn , t).
(3.111)
Cette solution est nommée la solution compléte de l’équation de Hamilton-Jacobi. On peut
prendre les quantitées de mouvement Pi qui sont constantes dans le temps égales aux constantes
d’intégration αi c’est à dire
Pi = αi .
(3.112)
Nous écrivons maintenant l’équations pi = ∂F2 /∂qi sous la forme
pi =
∂S(q, α, t)
.
∂qi
(3.113)
À l’instant initial t0 cette équation relie entre les valeurs initiales de qi et pi et αi . Donc, nous
pouvons déterminer les constantes d’intégration αi en fonction de valeurs initiales de qi et pi
en utilisant cette équation.
De l’autre côté, l’équation Qi = ∂F2 /∂Pi peut être écrit sous la forme
Qi = βi =
∂S(q, α, t)
.
∂αi
(3.114)
À l’instant initial t0 cette équation va nous permettre de déterminer βi en fonction de valeurs
initiales de qi et αi . Le réciproque de cette équation donne qi en fonction de αi , βi et le temps
c’est à dire
qi = qi (α, β, t).
(3.115)
MA, Badis Ydri
58
En remplaçant dans l’équation pi = ∂S(q, α, t)/∂qi nous obtenons pi en fonction de αi , βi et le
temps c’est à dire
pi = pi (α, β, t).
(3.116)
Les deux équations (3.115) et (3.116) ensemble donnent la solution compléte des équations de
Hamilton. Nous concluons alors que la construction de la fonction de Hamilton principale,
en résolvant l’équation de Hamilton-Jacobi, est complétement équivalente à la résolution des
équations de mouvement de Hamilton. En d’autre terme, les équations de mouvement de
Hamilton sont équivalentes à l’équation de Hamilton-Jacobi.
La fonction de Hamilton principale est la fonction génératrice de la transformation canonique
qui nous prend vers des coordonnées constantes dans le temps. La signification physique de la
fonction de Hamilton principale est la suivante. Nous calculons
dS
∂S
∂S
=
q̇i +
dt
∂qi
∂t
= pi q̇i − H
= L.
(3.117)
C’est à dire S est l’action
Z
S=
Ldt + constant.
(3.118)
Si l’hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps, alors l’équation de Hamilton-Jacobi
prend la forme
H(qi ,
∂S
∂S
)+
= 0.
∂qi
∂t
(3.119)
Nous séparons le temps en supposant une solution de la forme
S(qi , αi , t) = W (qi , αi ) − α1 t.
(3.120)
L’équation de Hamilton-Jacobi devient
H(qi ,
∂W
) = α1 .
∂qi
(3.121)
C’est á dire α1 est une constante de mouvement égale á l’énergie dans tous les cas où l’hamiltonien
est la fonction de l’énergie. La fonction W est nommée la fonction caractéristique de Hamilton qui est la fonction génératrice de la transformation canonique qui nous prend vers des
coordonnées cycliques.
Nous considérons la transformation canonique (qi , pi ) −→ (Qi , Pi ) où les nouvelles quantitées de mouvement Pi sont des constantes de mouvements égales aux αi et avec une fonction
génératrice W (qi , Pi ) qui ne dépend pas explicitement du temps et par conséquent K(Qi , Pi ) =
MA, Badis Ydri
59
H(qi , pi ). Nous supposons que l’hamiltonien H(qi , pi ) est une constante de mouvement égale
à α1 . Comme avant, nous devons avoir pi = ∂W /∂qi et Qi = ∂W /∂Pi = ∂W /∂αi et par
conséquent H(qi , pi ) = α1 est équivalent à (3.121). Nous remarquons que sous l’influence de
cette transformation canonique K(Qi , Pi ) = P1 , c’est à dire l’hamiltonien transformé ne dépend
pas de nouvelles coordonnées généralisées Qi et par conséquent ces coordonnées sont toutes cycliques. En plus, nous pouvons conclure à partir des équations de Hamilton Q1 = t + β1 et
Qi = βi pour i 6= 1 que toutes les nouvelles coordonnées généralisées, except la premiére, sont
des constantes de mouvement.
MA, Badis Ydri
3.7
60
Exercices
Exercice 1: Nous considérons le mouvement d’un pednule simple de masse m et de longueur
l. Calculer la quantité de mouvement généralisée et l’hamiltonien du systéme. Dériver les
équations de mouvement de Hamilton.
Exercice 2: Nous considérons le mouvement d’une particule sous l’effet d’une force centrale,
c’est à dire une force dérivant d’un potentiel qui dépend seulement sur la distance r = |~r|.
• Déterminer les coordonnées généralisées et calculer le lagrangien du systéme et les équations
de mouvement de Lagrange.
• Cacluler les quantités de mouvement et la hamiltonien du systéme.
• Cacluler les équations de mouvement de Hamilton. Est-ce qu il y a des coordonnées
cycliques dans ce cas. Que pouvons-nous conclure?
Exercice 3: Un corpuscule de masse m se déplace en trois dimensions sous l’influence d’un
potentiel V (x, y, z).
• Écrivez l’hamiltonien de le particule dans les coordonnées cartésiennes.
• Calculer l’hamiltonien de le particule dans les coordonnées cylindriques.
• Calculer le lagrangien, les quantités de mouvement généralisées et l’hamiltonien de le
particule dans les coordonnées sphériques.
Exercice 4: Nous considérons une particule en état de chute libre dans un champ de pesanteur uniforme ~g .
• Déterminer l’hamiltonien de la particule et montrer qu’il est une constante de mouvement,
c’est à dire qu’il est conservé dans le temps.
• Décrire l’espace de phase dans ce cas. Quelle est la trajectoire de la particule dans cet
espace.
• Calculer le nombre des états dans l’espace de phase qui ont une quantité de mouvement
entre p1 ≤ p ≤ p2 et une énergie entre E1 ≤ E ≤ E2 .
Remarque: Le nombre des états doit être proportionel à la superficie F dans l’espace de
phase limitée par p1 ≤ p ≤ p2 et E1 ≤ E ≤ E2 .
• Déterminer l’effet des équations de Hamilton sur le nombre des états calculer dans la
question précédente.
MA, Badis Ydri
61
Exercice 5:
• Écrire l’hamiltonien de l’oscillateur harmonique de masse m et de fréquence angulaire Ω
dans une seul dimension.
• La fonction génératrice d’une transformation canonique (q, p) −→ (Q, P ) de premier type
est donnée par
1
F1 (q, Q) = mΩq 2 cot Q.
2
(3.122)
Calculer la transformation canonique explicitement.
• Calculer le nouvel hamiltonien K(Q, P ). Qu’est ce que vous remarquez.
• Résoudre les nouvelles équations de Hamilton. Déduire les équations de la trajectoire de
l’oscillateur harmonique.
Exercice 6:
Un pendule de longueur l et de masse m oscille autour de son axe d’équilibre
de telle sorte que son point de suspension se déplace sur une parabole y = ax2 . Calculer
l’hamiltonien de systéme et les équations de mouvement. Répéter la question dans l’approximation
quadratique. Résoudre les équations de mouvement et determiner la fréquence de mouvement.
Exercice 7:
Le lagrangien d’un systéme est donné par
L = q̇12 +
q̇22
+ k1 q12 + k2 q̇1 q̇2 .
2
a + bq1
(3.123)
Cacluler l’hamiltonien du systéme et les équations de mouvement de Hamilton.
Exercice 8: Un pendule de masse m et de longueur l oscille dans un plan de telle sorte que
son point de suspension se déplace selon une trajectoire circulaire de rayon a avec une fréquence
angulaire uniforme γ.
• Calculer le lagrangien de systéme.
• Calculer l’hamiltonien de systéme.
• Dériver les équations de mouvement de Hamilton.
Exercice 9:
• Le lagrangien d’un systéme est donné par
L=
m 2 2
(q̇ sin Ωt + q̇qΩ sin 2Ωt + q 2 Ω2 ).
2
Calculer le hamiltonien correspondant et déterminer si il est conservé.
(3.124)
MA, Badis Ydri
62
• Écrire le lagrangien en fonction de la variable
Q = q sin Ωt.
(3.125)
Cacluler le hamiltonien correspondant et déterminer si il est conservé.
Exercice 10:
On donne la transformation
1
Q = log( sin p) , P = q cot p.
q
(3.126)
Montrer directement que cette transformation est canonique.
Exercice 11:
On donne la transformation
Q1 = q1 , Q2 = p2 , P1 = p1 − 2p2 , P2 = −2q1 − q2 .
Montrer que cette transformation est canonique et déterminer sa fonction génératrice.
(3.127)
MA, Badis Ydri
3.8
63
Solutions
Exercice 1:
La position, vitesse et énergie cinétique de pendule sont données par
~r = l(sin θî + cos θĵ).
(3.128)
~v = lθ̇(cos θî − sin θĵ).
(3.129)
1
T = ml2 θ̇2 .
2
(3.130)
L’énergie potentielle de pendule est égale à moins le travail de la force de pesanteur c’est à dire
V = −W = −mg ĵ~r = −mgl cos θ.
(3.131)
Le lagrangien de systéme est
1
L = ml2 θ̇2 + mgl cos θ.
2
(3.132)
Nous calculons maintenant la quantité de mouvement généralisée donnée par
pθ =
∂L
= ml2 θ̇.
∂ θ̇
(3.133)
Le hamiltonien de systéme est calculé comme suit
H = θ̇pθ − L
1 2 2
=
ml θ̇ − mgl cos θ
2
p2θ
=
− mgl cos θ.
2ml2
(3.134)
Les équations de Hamilton sont
θ̇ =
Exercice 2:
pθ
∂H
∂H
=
,
−
ṗ
=
= mgl sin θ.
θ
∂pθ
ml2
∂θ
(3.135)
Les coordonnées généralisées sont r, φ. Le vecteur position est
~r = r~ur , ~ur = cos φî + sin φĵ.
(3.136)
~v = ṙ~ur + rφ̇~uφ , ~uφ = − sin φî + cos φĵ.
(3.137)
Le vecteur vitesse est
L’énergie cinétique et le lagrangien sont
1
1
T = m~v 2 = m(ṙ2 + r2 φ̇2 ).
2
2
(3.138)
MA, Badis Ydri
64
1
1
L = T − V = m~v 2 = m(ṙ2 + r2 φ̇2 ) − V (r).
2
2
Les équations de mouvement de Lagrange sont
∂V
r : mr̈ − mrφ̇2 +
= 0.
∂r
d
(mr2 φ̇) = 0.
dt
Les quantités de mouvement généralisées sont
∂L
= mṙ.
pr =
∂ ṙ
φ:
pφ =
(3.139)
(3.140)
(3.141)
(3.142)
∂L
= mr2 φ̇.
∂ φ̇
(3.143)
L’hamiltonien est donné par
1 2
1 2
pr +
p + V (r).
2m
2mr2 φ
Les équations de mouvement de Hamilton sont
H = ṙpr + φ̇pφ − L =
r : ṙ =
(3.144)
p2φ
pr
∂H
∂V
∂V
∂H
=
, −ṗr =
=− 3 +
⇒ mr̈ − mrφ̇2 +
= 0.
∂pr
m
∂r
mr
∂r
∂r
(3.145)
∂H
pφ
∂H
d
=
,
−
ṗ
=
=
0
⇒
(mr2 φ̇) = 0.
φ
∂pφ
mr2
∂φ
dt
(3.146)
φ : φ̇ =
La coordonnée généralisée φ est une coordonnée cyclique et par conséquent la quantitée de
mouvement généralisée correspondant doit être conservée. Pusique φ décrit la rotation de
systéme, pφ doit être reliée au moment cinétique de systéme. En effet
~ = m~rx~v = mr2 φ̇~ur x~uφ = pφ k̂.
L
Exercice 3:
(3.147)
L’hamiltonien de systéme dans les coordonnées cartésiennes est
p2y
p2x
p2
+
+ z + V (x, y, z).
2m 2m 2m
L’hamiltonien de systéme dans les coordonnées cylindriques est
H=
H=
1
1
p2φ
p2ρ
p2z
+
+
+ V (ρ, φ, z).
2m 2mρ2 2m
L’hamiltonien de systéme dans les coordonnées sphériques est
H=
(3.148)
(3.149)
2
p2φ
p2r
p2
+ V (r, θ, φ).
+ θ2+
2m 2mr
2mr2 sin2 θ
(3.150)
Les vecteurs unitaires cylindriques: ~uρ = cos φî + sin φĵ, ~uφ = − sin φî + cos φĵ k̂.
Les vecteurs unitaires sphériques: ~ur = sin θ cos φî+sin θ sin φĵ+cos θk̂, ~uθ = cos θ cos φî+cos θ sin φĵ−sin θk̂
et ûφ = − sin φî + cos φĵ.
2
MA, Badis Ydri
Exercice 4:
65
L’hamiltonien de systéme est donné par (avec p = mż)
H=
p2
+ mgz.
2m
(3.151)
En utilisant les équations de Hamilton on peut montrer que
∂H
dH
=
= 0 ⇒ H = E.
dt
∂t
(3.152)
La constante de mouvement E est égale à l’énergie de systéme.
L’espace de phase est un espace à deux dimensions où les axes sont donnés par z et la
quantité de mouvement p. La trajectoire de systéme dans cet espace est donnée par
E=
p2
1
p2
+ mgz ⇒ z =
(E −
).
2m
mg
2m
(3.153)
Ceci est l’équation d’une parabole.
Le nombre des états qui ont une quantité de mouvement entre p1 ≤ p ≤ p2 et une énergie
entre E1 ≤ E ≤ E2 est proportionnel á la superficie F dans l’espace de phase limitée par
p1 ≤ p ≤ p2 et E1 ≤ E ≤ E2 . Cette superficie est calulée par l’intégrale suivante
Z
p2
F =
Z
dp
p1
p2
1
(E2 − 2m
)
mg
p2
1
(E1 − 2m
)
mg
E2 − E1
dz =
mg
Z
p2
dp =
p1
E2 − E1
(p2 − p1 ).
mg
(3.154)
Sous l’effet des équations de Hamilton la quantité de mouvement change comme
0
ṗ = −mg ⇒ pi = pi − mgt , i = 1, 2.
(3.155)
La superficie F change alors comme suivant
0
F =
E2 − E1 0
0
(p2 − p1 ).
mg
(3.156)
0
Voir figure 11. En remplaçant, nous obtenons F = F , c’est à dire le nombre des états ne
change pas sous l’effet des équations de Hamilton. Ceci est un exemple sur le théorème de
Liouville.
Exercice 5:
L’hamiltonien d’un oscillateur harmonique dans une seul dimension de masse
m et de fréquence angulaire Ω est donné par
H=
1 2 1
p + mΩ2 q 2 .
2m
2
(3.157)
Pour les fonctions génératrices de premier type on a
∂F1
∂q
= mΩq cot Q.
p =
(3.158)
MA, Badis Ydri
66
P = −
=
∂F1
∂Q
1
1
mΩq 2 2 .
2
sin Q
Nous obtenons la transformation canonique
r
√
2P
sin Q , p = 2mΩP cos Q.
q=
mΩ
(3.159)
(3.160)
On calcule l’hamiltonien
K(Q, P ) = H q(Q, P ), p(Q, P )
= ΩP.
(3.161)
Donc la nouvelle coordonnée généralisée Q est une coordonnée cyclique et par conséquent la
nouvelle quantité de mouvement généralisée P est une constante de mouvement.
La résolution de l’autre nouvelle équation de Hamilton donne
Q̇ =
∂K
= Ω ⇒ Q = Ωt + Q0 .
∂P
(3.162)
Par substitution dans (3.160) nous obtenons l’équation de la trajectoire de l’osillateur harmonique.
Exercice 6:
Nous prenons l’origine au centre de la parabole y = ax2 . Les coordonnées du
point de suspension est x et y = ax2 . Les coordonnées de pendule sont donc
xm = x + l sin θ , ym = y − l cos θ.
(3.163)
L’énergie cinétique est
1
1
2
) + M (ẋ2 + ẏ 2 )
m(ẋ2m + ẏm
2
2
1
1
=
(m + M )(1 + 4a2 x2 )ẋ2 + ml2 θ̇2 + mlθ̇ẋ(cos θ + 2ax sin θ)
2
2
1
1 2
2
=
A(x)ẋ + B θ̇ + C(x, θ)θ̇ẋ.
2
2
T =
(3.164)
L’énergie potentielle est
V = mg(−l cos θ + y) + M gy.
(3.165)
Les quantités de mouvement generalisées sont
Px =
∂T
∂T
= Aẋ + C θ̇ , Pθ =
= B θ̇ + C ẋ.
∂ ẋ
∂ θ̇
(3.166)
MA, Badis Ydri
67
L’inversion de ces équations donne
ẋ =
1
1
(BPx − CPθ ) , θ̇ = (−CPx + APθ ),
∆
∆
(3.167)
Le déterminant est donné par
∆ = AB − C 2
= m2 l2 (sin2 θ + 4a2 x2 cos2 θ − 2ax sin 2θ) + M ml2 (1 + 4a2 x2 ).
(3.168)
En exprimant l’énergie cinétique en termes de quantités de mouvement généralisées nous obtenons
T =
B 2
A 2 C
Px +
P − P x Pθ .
2∆
2∆ θ
∆
(3.169)
L’hamiltonien de systéme est donné par
H=
B 2
A 2 C
Px +
P − Px Pθ + a(m + M )gx2 − mgl cos θ.
2∆
2∆ θ
∆
(3.170)
Les équations de mouvement de Hamilton sont données par
ẋ =
B
C
∂H
C
A
∂H
= Px − Pθ , θ̇ =
= − P x + Pθ .
∂Px
∆
∆
∂Pθ
∆
∆
−Ṗx =
∂H
∂H
, −Ṗθ =
.
∂x
∂θ
(3.171)
(3.172)
Le calcul ici est trés facile mais aussi trés long.
Dans l’approximation quadratique les équations se simplifient considérablement. Nous trouvons les équations de mouvement
ẍ + lθ̈ + gθ = 0 , ẍ +
ml
θ̈ + 2agx = 0.
m+M
(3.173)
La solution est une fonction harmonique avec la même fréquence angulaire γ c’est à dire
x = A exp(iγt) , θ = B exp(iγt).
(3.174)
En remplacant dans les équations de mouvement nous obtenons la fréquence angulaire
q
g(1 + 2al) ± g 2 (1 + 2al)2 − 8alg 2 MM
+m
2
γ =
.
(3.175)
M
2 M +m l
MA, Badis Ydri
Exercice 7:
68
On calcule les quantités de mouvement généralsiées
p1 =
∂L
2
∂L
= 2q̇1 + k2 q̇2 , p2 =
= k2 q̇1 +
q̇2 .
∂ q̇1
∂ q̇2
a + bq12
(3.176)
L’inversion de ces équations donne
q̇1 =
1
2
1
(
p − k2 p2 ) , q̇2 = (−k2 p1 + 2p2 ).
2 1
∆ a + bq1
∆
(3.177)
Le déterminant est donné par
4
− k22 .
a + bq12
(3.178)
p21
p22 k2 p1 p2
q̇22
+
k
q̇
q̇
=
+
−
.
2
1
2
a + bq12
∆(a + bq12 ) ∆
∆
(3.179)
∆=
On calcule
q̇12 +
L’hamiltonien est donné par
H = p1 q̇1 + p2 q̇2 − L
p21
p22 k2 p1 p2
=
+
−
− k1 q12 .
∆(a + bq12 ) ∆
∆
(3.180)
Les équations de mouvement de Hamilton
q̇1 =
2p1
k2 p2
∂H
=
−
.
2
∂p1
∆(a + bq1 )
∆
(3.181)
∂H
2p2 k2 p1
=
−
.
∂p2
∆
∆
(3.182)
q̇2 =
−ṗ1 =
−ṗ2 =
∂H
.
∂q1
(3.183)
∂H
= 0.
∂q2
(3.184)
Seulement la troixiéme équation nécessite un calcule un peu long.
MA, Badis Ydri
Exercice 8:
pension est
69
Nous prenons l’origine au centre de cercle. Les coordonnées du point de sus-
xs = a cos γt , ys = −a sin γt.
(3.185)
Les coordonnées de la masse m sont
xm = a cos γt + l sin θ , ym = −a sin γt + l cos θ.
(3.186)
On calcule l’énergie cinétique
1
1
T = ml2 θ̇2 + ma2 γ 2 + maγlθ̇ sin(θ − γt).
2
2
(3.187)
On calcule l’énergie potentielle
V = −mga sin γt + mgl cos θ.
(3.188)
Le lagrangien de systéme est donné par
1
L = ml2 θ̇2 + malγ 2 sin(θ − γt) + mgl cos θ.
2
(3.189)
La quantité de mouvement généralisée est donnée par
pθ =
∂L
= ml2 θ̇.
∂ θ̇
(3.190)
L’hamiltonien est donné par
H = θ̇pθ − L
p2θ
=
− malγ 2 sin(θ − γt) − mgl cos θ.
2
2ml
(3.191)
Les équations de Hamilton sont
θ̇ =
−ṗθ =
∂H
pθ
=
.
∂pθ
ml2
∂H
= −malγ 2 cos(θ − γt) + mgl sin θ.
∂θ
(3.192)
(3.193)
MA, Badis Ydri
Exercice 9:
70
La quantité de mouvement généralisée associée à q est donnée par
p=
∂L
m
= (2q̇ sin2 Ωt + qΩ sin 2Ωt).
∂ q̇
2
(3.194)
L’inversion ici est simple parce que on a un seul variable. L’hamiltonien est donc donné par
h = pq̇ − L
m
1
mΩq sin 2Ωt 2
2 2
=
p−
−q Ω .
2 m2 sin2 Ωt
2
Cet hamiltonien n’est pas conservé.
Le lagrangien en fonction de la variable Q est donné par
m 2
L=
Q̇ + Ω2 Q2 .
2
(3.195)
(3.196)
Ceci est l’hamiltonien d’un oscillateur harmonique. La quantité de mouvement généralisée
associée à Q est donnée par
P =
∂L
p
= mQ̇ =
.
sin Ωt
∂ Q̇
(3.197)
L’hamiltonien dans ce cas est conservé donné par
H=
m P2
− Ω2 Q2 .
2
2 m
(3.198)
Exercice 10:
Nous savons que q et p satisfont les équations de mouvement de Hamilton.
Nous calculons en premier lieu
q̇ =
∂H
∂p
−ṗ =
∂P ∂H ∂Q ∂H
+
∂p ∂P
∂p ∂Q
q ∂H
∂H
= − 2
+ cot p
.
∂Q
sin p ∂P
=
∂H
∂q
∂P ∂H ∂Q ∂H
+
∂q ∂P
∂q ∂Q
∂H 1 ∂H
= cot p
−
.
∂P
q ∂Q
(3.199)
=
(3.200)
L’inversion de ces équations donne
∂H
∂P
q̇
= − + ṗ cot p.
q
∂H
q
= −q̇ cot p +
ṗ.
∂Q
sin2 p
(3.201)
(3.202)
MA, Badis Ydri
71
De l’autre côté, si nous supposons que la transformation canonique est limitée on va avoir
K = H. Donc, nous calculons de l’autre côté
∂H
∂Q
∂Q
= Q̇ =
q̇ +
ṗ.
∂P
∂q
∂p
(3.203)
∂H
∂P
∂P
= −Ṗ = −
q̇ −
ṗ.
∂Q
∂q
∂p
(3.204)
Nous trouvons alors, par comparaison, les même équations.
Exercice 11:
Il est évident que cette transformation canonique est limitée c’est à dire la
fonction génératrice ne dépend pas de temps et par conséquent K = H. La fonction génératrice
satisfait
pi q̇i − H = Pi Q̇i − K +
dF
.
dt
(3.205)
Nous prenons une fonction génératrice de premier type F = F1 (qi , Qi ) construit par une transformation de Legendre d’une autre fonction F13 qui dépend de p1 , q2 et Qi c’est à dire
F = F1 (qi , Qi ) = q1 p1 + F13 (p1 , q2 , Qi ).
(3.206)
En utilisant la transformation canonique nous pouvons écrire la condition au-dessu sous la
forme
p2 q̇2 = (p1 − 2p2 )q̇1 + (−2q1 − q2 )ṗ2 +
∂F13
∂F13
∂F13
∂F13
ṗ1 +
q̇1 +
q̇2 +
ṗ2 + q1 ṗ1 .
∂p1
∂Q1
∂q2
∂Q2
(3.207)
Nous devons avoir
∂F13
= −q1 = −Q1 .
∂p1
(3.208)
∂F13
= p2 = Q 2 .
∂q2
(3.209)
∂F13
= −p1 + 2p2 = −p1 + 2Q2 .
∂Q1
(3.210)
∂F13
= 2q1 + q2 = 2Q1 + q2 .
∂Q2
(3.211)
La solution de ces équations différentielles est donnée par
F13 = 2Q1 Q2 + q2 Q2 − p1 Q1 .
(3.212)