Syst`emes linéaires et matrices

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Systèmes linéaires et matrices
1
Des exemples de système d’équations linéaires
Exemple 1 :

 x1 + 2x2 − x3 = 3
x2 + 2x3 = 2

x3 = 0
a pour solution unique (x1 , x2 , x3 ) = (−1, 2, 0) .
Exemple 2 : Soient les équations E1, E2, E3 :

 x1 + 2x2 − x3 = 3
x2 + 2x3 = 2

2x2 + 4x3 = −3
si on écrit E1, E2, E3 – 2 E2 , le système devient :

 x1 + 2x2 − x3 = 3
x2 + 2x3 = 2

0 = −7
La dernière équation ne peut jamais être vérifiée. Il n’y a pas de solution.
(on pourrait dire aussi que l’ensemble des solutions est vide ou qu’il y a zéro solution).
Exemple 3 : Soient les équations E1, E2, E3 :

 x1 + 2x2 − x3 = 3
x2 + 2x3 = 2

2x2 + 4x3 = 4
Si on écrit E1 ,E2 ,E3 – 2 E2 alors :

 x1 + 2x2 − x3 = 3
x2 + 2x3 = 2

0=0
on a une infinité de solutions (x1 , x2 , x3 ) telles que x3 = x3 , x2 = 2 − 2x3 , x1 = −1 + 5x3 et
que l’on peut présenter, en notant x3 = t où t est un réel quelconque, sous la forme :

 x1 = −1 + 5t
x2 = 2 − 2t

x3 = t
Ces 3 exemples donnent les seules réponses possibles concernant le nombre de solutions d’
un système d’équations linéaires (0, 1 ou ∞ ).
ATTENTION au vocabulaire employé: il vient de l’écriture matricielle AX = B où l’inconnue
est une matrice colonne X .
Dans l’ex.1 il y a un triplet solution appelé solution unique . . . ne jamais dire qu’il y a 3 solutions!
Genevive Averous
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Résolution d’un système linéaire à p équations et n inconnues

a11 x1 + a12 x2 + . . . . . . + a1n xn = b1




a
 21 x1 + a22 x2 + . . . . . . . + a2n xn = b2
.....


.....



ap1 x1 + ap2 x2 + . . . . . . + apn xp = bp
(1)
Les 3 opérations élémentaires suivantes ne changent pas les solutions du système élémentaire :
Ei Ej deviennent Ej Ei soit un échange de position de 2 équations
Ei devient s×Ei soit la multiplication d’une équation par un scalaire s non nul
Ei et Ej remplacées par Ei et Ej+s×Ei pour i différent de j
Exemple 4:


x1 + 2x2 − x3 = 3
x2 + 2x3 = 2

3x1 + 8x2 + a x3 = b
devient :
d’où
E1
E2
E3


x1 + 2x2 − x3 = 3
x2 + 2x3 = 2

0 x1 + 2 x2 + (a + 3) x3 = b − 9
E3 − 3E1


x1 + 2x2 − x3 = 3
x2 + 2x3 = 2

0 x2 + (a − 1) x3 = b − 13
(E3 − 3E1) − 3E2
pour a différent de 1 on trouve une solution unique (voir l’ex. 1 où a = 2 et b = 13 ),
pour a = 1 et b différent de 13 il n’y a pas de solution (voir l’ex. 2 où a = 1 et b = 6),
pour a = 1 et b = 13 il y a une infinité de solutions ( voir l’ex. 3 où a = 1 et b = 13 ).
Le but des 3 opérations élémentaires est de faire apparaı̂tre un système d’ équations plus simples
qui à défaut d’avoir une forme triangulaire aura une forme dite échelonnée(voir les ex. 1, 2, 3
et 4). C’est le principe de la méthode de Gauss.
Définition 1 : un système d’équations linéaires sera dit ”écrit sous forme échelonnée”
lorsque les équations commencent par un nombre strictement croissant de coefficient zéro à
mesure que l’indice de l’équation augmente.
Soit le système de p équations échelonnées à n inconnues où les coefficients ã ne sont pas les a
de départ et où les p − r dernières équations ont le premier membre nul.

ã11 x1 + ã12 x2 + . . . . . . + ã1n xn = c̃1




 ã21 x1 + ã22 x2 + . . . . . . . + ã2n xn = c̃2
.....


.....



ãp1 x1 + ãp2 x2 + . . . . . . + ãpn xp = c̃p
L’existence des solutions dépend du fait que les p − r second membres sont ou ne sont pas nuls.
1. si il y a une équation de type (*) 0 + 0 + +0 = c̃i avec c̃i différent de zéro ,les p − r second
membres ne sont pas tous nuls alors il n’y a pas de solution,
2. si il n’y a pas d’ équation de type (*) , les p − r dernières équations sont 0 = 0 alors il
existe une ou des solutions ,
Genevive Averous
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Les inconnues correspondant au premier coefficient non nul de chaque équation sont des
inconnues principales (ou variables pivot ) leur nombre est donc r ,
Les n−r autres inconnues sont arbitraires, ce sont des inconnues non principales (ou variables
libres, ou paramètres ou inconnues secondaires ),
Donc si n = r il y a une solution unique ,
Dans le cas contraire n > r il y a une infinité de solutions.
REMARQUE FONDAMENTALE : Soit A la matrice formée par les coefficients aij :



A=


a11 a12 .. a1n
a21 a22 .. a2n
..
..
ap1 ap2 .. apn






r est le nombre de premiers membres non nuls dans l’écriture échelonnée du système d’équations,
r est un invariant de la matrice A , c’est le rang de A .
Il existe d’autres définitions du rang de A bien meilleures que celle donnée ici !!!
En revanche il peut y avoir plusieurs choix possibles pour les r inconnues principales et par suite
pour les n − r non principales.
Voir l’ex. 2 où un autre choix aurait pu être de résoudre x1 et x3 en fonction de x2 et alors x2
devenait inconnue secondaire, ou bien de résoudre x2 et x3 en fonction de x1 .
3
Ecriture matricielle
On écrit le système d’équations linéaires (1) sous la forme AX = B , où X et B sont les matrices
colonnes respectivement formées des inconnues et des seconds membres.
3.1
Lorsque B = 0
Alors AX = 0, il y a toujours X = 0 pour solution et 2 cas sont possibles :
1. Si n = r , X = 0 est solution unique,
2. Si n > r , il y a une infinité de solutions
(dépendant de n − r inconnues non principales)
Proposition 1 : si X est solution de AX = 0 alors tX est solution de AX = 0 ,
si X1 et X2 sont solutions de AX = 0 alors X1 + X2 est aussi solution de AX = 0 .
Cet ensemble de solutions est appelé l’espace vectoriel des solutions de AX = 0.
3.2
Lorsque B est quelconque
Théorème 1
de structure, 3 cas sont possibles :
1. il n’y a pas des solution (cas d’ équations (*) , équations impossibles ),
2. il y a solution unique ( cas pas d’équation (*) et n = r ),
3. il y a une infinité de solutions (cas pas d’équation (*) et n > r) ,
les solutions sont de la forme X = X p + X ◦ , où X p est une solution particulière de
l’équation complète AX = B , et X ◦ est solution de l’équation homogène associée AZ = 0
.
Genevive Averous
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Calcul matriciel
A matrice de format (m, n) m lignes et n colonnes dont les éléments sont aij réels ou complexes,
i est l’indice de ligne 1 ≤ i ≤ m et j est l’indice de colonne 1 ≤ j ≤ n .
A matrice carrée de format (n, n) sera dite d’ordre n .
4.1
Opérations élémentaires
1) Addition définie sur les matrice de même format :
A + B = C où C est définie avec cij = aij + bij
2) Multiplication par un scalaire (nombre réel ou complexe) s :
s A = B où bij = s aij
3) Produit (ou multiplication) matricielle définie que lorsque les formats le permettent.
A format
(m, n) et B format (n, p) alors C = AB format (m, p) où
Pk=n
cij = k=1 aik bkj = ai1 b1j + ai2 b2j + ... +ain bnj


µ
¶
µ
¶
1 −2 2 0
3 −1 2
6 −10 8 −1


−1 2 0 1
A=
et B =
alors AB =
0 2 4
2
0
4 2
1 −1 1 0
ATTENTION BA n’existe pas car les formats sont incompatibles.
4.2
Transposition
La transposée de A est notée At (parfois AT , parfois t A , en Matlab A0 )
t
A de format (m, n) alors At de format
 (n, m) et les coefficients de A sont ãij = aji
µ
¶
3 0
3 −1 2
t

−1 2 
A=
alors A =
0 2 4
2 4
La transposée est obtenue en échangeant les lignes et les colonnes.
4.3
Cas des matrices carrées
Le produit
n’est
: AB et
µ
¶ pas commutatif
µ
¶
µ BA existent
¶ mais AB
µ 6= BA ¶
−1 1
0 1
2 −1
3 0
A=
B=
AB =
BA =
3 0
2 0
0 3
−2 2
Un produit de 2 matrices non nulles peut être une matrice nulle
AB =
pasµnécessairement
que µ
A = 0 ou
µ 0 n’entraine
¶
¶
¶B = 0
0 0
0 1
0 0
A=
B=
AB =
0 1
0 0
0 0
A symétrique ⇐⇒ At = A
A antisymétrique ⇐⇒ At = −A
La diagonale principale est formée par les éléments aii
Pi=n
La trace de A est la somme des éléments de cette diagonale principale tr A = i=1
aii
La matrice unité est une matrice dont tous les éléments sont nuls sauf ceux de la diagonale
principale qui sont égaux à 1
On a AI = A et IA = A où I est la matrice unité ou identité
L’inverse d’une matrice A , si il existe, est la matrice M telle que AM = M A = I
alors cet inverse est noté A−1 .
On montre que si AM = I alors M A = I et donc M = A−1 .
de même si M A = I alors AM = I et donc M = A−1
Genevive Averous
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