1 Exercices d`introduction

Université Paris 7 - Denis Diderot
2013-2014
TD 2 : Introduction à la cinématique à une dimension
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Exercices d’introduction
Exercice 1 - Notion de taux d’accroissement moyen
1. La figure 1 est une fonction P(t) qui représente la position P d’un objet selon une
direction en fonction du temps t.
(a) Ecrire sous la forme d’une équation le taux d’accroissement moyen de la fonction P
entre p et p’.
(b) En quelle unité sera exprimée ce taux d’accroissement moyen?
(c) Que représente graphiquement ce taux d’accroissement moyen pour la fonction P?
(d) Que représente physiquement pour l’objet le taux d’accroissement moyen de la
fonction P?
2. Si P(t) est une fonction qui décrit le volume d’un fluide qui varie au cours du temps,
que représente le taux d’accroissement moyen de P et quelle est son unité?
3. Si P(t) est une fonction qui décrit l’énergie fournit par un barrage au cours du temps,
que représente le taux d’accroissement moyen de P et quelle est son unité?
4. Si l’unité du taux d’accroissement moyen de P s’exprime en m/s2 que représente physiquement P et en fonction de quelle grandeur s’exprime P?
Exercice 2 - Vitesses moyennes
1. En Août 2009, le jamaı̈cain Usain Bolt a établi un nouveau record du monde en courant
100m en 9,58 s.
(a) Quelle était sa vitesse moyenne ?
(b) Serait-il en infraction à cette allure à l’abord d’une école où la vitesse est limitée à
30 km/h ?
2. Un voyage en voiture dure 4h30 min à 80 km/h, en faisant une demi-heure de pause.
Combien de temps gagnerait-on en roulant à 100km/h sans faire de pause ?
3. D’après le graphe de la figure 2 représentant l’équation horaire x(t), trouvez la vitesse
moyenne entre les instants suivants :
(a) 0 et 2s;
(b) 1 et 3s.
Fig. 2
Fig. 3
4. D’après le graphe de la figure 3 représentant l’équation horaire x(t), trouvez la vitesse
moyenne pour chacun des intervalles suivants : 0 à 2s; 1 à 3s; 2 à 4s; 4 à 6s.
Exercice 3 - Vitesses instantanées
1. Que signifie une vitesse ”à un instant donné” autrement nommée vitesse instantanée?
2. À partir du graphe de la figure 3, estimez la vitesse instantanée pour chacun des instants
suivants : 1s; 2.5s; 3.5s; 4.5s; 5s.
3. Le mouvement représenté sur ce graphe est physiquement impossible, pourquoi ?
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Mise en application
Exercice 1 - Mouvement rectiligne
Deux points matériels P1 et P2 se déplacent sur une trajectoire rectiligne au long de l’axe
x selon une loi horaire du type:
x(t) = At2 + Bt + C
x étant exprimé en mètres et t en secondes. En unités du S.I. les paramètres A,B et C valent:
A1 = 0, B1 = 20 et C1 = 105 pour P1 et A2 = 5, B2 = 0 et C2 = 0 pour P2 . Répondez aux
questions suivantes :
1. Quelles dimensions physiques ont les quantités A,B et C?
2. Quel est l’état des positions et des vitesses des deux points au temps t = 0 s?
3. Pour quelle valeur de t les vitesses des deux points sont égales? Et quelle est la distance
entre les deux points à ce temps?
4. Pour quelle valeur du temps t (> 0) P2 “double” P1 ?
5. Quelle est la vitesse relative de P2 par rapport a P1 au temps t = 2.6 s? Et de P1 par
rapport a P2 ?
6. Est-ce que les résultats obtenus précédemment changeraient si au lieu d’une trajectoire
rectiligne on considérait une trajectoire circulaire?
Exercice 2 - Sur la route
p(m)
p(m)
( )
p(m)
( )
4
6
6
4
4
2
2
0
0
‐2
0
2
4
6
t(s)
‐2
3
2
1
0
2
4
6
t(s)
0
‐2
‐2
observation 1
0
observation 2
1
2
3
4
5
6
t(s)
observation 3
Un véhicule électrique se déplace sur une route en ligne droite durant 6 secondes. Les
graphiques ci-dessus représentent la position du véhicule à partir du moment où il démarre
en fonction du temps durant 3 observations différentes de 6 secondes (figure 1 : observation
1, figure 2 : observation 2, ...). Ces graphiques ne représentent ni la trajectoire du véhicule,
ni le profil de la route, mais ce qu’on appelle l’équation horaire du véhicule.
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1. Dans chacune des 3 phases,
(a) évaluer la vitesse moyenne du véhicule entre les instants t=0 et t=6 secondes.
(b) évaluer la vitesse moyenne du véhicule entre les instants t=0 et t=3 puis entre t=3
et t=6 et comparer les résultats obtenus
(c) évaluer la vitesse moyenne du véhicule entre les instants t=0 et t=1, t=1 et t=2 ...
t=5 et t=6.
2. Vitesse instantanée
(a) Uniquement pour la phase 3, estimer la vitesse du mobile aux instants t=0, t=0.5,
t=1, ... et à partir des résultats obtenus esquisser un graphique de la vitesse du
véhicule en fonction du temps.
(b) Décrire le mouvement du véhicule (avance, recule, accélère, freine).
Exercice 3 - Karaté
Lorsqu’on donne un coup de poing au karaté, le mouvement démarre avec le poing au repos
au niveau de la taille et le poing est rapidement relevé jusqu’à ce que le bras soit totalement
en extension. La figure ci-dessous donne la vitesse du poing pour une personne entrainée. A
quel niveau le poing se trouve-t-il :
1. Au temps t = 50ms
2. Quand la vitesse du poing est maximale.
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Approfondissement
Exercice 1 - Mouvement d’une particule
La position d’une particule se déplaçant sur une trajectoire rectiligne le long de l’axe x
est donnée en centimètres par l’équation suivante x = 9.75+1.5t3 où t est donné en secondes.
1. Calculez la vitesse moyenne entre les instants t = 2 s à t = 3 s.
2. Calculez la vitesse instantanée aux instants :
(a) t = 2 s
(b) t = 3 s
(c) t = 2.5 s
(d) À l’instant auquel la particule se trouve à mi-chemin entre ses positions à t = 2 s et
t = 3 s.
3. Tracez l’équation horaire pour ce déplacement et faites apparaı̂tre vos réponses aux
questions précédentes sur le graphe.
Exercice 2 - Paris-Marseille
Vous vous rendez en voiture de Paris à Marseille. A l’aller, la moitié du temps vous
roulez à 55 km.h−1 et l’autre moitié à 90 km.h−1 . Au retour, vous conduisez sur la moitié de
la distance à 55 km.h−1 et l’autre moitié à 90 km.h−1 .
1. Quelle est votre vitesse moyenne de Paris à Marseille ?
2. Quelle est votre vitesse moyenne de Marseille à Paris ?
3. Quelle est votre vitesse moyenne sur l’aller-retour ?
4. Représentez x(t) sur le trajet Paris-Marseille. Indiquez comment la vitesse moyenne
peut être retrouvée sur ce graphe.
Exercice 3 - Le train et la mouche
Un train rentre en gare la tête du train a la loi horaire suivante :
x(t) = −0.64 t2 + v0 t
x étant exprimé en mètres et t en secondes. x = 0 m correspond au début du quai.
1. Déterminez la valeur du paramètre v0 pour que la tête du train s’arrète à x = 100 m. Et
utilisez ce résultat pour repondre aux questions suivantes.
2. Déterminez la vitesse moyenne entre x = 0 m et le point d’arrêt.
3. Si le train fait 60 m de long, écrivez la loi horaire d’un point situé au milieu du train.
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4. Une mouche qui vole sur les rails à une vitesse de 0.5 m/s en direction opposée a celle
du train se trouve à l’instant t = 0 s à x = 50 m. Déterminez l’instant (t < tstop ) et
la position auxquels la mouche touche la vitre du conducteur. Calculez également la
vitesse relative du train par rapport à la mouche à cet instant.
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