EQUATIONS DE DROITES SYSTEMES D`EQUATIONS

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EQUATIONS DE DROITES SYSTEMES D'EQUATIONS
I Les différentes équations de droites :
1) Equation réduite d'une droite :
Une fonction affine f (x) = a x + b est représentée par une droite d'équation y = a x + b.
Cette équation est une équation réduite de la droite .
Si a = 0 y = b est l'équation réduite d'une droite parallèle à l'axe des abscisses.
Si b = 0 y = a x est l'équation réduite d'une droite passant par l'origine.
Si a 0 et b 0 y = a x + b est l'équation réduite d'une droite oblique.
Il existe aussi des droites qui sont parallèles à l'axe des ordonnées.
Tous les points de ce type de droite ont la même abscisse donc l'équation réduite d'une droite parallèle
à l'axe des ordonnées est : x = k avec k IR.
Attention : Ce type de droite ne représente pas une fonction !
Comment calculer l'équation réduite d'une droite connaissant les coordonnées de deux points:
Exemple : Retrouver par le calcul l'équation de la droite (AB) avec A ( – 1 ; 2 ) et B( 5 ; –3 )
On procède comme pour retrouver la fonction affine telle que f( – 1 ) = 2 et f( 5 ) = – 3.
Calcul du coefficient directeur m =
yB – yA
–3–2
5
=
= – .
xB – xA
5+1
6
5
x+p
6
5
On utilise les coordonnées de A ( – 1 ; 2 )
2=–
(–1)+p
6
5
7
La droite (AB) admet donc pour équation réduite y = – x +
6
6
Calcul de l'ordonnée à l'origine (AB) : y = –
p=
7
6
2) Equation cartésienne d'une droite :
Exemple : Transformer l'équation réduite y =
y=
1
x+7
2
1
x–y+7=0
2
1
x + 7 en équation cartésienne.
2
x – 2y + 14 = 0 Cette équation est une équation cartésienne de la droite.
On appelle équation cartésienne d'une droite (d) une équation de (d) sous la forme a x + b y + c = 0
3) Droites parallèles :
Deux droites seront parallèles si elles ont le même coefficient directeur.
Pour montrer que deux droites sont parallèles, il faudra déterminer leur équation réduite.
Remarques :
Deux droites seront confondues si elles ont la même équation réduite.
Deux droites seront strictement parallèles si elles ont le même coefficient directeur mais pas la même
ordonnée à l'origine.
Deux droites seront sécantes si elles n'ont pas le même coefficient directeur.
Elles n'ont alors qu'un seul point d'intersection.
Les coordonnées de ce point pourront être déterminées par la résolution d'un système d'équations.
Cette résolution pourra être graphique ou algébrique.
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Ch6bis Equations de droites Systèmes d'équations 2010–2011
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II Résolutions des systèmes linéaires :
1) Définitions :
a) On appelle équation linéaire à deux inconnues x et y une équation du type a x + b y + c = 0
avec a, b, c des réels quelconques.
b) Un système d'équations linéaires à deux inconnues x et y et à deux équations est de la forme
ax+by+c=0
a' x + b' y + c' = 0
c) Résoudre un système d'équations linéaires à deux inconnues x et y et à deux équations ,
c'est trouver tous les couples ( x ; y ) vérifiant simultanément les deux équations .
2) Résolution graphique d'un système linéaire :
ax+by+c=0
Soit a' x + b' y + c' = 0
un système à deux inconnues.
–ax–c
c
si b 0 et x = – si b = 0
b
a
Donc elle peut être considérée comme l'équation d'une droite ( D ).
De même a' x + b' y + c' = 0 est une équation de la droite ( D' ).
L'équation a x + b y + c = 0 devient y =
On appelle ce type d'équation, une équation cartésienne de droite.
Les solutions du système sont donc les coordonnées des éventuels points d'intersection des deux
droites.
Méthode : Pour résoudre graphiquement un système linéaire, on mettra les deux équations sous la
forme y = ax + b puis on tracera les droites correspondantes.
Plusieurs cas sont possibles :
a) Si ( D ) et ( D' ) sont confondues c'est–à–dire si elles ont la même équation réduite
alors l'ensemble des solutions est la droite ( D ) toute entière.
Il y a une infinité de solutions : tous les couples de coordonnées vérifiant l'équation de ( D ).
S = { (x ; y) tels que a x + b y + c = 0 } = ( D ).
b) Si ( D ) et ( D' ) sont parallèles mais non confondues c'est–à–dire
si elles ont le même coefficient directeur mais pas la même ordonnée à l'origine
alors il n'y a pas de point d'intersection entre les deux droites
Il n'y a pas de solution au système donc S = .
c) Si ( D ) et ( D' ) sont sécantes c'est–à–dire si elles n'ont pas le même coefficient directeur
alors il n'y a qu'un seul point d'intersection entre les deux droites.
La solution du système est unique :
Ce sont les coordonnées du point d'intersection de ( D ) et de ( D' ). S = { ( x0 ; y0 ) }
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Avant de se lancer dans la résolution graphique d'un système linéaire , il convient de transformer
les équations cartésiennes en équations réduites puis de vérifier quel sera le nombre de solutions du système :
si les coefficients directeurs sont les mêmes et les ordonnées à l'origine différentes
alors les deux droites sont strictement parallèles et le système n'a pas de solution. S =
Inutile de faire le dessin !
si les coefficients directeurs et les ordonnées à l'origine sont les mêmes
alors les deux droites sont confondues et le système a une infinité de solutions .
La solution graphique est la droite toute entière. Inutile de faire le dessin !
si les coefficients directeurs sont différents alors le système a une unique solution.
Il faut alors tracer les droites et lire les coordonnées de leur point d'intersection.
3 x – 7y = 4
Exemple : Résoudre graphiquement le système – 4x + 3 y = 2
3 x – 7y = 4
– 4x + 3 y = 2
3
4
x – (d1)
7
7
4
2
y = x + (d2)
3
3
y=
Les droites (d1) et (d2) n'ont pas le même coefficient directeur donc elles sont sécantes.
Les coordonnées de A sont environ ( – 1,4 ; – 1,2 ) donc S = { ( – 1,4 ; – 1,2 ) }
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3) Résolution par le calcul ( algébrique ):
Par substitution :
ax+by+c=0
a' x + b' y + c' = 0
Méthode de résolution par substitution :
on vérifie que le système a une seule solution en écrivant les deux équations réduites.
on a alors isolé l' inconnue y.
on remplace ensuite , dans l'équation (2), cette inconnue par l'expression trouvée dans l'équation (1).
3 x – 7y = 4
Exemple : Résoudre par substitution le système – 4x + 3 y = 2
3 x – 7y = 4
– 4x + 3 y = 2
3
4
x – (d1)
7
7
4
2
y = x + (d2)
3
3
y=
Les droites (d1) et (d2) n'ont pas le même coefficient directeur donc elles sont sécantes.
Le système a donc une unique solution.
3
4 4
2
3
4
2 4
x– = x+
x– x= +
7
7 3
3
7
3
3 7
4
2 4
26
2
22
y= x+ =
(–
)+ =–
3
3 3
19
3
19
S={(–
–
19
26
x=
21
21
– 19 x = 26
x=–
26
19
26
22
;–
)}
19
19
Par élimination ou combinaisons linéaires :
Méthode de résolution par combinaisons linéaires :
on choisit l'inconnue à éliminer : x ( ou y) .
on multiplie chacune des deux équations par un coefficient bien choisi pour faire apparaitre le
même nombre de x (ou de y ) dans chaque équation.
on ajoute ensuite membre à membre chaque équation. L'inconnue choisie disparait.
On peut donc calculer l'autre.
Puis on remplace l'inconnue par sa valeur dans une des deux équations du départ pour trouver la 2è
inconnue.
3 x – 7y = 4
Exemple : Résoudre par élimination le système – 4x + 3 y = 2
3 x – 7y = 4 ( 4 )
– 4x + 3 y = 2 ( 3 )
12 x – 28y = 16 (1)
– 12x + 9 y = 6 (2)
On additionne terme à terme (1) et (2) : – 19 y = 22
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dans la première équation :
19
22
78
26
3x–7y=4
3x + 7
=4
3x=–
x=–
19
19
19
26
22
S={(–
;–
)}
19
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On remplace y par –
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y=–
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