ANGLES ET POLYGONES I) Angle inscrit et angle au centre : 1) Définition: Angle inscrit : Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet est un point du cercle et dont les côtés coupent le cercle en des points distincts du sommet. La partie du cercle comprise comprise entre les deux côtés de l’angle s’appelle l’arc intercepté. est un angle inscrit dans le ACB cercle interceptant l’arc AB . 2) Définition : Angle au centre: centre Un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre d’un cercle et dont les côtés coupent le cercle en deux points distincts. La partie du cercle comprise entre les deux côtés de l’angle s’appelle l’arc intercepté. est un angle au centre AOB interceptant l’arc AB. 1 3) Activité: 4) Propriété 1: Si deux angles sont inscrits dans un même cercle et si ils interceptent le même arc alors ils ont la même mesure. et ANB sont deux angles AMB inscrits dans un même cercle et interceptant l’arc AB, donc = mesure ANB mesure AMB 5) Propriété 2: Si un angle inscrit dans un cercle et un angle au centre relatif à ce cercle interceptent le même arc alors l’angle au centre mesure le double de l’angle inscrit. est un angle inscrit dans AMB est un angle un cercle et AOB au centre relatif au même cercle et ces deux angles interceptent l’arc AB donc = 2×mesure mesure AOB 2× AMB 6) Exemple : Soit ABD un triangle équilatéral de 4 cm de côté et C le cercle circonscrit crit au triangle ABD. Soit M un point de C situé sur le même arc que le point D et soit O le centre de C. a) Faire une figure. , AMB et AOB . Justifier. b) Déterminer la mesure des angles ADB 2 Démonstration : Soientt trois points A, B et M d’un cercle de centre O. Suivants leurs positions, on peut obtenir trois cas différents. Premier cas : Dans le triangle isocèle OAM, on a MAO AOM 180° OMA MAO or OMA AOM 180° 2OMA 180° 2OMA AOM De plus, AOM 180° BOA 180° BOA AOM D’où 180° BOA 180° 2OMA BOA Donc 2OMA Deuxième cas : D’après le premier cas 2AMN et AON 2NMB NOB Donc NOB 2AMN 2NMB AON 2AMN AOB 2 NMB 2AMB AOB 2 En conclusion, l’angle ’angle au centre a donc une mesure deux fois plus grande que celle de l’angle inscrit qui intercepte le même arc. Donc deux angles inscrits, interceptant le même arc, ont la même mesure mesure (la moitié de la mesure de l’angle au centre correspondant). 3 Troisième cas : D’après le premier cas 2NMA et NOA 2NMB NOB Donc NOA 2NMB 2NMA NOB 2NMB AOB 2 NMA 2AMB AOB 2 Conclusion identique à celle du premier cas. II) Polygone régulier : 1) Définition : Un polygone est régulier lorsque tous tous ses côtés ont la même longueur et tous ses angles ont la même mesure. Triangle équilatéral Carré 4 2) Activité : 3) Propriété : Un polygone régulier à n côtés est inscriptible dans un cercle. Tous les angles au centre relatifs à ce cercle et déterminés par deux sommets consécutifs du polygone, ont la même mesure : ° . 4) Exemple : a) Construire un triangle équilatéral ABC de centre O tel que OA = 2,5 cm. b) Construire un carré ABCD de centre O tel que OB = 3,5 cm. c) Construire un hexagone régulier ABCDEF de centre O tel que OC = 4 cm. d) Construire un octogone régulier ABCDEFGH de 3 cm de côté. Justifier. 5