UNIVERSITÉ DE CERGY
U.F.R. Economie et Gestion
Licence d’Économie et Gestion
L2 - S3
PROBABILITÉS
Examen - Seconde session - Juin 2012 - 2 heures
Les exercices sont indépendants et peuvent être traités
dans l’ordre choisi par le candidat.
Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction.
CALCULATRICES INTERDITES
LES PORTABLES DOIVENT ÊTRE DÉBRANCHÉS ET RANGÉS.
Exercice 1 - 7 points
On dispose de trois urnes, U1 , U2 et U3 . L’urne U1 contient 3 boules rouges et 3 boules
blanches, l’urne U2 contient 2 boules rouges et 4 boules blanches, l’urne U3 contient 4 boules
rouges et 2 boules blanches.
On effectue deux tirages :
• Premier tirage : on tire 3 boules simultanément de l’urne U1 .
• Second tirage : on tire 3 boules simultanément d’une des deux autres urnes de la manière
suivante :
– si on a obtenu 0 ou 1 boule blanche lors du premier tirage, on effectue ce deuxième tirage
dans U2 ,
– sinon, on effectue ce deuxième tirage dans U3 .
On note X le nombre de boules blanches obtenues lors du premier tirage, Y le nombre de
boules blanches obtenues lors du deuxième tirage et Z = X + Y le nombre total de boules
blanches obtenues lors de cette expérience aléatoire.
1. Reconnaître la loi de probabilité de X, en donner les paramètres, puis représenter cette
lois dans un tableau. Calculer E(X).
2. Donner (sous forme de tableau) la loi conditionnelle de Y sachant U2 (i.e. X = 0 ou X =
1). De même, donner (sous forme de tableau) la loi conditionnelle de Y sachant U3 .
3. Expliquer le calcul de P (X = 0 ∩ Y = 1).
4. Donner (dans un tableau) la loi du couple (X, Y ) et la loi de Y
5. Calculer E(Y ).
6. Déterminer la loi de probabilité de Z et calculer son espérance.
Exercice 2 - 3 points
On suppose que la durée de vie (en heures) d’un certain modèle d’ampoules suit la loi exponentielle de paramètre λ = 0, 001. On note X la V.A. égale à la durée de vie d’une telle
ampoule. X ,→ E(0, 001). On donnera la valeur exacte de chaque résultat.
1. Calculer la probabilité qu’une ampoule de ce modèle ait une durée de vie :
• inférieure à 1200 heures.
• comprise entre 1000 et 1500 heures
• supérieure à 800 heures
2. Déterminer la valeur T pour laquelle la probabilité que la durée de vie d’une telle ampoule
soit supérieure à T soit égale à la probabilité que la durée de vie soit inférieure à T (i.e.
P (X ≥ T ) = P (X ≤ T ) : on parle de demi-vie de l’ampoule).
3. Déterminer la durée de vie moyenne d’une ampoule de ce modèle.
Exercice 3 - 6 points
Soit f la fonction définie sur R par :
(
f (x) = kx(1 − x)
f (x) = 0
si x ∈]0; 1[
sinon
1. Déterminer la valeur de k de telle sorte que f soit une densité de probabilité. Justifier.
2. Soit X une v.a.r. de densité f . Déterminer la fonction de répartition de X.
3. Calculer E(X).
4. Soient X1 et X2 deux V.A. absolument continues de densité f indépendantes. On note
Y la V.A. définie par : Y = inf(X1 , X2 ). Donner la fonction de répartition de Y , puis sa
densité de probabilité.
Exercice 4 - 4 points
Une usine fabrique des barres de métal d’une longueur moyenne de 2 mètres. Soit X la V.A.
égale à la longueur exacte (en mètres) d’une barre sortant de l’usine : on admet que X suit
une loi normale N (µ, σ) telle que E(X 2 ) = 4, 01. Vous donnerez les résultats arrondis à 10−2
près.
1. Déterminer l’espérance µ et l’écart type σ de X.
2. Quelle est la probabilité que la barre sortant de l’usine mesure entre 1, 96m et 2, 02m ?
3. Une barre est acceptée par le contrôle qualité si sa longueur est comprise entre µ − 1, 5.σ
et µ + 1, 5.σ : quelle est la proportion de barres acceptées ?
4. De toutes les barres
mesurant
au<jerome.stephan@wanadoo.fr>
moins 1, 90m, quelle est la proportion de celles qui
De : Jérôme
STEPHAN
Loi normale
- Wikipédia
mesurent plus Objet
de 2,: 10m
?
Date : 25 novembre 2011 00:13:17 HNEC
Table de la loi Normale N (0; 1)
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,0 50000 50399 50798 51197 51595 51994 52392 52790 53188 53586
0,1 53983 54380 54776 55172 55567 55962 56356 56749 57142 57535
0,2 57926 58317 58706 59095 59483 59871 60257 60642 61026 61409
0,3 61791 62172 62552 62930 63307 63683 64058 64431 64803 65173
0,4 65542 65910 66276 66640 67003 67364 67724 68082 68439 68793
0,5 69146 69497 69847 70194 70540 70884 71226 71566 71904 72240
0,6 72575 72907 73237 73565 73891 74215 74537 74857 75175 75490
0,7 75804 76115 76424 76730 77035 77337 77637 77935 78230 78524
0,8 78814 79103 79389 79673 79955 80234 80511 80785 81057 81327
0,9 81594 81859 82121 82381 82639 82894 83147 83398 83646 83891
1,0 84134 84375 84614 84849 85083 85314 85543 85769 85993 86214
1,1 86433 86650 86864 87076 87286 87493 87698 87900 88100 88298
1,2 88493 88686 88877 89065 89251 89435 89617 89796 89973 90147
1,3 90320 90490 90658 90824 90988 91149 91309 91466 91621 91774
1,4 91924 92073 92220 92364 92507 92647 92785 92922 93056 93189
1,5 93319 93448 93574 93699 93822 93943 94062 94179 94295 94408
1,6 94520 94630 94738 94845 94950 95053 95154 95254 95352 95449
1,7 95543 95637 95728 95818 95907 95994 96080 96164 96246 96327
1,8 96407 96485 96562 96638 96712 96784 96856 96926 96995 97062
1,9 97128 97193 97257 97320 97381 97441 97500 97558 97615 97670
2,0 97725 97778 97831 97882 97932 97982 98030 98077 98124 98169
2,1 98214 98257 98300 98341 98382 98422 98461 98500 98537 98574
2,2 98610 98645 98679 98713 98745 98778 98809 98840 98870 98899
2,3 98928 98956 98983 99010 99036 99061 99086 99111 99134 99158
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L2 - S3
Probabilités
Corrigé de l’Examen Seconde Session - Juin2012
Exercice 1 - 9 points
1. 2,5 points X suit la loi hypergéométrique de paramètres N = 6 (boules au total dans
l’urne U1 ), M = 3 (boules de type 1) et N = 3 (boules tirées), soit X ,→ H(6; 3; 3).
Ici X(Ω) = {0; 1; 2; 3},
et pour tout x ∈ X(Ω), P(X = k) =
xi
pi
3 3 k 3−k
6
3
avec
6
3
!
=
6!
= 20
3!3!
0
1
2
3
1/20 9/20 9/20 1/20
3
E(X) = np = .
2
2. 2 points
Probabilités conditionnelles de Y sachant U2 (i.e. X = 0 ou 1) (respectivement sachant U3 , i.e. X = 2 ou 3 )
4 2
4
Exemple : PU2 (Y = 1) = 1 62 = . (on retrouve une loi hypergéométrique H(6; 4; 3))
20
3
yi /U2
pi
yi /U3
pi
0
1
2
3
0 4/20 12/20 4/20
0
1
2
3
4/20 12/20 4/20 0/20
3. 1 point
Exemple de calcul P(X = 0 ∩ Y = 1) : on a tiré aucune boule blanche dans
l’urne U1 : le second tirage a donc lieu dans l’urne U2 , et donc P(X = 0 ∩ Y = 1) =
1
1 4
P(X = 0).PU2 (Y = 1) = . =
20 20
100
4. 2 points
Y
X
0
1
2
3
Loi de Y
5. 0,5 point
6. 1 point
1
2
3
Loi de X
0
0
9/100
1/100
1/10
1/100
9/100
27/100
3/100
4/10
3/100
27/100
9/100
1/100
4/10
1/100
9/100
0
0
1/10
1/20
9/20
9/20
1/20
1
La loi de Y est donnée dans le tableau ci-dessus, et E(Y ) = 1, 5
Z(Ω) ⊂ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}
zi
pi
E(Z) = 3
0
0
1
2
3
4
5
6
0 1/100 21/100 56/100 21/100 1/100 0
Exercice 2 - 1,5 point (+ 1,5 point)
X la V.A. égale à la durée de vie d’une telle ampoule. X ,→ E(0, 001).
1. Question hors barème (énoncé mal rédigé) : 1,5 point :
• P (X < 1200) =
Z 1200
0, 001.e
−0,001x
Z 1200
dx =
−∞
1 − e−1,2
0
Z 1500
• P (1000 < X < 1500) =
h
0, 001.e−0,001x dx = −e−0,001x
1000
Z 800
• P (X > 800) = 1−P (x ≤ 800) = 1−
h
1 − −e−0,001x
i800
0
h
0, 001.e−0,001x dx = −e−0,001x
−0,001x
0, 001.e
i1500
1000
0
=
= −e−1,5 + e−1
Z 800
dx = 1−
−∞
i1200
0, 001.e−0,001x dx =
0
= e−0,8
T est solution de l’équation P (X ≤ T ) = P (X ≥ T )
2. 1 point
Z T
0, 001.e
Soit
−0,001x
dx = 1 −
h
3. 0,5 point
iT
0
0, 001.e
−∞
−0,001T
−∞
1 ⇐⇒ 2. −e−0,001x
Z T
= 1 ⇐⇒ 1 − e
E(X) =
−0,001x
dx ⇐⇒ 2
Z T
0, 001.e−0,001x dx =
−∞
=
1
⇐⇒ T = 1000 ln 2
2
1
= 1000
λ
Exercice 3 - 7,5 points
Soit f la fonction définie sur R par :
(
f (x) = kx(1 − x)
f (x) = 0
si x ∈]0; 1[
sinon
1. 2 points • f est la fonction constante nulle sur R− et sur [1; +∞[ et est une fonction
polynôme sur ]0; 1[, donc f est continue sur R∗− , ]0; 1[ et sur ]1; +∞[. On remarque de
plus que lim f (x) = 0 = f (0) = lim et lim f (x) = 0 = f (1) = lim f (x)
x→0
x<0
x→0
x>0
x→1
x>1
x→0
x<1
Donc f est continue sur R.
• f est positive sur R si et seulement si k > 0.
• L’intégrale de f sur R est en fait l’intégrale de f sur [0; 1] :
Z 1
Z 1
Z +∞
Z 1
k 2 1
k 3 1 k k
k
2
kxdx−
kx dx =
kx(1−x)dx =
x − x
= − =
f (x)dx =
2
3
2 3
6
0
−∞
0
0
0
0
Z +∞
Donc
f (x)dx = 1 ⇐⇒ k = 6
−∞
Conclusion : f est une densité de probabilité si et seulement si k = 6.
2. 2 points
Soit X une
v.a.r. de densité
f . On note FX la fonction de répartition de X.
Z
Z
x
Soit x ∈ R : FX (x) =
FX (x) =
x
−∞







−∞
Z x
6
0
2
E(X) =
3
t − t dt = · · · = −2x + 3x
1
Z 1
tf (t)dt = 6
−∞
2
si
x≤0
si
x ∈]0; 1[
si
x≥1
0
Z +∞
3. 1 point
t − t2 dt
f (t)dt = 6
0
"
t3 t4
t − t dt = 6
−
3
4
2
#1
3
=
0
1
2
4. 2,5 points
FY (x) =
=
=
=
D’où
FY (x) =
Soit x ∈ R,
P (X1 ≤ x ou X2 ≤ x)
P (X1 ≤ x) + P (X2 ≤ x) − P (X1 ≤ x et X2 ≤ x)
F1 (x) + F2 (x) − F1 (x).F2 (x) car X1 et X2 sont indépendantes
2F (X) − F 2 (X)



0
si
2(−2x3 + 3x2 ) − (−2x3 + 3x2 )2 = · · · = −4x6 + 12x5 − 9x4 − 4x3 + 6x2 si


1
si
La densité de probabilité de Y est alors définie par :
fY (x) =



0
si
−24x5 + 60x4 − 36x3 − 12x2 + 12x si


0
si
x≤0
x ∈]0; 1[
x≥1
Exercice 4 - 4 points
Soit X la V.A. égale à la longueur exacte (en mètres) d’une barre sortant de l’usine.
1. 1 point
E(X) = µ = 2 et V (X) = E(X 2 ) − (E(X))2 = 0, 01 donc σ =
2. 1 point
Soit Y =
X −2
= 10X − 2, alors Y ,→ N (0; 1).
0, 1
De plus
P (1, 96 ≤ X ≤ 2, 02) =
=
=
≈
≈
P (−0, 4 ≤ Y ≤ 0, 2)
Φ(0, 2) − Φ(−0, 4)
Φ(0, 2) − (1 − Φ(0, 4))
0, 58 − (1 − 0, 66)
0, 24
3. 1 point
P (1, 85 ≤ X ≤ 2, 15) =
=
=
≈
P (−1, 5 ≤ Y ≤ 1, 5)
Φ(1, 5) − Φ(−1, 5)
2Φ(1, 5) − 1
0, 87
soit 87% de barres acceptées par le contrôle qualité.
4. 1 point
P(X≥1,90) (X ≥ 2, 10) =
P (X ≥ 2, 10 et X ≥ 1, 90)
P (X ≥ 1, 90)
=
P (X ≥ 2, 10)
P (X ≥ 1, 90)
=
P (Y ≥ 1)
P (Y ≥ −1)
=
1 − Φ(1)
Φ(1)
≈
0, 16
0, 84
≈ 0, 2
q
V (X) = 0, 1.
x≤0
x ∈]0; 1[
x≥1
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