L3 - 2012/2013 - TD 2 Mercredi 26 septembre Mathématiques

L3 - 2012/2013 - TD 2
Mercredi 26 septembre
Mathématiques Discrètes
Exercice 1 - Nombres de surjections d’un ensemble à n éléments sur
un ensemble à k éléments.
On se propose d’établir une formule exprimant le nombre de surjections,
noté s(n, k), d’un ensemble à n éléments sur un ensemble à k éléments.
1.1 Quel est le cardinal de l’ensemble des applications d’un ensemble à n éléments dans un ensemble à k éléments ?
1.2 Justifier que s(n, k) = 0 lorsque k > n. Que vaut s(n, n) ?
1.3 Démontrer que :
s(n, k) =
k
X
(−1)j
j=0
k
(k − j)n .
j
On pourra utiliser la formule du crible en considérant Ei ,1 6 i 6 k, où Ei est
l’ensemble des applications de {1, ..., n} dans {1, ..., k} n’atteignant pas i.
Exercice 2 - Indépendance de variables discrètes
Soient X1 , ..., Xn des variables aléatoires définies sur un espace probabilisé
(Ω, T , P ), à valeurs respectivement dans des espaces probabilisables (Ω1 , T1 ),...,
(Ωn , Tn ). Ces variables sont indépendantes si pour tout (E1 , E2 , ..., En ) dans
T1 × T2 · · · Tn , on a :
P (∩ni=1 (Xi ∈ Ei )) =
n
Y
P (Xi ∈ Ei ).
i=1
Dans le cas où les variables sont discrètes et chaque tribu Ti contient tous
les singletons, démontrer que les variables X1 , ..., Xn sont indépendantes si et
seulement
si pour tout (x1 , ..., xn ) dans Ω1 × Ω2 · · · Ωn , P (∩ni=1 (Xi = xi )) =
Qn
i=1 P (Xi = xi ).
Exercice 3 - Indépendance
Soit U et V deux variables aléatoires indépendantes sur un même espace de
probabilités à valeurs dans {−1, 1} et de mêmes lois définies par:
P(U = −1) =
1
2
et P(U = 1) =
3
3
Soient X et Y les variables aléatoires définies par: X = U et Y = U V
3.1 Quelle est la loi de la variable aléatoire (X, Y )? Les variables X et Y
sont-elles indépendantes?
3.2 Les variables X 2 et Y 2 sont-elles indépendantes?
Exercice 4 - Min, Max et comparaison
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes définies sur le même
espace de probabilité de même loi géométrique de paramètre p.
B. Barbot
1
E.N.S. de Cachan
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Mercredi 26 septembre
Mathématiques Discrètes
4.1 Calculer P(Y ≥ X) en particulier pour p = 12 .
4.2 Calculer P(Y = X) en particulier pour p = 12 .
4.3 Montrer que P(Y > X) = P(X > Y )
On définit les variables aléatoires U et V par
U = max(X, Y ) et V = min(X, Y )
4.4 Pour tous (u, v) ∈ N Calculer P(U ≤ u, V ≥ v)
4.5 Calculer les lois des variables aléatoires U et V .
Exercice 5 - Rumeur
Une information est transmise dans une population. Chaque individu transmet la bonne information avec probabilité p, la négation de l’information est
transmise avec probabilité 1 − p. Soit pn la probabilité que l’information soit
correcte après n répétitions.
5.1 Calculer la valeur pn en fonction de p et de n.
5.2 Calculer limn→∞ pn . Conclure.
Exercice 6 - Lois
6.1 Préliminaires : La formule de VanderMonde. En développant l’expression
(X + Y )m (X + Y )n = (X + Y )m+n à l’aide de la formule du binôme de Newton,
démontrer, pour tous entiers naturels k, m, n (k ≤ m + n) l’égalité :
k X
m
n
n+m
=
.
j
k−j
k
j=0
Retrouver cette égalité par des considérations ensemblistes (partitionnez l’ensemble
{1, 2, ..., n + m} par {1, 2, ..., n} et {n + 1, ..., n + m}).
6.2 Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de lois binomiales
de second paramètre p. Donner la loi de probabilité de X + Y .
6.3 Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives
de Poisson de paramètres λ et µ.
Donner la loi de probabilité de X + Y .
Exercice 7 - Loi binomiale négative de paramètres n et p
On joue à pile (obtenu avec probabilité p) ou face (obtenu avec probabilité
q = 1 − p) jusqu‘à avoir obtenu n fois Pile. On considère la variable aléatoire X
qui compte le nombre de jets nécessaires.
7.1 Déterminer la loi de X.
7.2 En déduire l’identité
X k − 1
k>n
n−1
pn q k−n = 1.
On retrouve ainsi un cas particulier de la formule du binôme généralisée.
B. Barbot
2
E.N.S. de Cachan