chapitre 1 - ISFEC Jacques Sevin

CHAPITRE 8 : ELEMENTS D’ARITHMETIQUE
I MULTIPLES ET DIVISEURS :
1.1 Multiples d’un nombre entier naturel :
Définition :
Le nombre entier naturel a est multiple du nombre entier naturel b signifie qu’il existe un nombre
entier naturel k tel que : a  b  k.
L’ensemble des multiples de 6 est l’ensemble  0,6,12,18,24,30... .
n  n  1 pour tout naturel n, donc tout naturel est multiple de 1 et tout naturel est multiple de luimême.
0  n  0 pour tout naturel n, donc 0 est multiple de tout naturel.
Deux théorèmes classiques à retenir :
Théorème1 : si les entiers naturels a et b sont multiples de c, alors a + b est aussi multiple de c.
Preuve : a et b sont multiples de c donc qu’il existe des nombres entiers naturels k et k’ tels que
a  c  k et b  c  k ' . Alors a + b = c ( k + k’ ) CQFD.
Remarque : si a > b, la propriété est vraie aussi pour a – b.
Théorème2 : si a est multiple de b et si b est multiple de c, alors a est multiple de c.
Exercice 1 : démontrer le théorème 2.
Exercice 2 : Existe-t-il un naturel qui soit multiple de 5 sans être multiple de 10 ?
Existe-t-il un naturel qui soit multiple de 10 sans être multiple de 5 ?
Exercice 3: Trouver tous les naturels qui ont 56 comme multiple. Trouver tous les naturels qui ont 60
comme multiple. En déduire les diviseurs communs de 56 et 60.
1.2 Diviseurs d’un nombre entier naturel :
Attention, le mot « diviseur » a ici un sens différent de celui qu’il a dans le cadre de l’opération
division.
Définition :
Le nombre entier naturel a est diviseur du nombre entier naturel b signifie qu’il existe un nombre
entier naturel k tel que : b  a  k.
les phrases « a est un diviseur de b », « a divise b », « b est un multiple de a » , « b est divisible par
a » sont synonymes.
L’ensemble des diviseurs de 36 est l’ensemble 1,2,3,4,6,9,12,18,36 .
n  n  1 donc tout naturel est diviseur de lui-même et 1 est diviseur de tout naturel.
0  n  0 donc tout naturel non nul est diviseur de zéro.
Deux théorèmes classiques à retenir :
Théorème1 : si l’entier naturel c est un diviseur des entiers naturels a et b, alors il est aussi diviseur
de a +b.
Remarque : si a > b, la propriété est vraie aussi pour a – b.
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Théorème2 : si c est un diviseur de b et si b est un diviseur de a, alors c est un diviseur de a.
Exercice 4 : Existe-t-il un naturel qui soit diviseur de 48 sans être diviseur de 12 ?
Existe-t-il un naturel qui soit diviseur de 12 sans être diviseur de 48 ?
Exercice 5 : Lister tous les diviseurs de 72.
II NOMBRES PREMIERS :
2.1 Définition :
Un nombre entier naturel est dit premier s’il a exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Crible d’Eratosthène :
Il suffit d’éliminer tous les multiples les nombres qui ont un diviseur inférieur à 10 (ou 100 ) donc les
multiples de 2, 3, 5, 7.
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Les nombres restants sont les naturels premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…
2.2 Décomposition d’un naturel en produit de facteurs premiers :
Une méthode systématique pour obtenir la décomposition d’un naturel en facteurs premiers consiste à
essayer de diviser successivement le nombre proposé par les nombres premiers successifs.
Exemple : 882
441
147
49
7
1
2
3
3
7
7
donc 882 = 2  3²  7².
Théorème : a est un multiple de b si et seulement si la décomposition de a comporte au moins les
mêmes facteurs que celle de b avec des exposants au moins égaux.
Exemple : 72 = 2 3  3² et 1 080 = 2 3  33  5 donc 1 080 est multiple de 72.
Exercice 6 : trouver la décomposition en facteurs premiers de 360, de 600.
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Remarque : quand la décomposition en facteurs premiers d’un nombre est connue, on peut en déduire
tous ses diviseurs.
Exemple pour 60 = 2 2  3  5 .
0
3
20
31
30
Etc.
1
2
31
30
2
2
31
50
51
50
51
50
51
50
51
50
51
50
51
=1
=5
=3
= 15
=2
= 10
=6
= 30
=4
= 20
= 12
= 60.
Le nombre de diviseurs de 60 est donc 3  2  2  12.
Plus généralement, si la décomposition de n en facteurs premiers est a p  b q  c r , le nombre de
diviseurs de n est égal à : ( p  1)  (q  1)  (r  1).
III MULTIPLES ET DIVISEURS COMMUNS A DEUX NOMBRES ENTIERS NATURELS :
3.1 Multiples communs à deux nombres entiers naturels et ppcm (plus petit commun multiple) :
Méthode 1 : on écrit le début des listes des multiples de chaque nombre, dans l’ordre croissant, puis on
repère le plus petit nombre commun aux deux listes : c’est leur ppcm.
Exemple : multiples de 36 : 36, 72, 108, 144, 180, 216, 252, 288, 324, 360, 396 ...
multiples de 90 : 90, 180, 270, 360…
Le ppcm de 36 et 90 est donc 180.
Méthode 2 : (d’après le théorème du 2.2) on écrit les décompositions en facteurs premiers des deux
nombres. Le ppcm est le produit de tous les facteurs qui figurent dans l’une ou l’autre des
décompositions, affectés de l’exposant le plus grand avec lequel il figure dans l’une des deux
décompositions.
Exemple : 72 = 2 3  3² et 90 = 2  3²  5 donc le ppcm de 72 et 90 est : 2 3  3²  5  360.
Remarque : les multiples communs de deux entiers naturels a et b sont tous les multiples de leur ppcm.
Exercice 7 : Quel est le ppcm de 375 et 60 ? De 25 et 8 ?
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3.2 Diviseurs communs et nombres premiers entre eux et PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) :
Voici plusieurs méthodes pour déterminer le PGCD de deux nombres entiers naturels :
Méthode 1 : on écrit la liste de leurs diviseurs, dans l’ordre croissant. On peut alors repérer le plus
grand nombre commun aux deux listes.
Exemple :
Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Diviseurs de 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18. Donc PGCD (12 ;18) = 6.
Méthode 2 : on écrit la décomposition en facteurs premiers des deux nombres. Le PGCD est obtenu en
faisant le produit de tous les facteurs qui figurent à la fois dans les deux compositions, affectés de
l’exposant le plus petit avec lequel il figure dans l’une des deux décompositions.
Exemple : 12 = 2²  3 et 18 = 2  3² donc PGCD (12 ;18) = 2  3  6.
Méthode 3 : par l’algorithme des différences ou des soustractions successives :
Propriété : Pour deux entiers naturels a et b, avec b < a ; PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a – b).
Exemple :
Etape :
1
2
3
4
a
95
57
38
19
b
57
38
19
19
Différence :
38
19
19
0
95 – 57 = 38
57 – 38 = 19
38 – 19 = 19
19 – 19 = 0.
Donc PGCD (95 ; 57) = 19.
Méthode 4 : par l’algorithme d’Euclide :
Propriété : Pour deux entiers naturels a et b, avec b < a ; PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r) où r est le reste
de la division de a par b.
Exemple :
Etape :
1
2
3
a
95
57
38
b
57
38
19
reste :
38
19
0
95  57  1  38
57  38  1  19
38  19  2  0.
Donc PGCD (95 ; 57) = 19. Cet algorithme « accélère » l’algorithme des soustractions successives et
est très utile pour les grands nombres. Le PGCD est le dernier reste non nul.
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Deux nombres entiers naturels dont le PGCD vaut 1 sont dits premiers entre eux.
Pour montrer que deux nombres sont premiers entre eux, il suffit donc de calculer leur PGCD et de
montrer qu’il vaut 1. (définition à ne pas confondre avec un nombre premier, voir 2.1).
Exercice 7 : Quel est le PGCD de 375 et 60 ? De 25 et 8 ? Utiliser les 4 méthodes.
IV CRITERES DE DIVISIBILITE (à connaître) :
Ces critères concernent les nombres entiers naturels écrits en base dix :
Divisibilité par 2 : un nombre entier naturel est divisible par 2 (ou est pair) si et seulement si son
chiffre des unités est « pair » (soit 0, 2, 4, 6, ou 8).
Un nombre entier naturel a même reste dans la division par 2 que son chiffre des unités.
Preuve : tout naturel est du type du soit 10d  u . Or 10d = 2  5d nombre pair, donc du est pair ssi u
est pair.
Divisibilité par 4 : un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers
chiffres (à droite) est divisible par 4.
Un nombre entier naturel a même reste dans la division par 4 que le nombre formé par ses deux
derniers chiffres.
Preuve : (pour les nombres à 4 chiffres, mais la propriété est vérifiée quelque soit le nombre de
chiffres).
n = mcdu = 1000m  100c  10d  u  100(10m  c)  10d  u  4  25(10m  c)  10d  u.
4  25(10m  c) est un multiple de 4 donc mcdu est divisible par 4 si du l’est aussi.
Divisibilité par 10 : un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
Un nombre entier naturel a pour reste dans la division par 10 son chiffre des unités.
Divisibilité par 5 : un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
Un nombre entier naturel a même reste dans la division par 5 que son chiffre des unités s’il se
termine par 0, 1, 2, 3 ou 4.
Un nombre entier naturel a même reste dans la division par 5 que son chiffre des unités moins
cinq s’il se termine par 6, 7, 8 ou 9.
Divisibilité par 9 : un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible
par 9.
Un nombre entier naturel a même reste dans la division par 9 que la somme de ses chiffres.
Preuve : (pour les nombres à 4 chiffres, mais la propriété est vérifiée quelque soit le nombre de
chiffres).
mcdu = 1000m  100c  10d  u  999m  m  99c  c  9d  d  u  9(111m  11c  d )  m  c  d  u.
9(111m  11c  d ) est un multiple de 9 donc mcdu est divisible par 9 ssi m+c+d+u l’est aussi.
Divisibilité par 3 : un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible
par 3.
Un nombre entier naturel a même reste dans la division par 3 que la somme de ses chiffres.
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Preuve : (pour les nombres à 4 chiffres, mais la propriété est vérifiée quelque soit le nombre de
chiffres).
mcdu = 1000m  100c  10d  u  999m  m  99c  c  9d  d  u  3(333m  33c  3d )  m  c  d  u.
3(333m  33c  3d ) est un multiple de 3 donc mcdu est divisible par 3 ssi m+c+d+u l’est aussi.
Exercice 8 : Enoncer, pour les nombres qui s’écrivent à 4 chiffres, un critère de divisibilité par 25
et le démontrer.
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CORRIGE DES EXERCICES CHAPITRE 8:
Exercice 1 :
Théorème2 : si a est multiple de b et si b est multiple de c, alors a est multiple de c.
a et b sont multiples respectivement de b et c donc qu’il existe des nombres entiers naturels k et k’ tels
que a  b  k et b  c  k ' . Alors a  b  k  c  k  k '  c  (kk' ). CQFD.
Exercice 2 :
1/ les multiples de 5 se terminent par 0 ou 5 donc on garde les nombres se terminant par 5 uniquement.
2/ Un multiple de 10 s’écrit n  10  k  2  5  k  5  (2k ) , n est donc un multiple de 5 aussi donc
aucun nombre ne répond à cette question.
Exercice 3:
Diviseurs de 56 : 1,2,4,7,8,14,28,56.
Diviseurs de 60 : 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60.
Les diviseurs communs à 56 et 60 sont : 1,2,4.
Exercice 4 :
1/ Diviseurs de 48 : 1,2,3,4,6,8,12,16,24,48. Donc 8,16,24 et 48 conviennent.
2/ Tout diviseur de 12 est aussi diviseur de 48 (12 divise 48 !) donc aucun nombre ne répond à la
question.
Exercice 5 :
Diviseurs de 72 :1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72.
Exercice 6 :
360 = 2 3  32  5. 600 = 2 3  3  5 2.
Exercice 7 :
375 = 3  53. 60 = 2 2  3  5. Donc ppcm ( 375 ; 60 ) = 2 2  3  53  1 500.
25 = 5 2.
8 = 2 3. Donc ppcm ( 25 ; 8 ) = 2 3  5 2  200.
PGCD (375 ; 60) = 15 et PGCD ( 25 ; 8 ) = 1. Les nombres 25 et 8 sont premiers entre eux !
(l’algorithme d’Euclide est toujours l’algorithme le plus rapide !).
Exercice 8 :
Preuve : (pour les nombres à 4 chiffres, mais la propriété est vérifiée quelque soit le nombre de
chiffres).
mcdu = 1000m  100c  10d  u  25(40m  4c)  10d  u.
25(40m  4c) est un multiple de 25 donc mcdu est divisible par 25 ssi du l’est aussi.
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