1. Ensembles de nombres

esiea – école d’ingénieurs du monde numérique
1A – Cycle de transition – Année 2016-2017
Renforcement numérique : calcul algébrique
1.
Ensembles de nombres
On note N l’ensemble des entiers naturels :
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .} .
On note Z l’ensemble des entiers relatifs :
Z = {. . . , −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} .
On note Q l’ensemble des nombres rationnels :
na
o
Q=
| a ∈ Z et b ∈ N∗ .
b
On note R l’ensemble des nombres réels
√ √: il contient tous les nombres rationnels ainsi que
tous les nombres irrationnels dont π, e, 2, 3, ln 5, ln 7 et bien d’autres.
Contrairement à la construction de Z à partir de N et à la construction de Q à partir de Z,
qui se réalisent assez simplement, la construction de R à partir de Q est délicate. Elle nécessite
des notions élaborées comme les coupures de Dedekind ou les suites de Cauchy.
On note C l’ensemble des nombres complexes, i étant le nombre non réel tel que i2 = −1 :
C = {x + iy | x ∈ R et y ∈ R} .
Les ensembles N, Z, Q, R et C sont liés par les inclusions suivantes :
N⊆Z⊆Q⊆R⊆C .
Les notations N∗ , Z∗ , Q∗ , R∗ et C∗ désignent respectivement les ensembles N, Z, Q, R et C
privés du nombre 0.
La notation R+ désigne {x ∈ R | x > 0} et la notation R− désigne {x ∈ R | x 6 0}.
La notation R∗+ désigne {x ∈ R | x > 0} et la notation R∗− désigne {x ∈ R | x < 0}.
Pour a dans R, la notation R \ {a} désigne {x ∈ R | x 6= a}.
On peut également rencontrer, de manière plus occasionnelle, la notation Z− ainsi que les
notations Q+ , Q− , Q∗+ et Q∗− .
2.
Propriétés des ensembles de nombres
Les ensembles N, Z, Q, R et C sont infinis : ils contiennent un nombre infini d’éléments.
Les ensembles N, Z et Q sont dénombrables, c’est-à-dire qu’on peut mettre en bijection
leurs éléments avec ceux de N. En revanche, R et C ne sont pas dénombrables.
Les ensembles N et Z sont discrets, c’est-à-dire qu’ils ne sont constitués que de points isolés :
entre deux entiers successifs, il n’existe aucun autre entier. En revanche, les ensembles Q et R ne
sont pas discrets : entre deux nombres rationnels, il existe toujours un autre nombre rationnel ;
entre deux nombres réels, il existe toujours un autre nombre réel.
L’addition usuelle et la multiplication usuelle dans les ensembles N, Z, Q, R et C jouissent
des propriétés suivantes :
— l’addition et la multiplication sont commutatives,
— l’addition et la multiplication sont associatives,
— la multiplication est distributive sur l’addition.
3.
Intervalles de R
Un intervalle de R est l’un des ensembles suivants, où a et b sont deux réels tels que a 6 b :
— l’intervalle ouvert borné :
]a, b[ = {x ∈ R | a < x < b} ;
— l’intervalle fermé borné :
[a, b] = {x ∈ R | a 6 x 6 b} ;
— les intervalles ouverts non bornés :
]a, +∞[ = {x ∈ R | x > a} et ] − ∞, b[ = {x ∈ R | x < b} ;
— les intervalles fermés non bornés :
[a, +∞[ = {x ∈ R | x > a} et ] − ∞, b] = {x ∈ R | x 6 b} ;
— les intervalles semi-ouverts bornés, ou encore intervalles semi-fermés bornés :
]a, b] = {x ∈ R | a < x 6 b} et [a, b[ = {x ∈ R | a 6 x < b} ;
— l’intervalle infini :
] − ∞, +∞[ = R .
L’ensemble vide ∅ ainsi que les singletons {a}, pour a dans R, sont des cas particuliers
d’intervalles de R. En général, on travaille avec des intervalles I de R contenant au moins deux
éléments distincts ; ce sont des intervalles non triviaux de R.
Chacun des ensembles R+ , R− , R∗+ et R∗− est un intervalle de R :
R+ = [0, +∞[
R− = ] − ∞, 0]
R∗+ = ]0, +∞[
R∗− = ] − ∞, 0[ .
4.
Intervalles de Z
On utilise aussi quelques intervalles de Z, où a et b sont deux entiers relatifs tels que a 6 b :
— l’ensemble Ja, bK défini par Ja, bK = {x ∈ Z | a 6 x 6 b} ;
— l’ensemble Ja, +∞J défini par Ja, +∞J = {x ∈ Z | x > a} ;
— l’ensemble K − ∞, bK défini par K − ∞, bK = {x ∈ Z | x 6 b}.
5.
Opérations sur les fractions
Pour a et a0 dans C et pour b et b0 dans C∗ , on a :
a a0
ab0 + a0 b
+ 0 =
b
b
bb0
a a0
ab0 − a0 b
− 0 =
b
b
bb0
a a0
aa0
× 0 = 0 .
b
b
bb
Pour a et a0 dans C et pour b et b0 dans C∗ , on a :
a0
a
= 0 ⇐⇒ ab0 = a0 b .
b
b
6.
Puissances à exposants entiers
Soit a dans C. On pose a0 = 1 et, pour n dans N∗ , on définit an comme le produit de n
facteurs tous égaux à a :
an = |a × a × a{z× . . . × a} .
n facteurs a
Pour a et b dans C et pour m et n dans N, on a :
an+1 = an × a
am an = am+n
De plus, si b est non nul, alors on a :
a n an
= n
b
b
(am )n = amn
(ab)n = an bn .
bm
= bm−n .
bn
Généralisation aux exposants relatifs : pour a dans C∗ et n dans N, on pose :
a−n =
7.
1
.
an
Racines n-ièmes
Pour a dans C et pour n dans N, un nombre b est une racine n-ième de a lorsque bn = a.
Une racine 2-ième est appelée racine carrée ; une racine 3-ième est appelée racine cubique.
Selon l’ensemble dans lequel on travaille, un nombre peut admettre zéro, une ou plusieurs
racines n-ièmes. Par exemple, il n’existe aucun nombre réel x vérifiant x2 = −9 : on peut donc
affirmer que −9 n’admet aucune racine carrée dans R. Néanmoins, les égalités (3i)2 = −9 et
(−3i)2 = −9 sont vraies, donc −9 admet deux racines carrées dans C.
Le résultat suivant clarifie les choses : pour a dans R+ et pour n dans N∗ , il existe un unique
√
réel positif b tel que bn = a. Ce réel est appelé la racine n-ième de a ; il se note n a .
Pour a et b dans R+ et pour m et n dans N∗ , on a :
p
√
√
√
√
√
m n
n
a × n b = n ab
a = mn a
√ m √
( n a) = n am .
Si de plus b est non nul, alors on a :
r
√
n
a
a
√
= n
.
n
b
b
Pour a dans R+ , on note plus simplement
√
√
a à la place de 2 a.
Il est possible de généraliser la définition de la racine n-ième et la notation
à condition que n soit impair ; nous ne le ferons pas ici.
8.
√
n
a pour a dans R
Puissances à exposants rationnels et à exposants réels
La définition de la racine n-ième permet une généralisation des puissances à certains exposants rationnels positifs. Pour a dans R+ et n dans N∗ , on pose :
1
an =
√
n
a .
Il est alors possible d’effectuer une généralisation aux exposants rationnels. Pour a dans R∗+ ,
n dans N∗ et m dans Z, on pose :
√
m
a n = n am .
Les propriétés sur les puissances à exposants entiers énoncées au paragraphe 6. restent
valides pour les puissances à exposants rationnels, sous réserve d’existence.
La généralisation aux exposants réels nécessite la fonction exponentielle et la fonction
logarithme. Pour a dans R∗+ et x dans R, on pose :
ax = ex ln a .
9.
Factorisations et identités remarquables
Pour a, b, c et d dans C, on a :
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .
Ainsi, en particulier, pour a et b dans C :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 .
Pour a et b dans C, on a :
a2 − b2 = (a − b)(a + b) .
Pour a et b dans C, on a :
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) .
10.
Polynômes réels de degré 2
Un polynôme réel P de degré 2 à une indéterminée X s’écrit P = aX 2 + bX + c, où a, b et c
sont des réels quelconques vérifiant a 6= 0.
Le discriminant du polynôme P est le réel ∆ défini par :
∆ = b2 − 4ac .
Si ∆ > 0, alors le polynôme P possède deux racines réelles simples r1 et r2 définies par :
√
√
−b + ∆
−b − ∆
r2 =
.
r1 =
2a
2a
Le polynôme P peut alors se factoriser :
P = a(X − r1 )(X − r2 ) .
Si ∆ = 0, alors le polynôme P possède une seule racine réelle double r0 définie par :
r0 =
−b
.
2a
Le polynôme P peut alors se factoriser :
P = a(X − r0 )2 .
Si ∆ < 0, alors le polynôme P ne possède aucune racine réelle.
Le polynôme P ne peut alors pas se factoriser sur R ; on dit qu’il est irréductible sur R.
Pour tout réel x, le signe de ax2 + bx + c est du signe de a , sauf lorsque x se situe entre
les racines éventuelles du trinôme aX 2 + bX + c.
11.
Valeur absolue
La valeur absolue d’un réel x est le réel positif noté |x| et défini par :
x si x > 0
|x| =
.
−x si x 6 0
Pour x et y dans R et pour n dans N, on a :
√
| − x| = |x|
x2 = |x|
|xy| = |x| × |y|
De plus, si y est non nul :
x |x|
=
y |y| .
Pour x et y dans R, on a l’inégalité triangulaire :
|x + y| 6 |x| + |y| .
Pour a dans R+ et x dans R, on a les équivalences :

 |x| = a ⇐⇒ x ∈ {−a, a}
|x| < a ⇐⇒ x ∈ ] − a, a[

|x| > a ⇐⇒ x ∈ ] − ∞, −a[ ∪ ]a, +∞[ .
|xn | = |x|n .
12.
Inégalités et opérations
Pour a, b et c dans R, on a :
a 6 b ⇐⇒ a + c 6 b + c
a 6 b ⇐⇒ a − c 6 b − c .
Pour a, b et c dans R et si c > 0 , on a :
a 6 b ⇐⇒ ac 6 bc .
Pour a, b et c dans R et si c < 0 , on a :
a 6 b ⇐⇒ ac > bc .
Pour a, b, c et d dans R, on a :
(a 6 b et c 6 d) =⇒ a + c 6 b + d .
En revanche, on ne peut pas soustraire des inégalités membre à membre.
Pour a, b, c et d dans R et si a, b, c et d sont positifs , on a :
(a 6 b et c 6 d) =⇒ ac 6 bd .
En revanche, on ne peut pas diviser des inégalités membre à membre.
13.
Somme et produit
Pour x1 , x2 , x3 , ..., xn dans C, on note :
n
X
k=1
14.
xk = x1 + x2 + . . . + xn
n
Y
xk = x1 × x2 × . . . × xn .
k=1
Notation factorielle et formule du binôme
On pose 0! = 1 et, pour n dans N∗ , on définit la factorielle de n comme l’entier noté n!
égal au produit des n premiers entiers naturels non nuls :
n! = 1 × 2 × 3 × · · · × n .
Pour n dans N et k dans J0, nK, on appelle coefficient binomial l’entier défini par :
n
n!
=
.
k
k! (n − k)!
Les coefficients binomiaux peuvent se calculer efficacement à l’aide du triangle de Pascal,
dont un extrait est présenté ci-après.
Pour x et y dans C et pour n dans N, on a la formule du binôme de Newton :
n X
n k n−k
(x + y)n =
x y
.
k
k=0
1
1
16
+
1
15
+
1
120
+
14
+
1
105
+
13
+
1
560
+
91
+
12
+
1
455
+
78
+
11
+
1
+
286
+
55
+
9
+
+
220
+
45
+
8
+
+
715
+
165
+
36
+
7
+
+
495
+
120
+
28
+
6
+
+
+
792
+
210
+
56
+
15
+
4
+
+
+
924
+
252
+
70
+
20
+
6
+
2
+
+
+
792
+
210
+
56
+
15
+
4
+
1
+
+
495
+
120
+
28
+
6
+
1
+
715
+
165
+
36
+
7
+
1
+
220
+
45
+
8
+
1
+
286
+
55
+
9
+
1
+
364
+
66
+
10
+
1
1820
1365
4368
+
1001
3003
8008
+
2002
5005
11440
+
+
330
+
84
+
21
+
5
+
1
1287
3003
6435
12870
+
+
462
+
126
+
35
+
10
+
3
+
1
1716
3432
6435
11440
+
+
462
+
126
+
35
+
10
+
3
+
1716
3003
5005
8008
+
+
330
+
84
+
21
+
5
+
1287
2002
3003
4368
+
1001
1365
1820
+
364
+
66
+
10
+
1
1
1
1
1
1
1
1
1
455
+
78
+
11
+
1
560
+
91
+
12
+
1
105
+
13
+
1
120
+
14
+
1
15
+
1
16
+
1
1
1
15.
Exercices
Exercice 1
Quel est le symbole correct : le symbole ∈ ou le symbole ∈
/ ? Compléter.
7 ... N
3 . . . J1, +∞J
1
. . . [−1, 1]
3
0 . . . ]0, +∞[
24
... Z
4
π ... Q
1
... Q
5
i ... R
√
64 . . . N
2 . . . ]2, +∞[
4 . . . {4}
√
2 . . . R∗
− 3 . . . [1, +∞[
5 . . . ] − ∞, 5]
− 4 . . . J2, +∞J
0 . . . Z∗
√
1
... N
2
8 ... Q
Exercice 2
Dans les expressions suivantes, on désigne par x un réel quelconque. Développer, réduire et
ordonner.
A = (x2 − 2x + 1)2 − (3x + 1)(x2 − 2x + 2)
C = (1 + 3x2 )(−5x2 + 7x − 3)
B = x2 + (2x2 − x + 2)(x + 1)
D = (2x + 3)(x − 1)(x2 + x + 1)
Exercice 3
Pour quelles valeurs du réel x les expressions suivantes ont-elles un sens ?
√
√
√
2−x
x+ x−1
x−3
(x − 1)(x2 + 1)
x+1
4 − x2
Exercice 4
Soit x dans R. Développer, réduire et ordonner mentalement les expressions suivantes.
A = (2x−1)(x+3)
B = (−x+3)(2x−1)
C = (3x+8)(x+5)
D = (x−1)(x−7)
Exercice 5
Préciser les valeurs du réel x pour lesquelles les expressions suivantes ont un sens, puis
simplifier au maximum.
5
2x
3
+
−
2
1−x
1−x 1+x
x2
1
1
1
+ 2
− 2
−1 x −x x +x
Exercice 6
On désigne par a, b et c trois réels non nuls et distincts deux à deux. Simplifier les expressions.
A=
1
1
1
+
+
(a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b)
ab
a−b
B=
ab
b+
b−a
1 1
+
a
b
C =1−
1 1
−
a b
a+
D=
bc
ac
ab
+
+
(a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b)
Exercice 7
Simplifier les expressions suivantes, dans lesquelles n désigne un élément de J2, +∞J.
A=
D=
2n+1 − 6 × 3n
2
B=
3n+4 − 6 × 3n+1
3n+2 × 7
3 × 2n − 4 × 2n−2
2n − 2n−1
E=
√
n
22n
F =
C=
2n × 8n
42n
1
+ (−1)2n−2
(−1)2n+1
Exercice 8
Calculer.
A = 22 × 33
F =
√
6
27
B=
G=
K=
√
7
√
4
16
C = 22 × 23
r
0
√
√
5 × 20
H=
2
L = 83
3
1
×
3
D=
r
1
9
√
3
M = 125
3
I=4
√
3
64
−1
4
N = 320,6
E = 32 ×
J = 22 ×
√
24
P = √
6
35
93
218 × 2−6
29
Exercice 9
Écrire les ensembles suivants à l’aide d’un intervalle de R ou d’une réunion d’intervalles de R.
1. L’ensemble E1 des nombres réels x vérifiant x 6 8 et x > 3.
2. L’ensemble E2 des nombres réels x vérifiant x < 6 et x 6 9.
3. L’ensemble E3 des nombres réels différents de −2.
4. L’ensemble E4 des nombres réels x vérifiant −2 < x 6 7.
5. L’ensemble E5 des nombres réels x vérifiant x > 3 et x 6 0.
6. L’ensemble E6 des nombres réels x vérifiant x 6 −2 ou x > 3.
Exercice 10
Soit x dans R.
1. Quel est le coefficient de x8 après développement et réduction de (x + 1)10 ?
2. Quel est le coefficient de x3 après développement et réduction de (x − 4)5 ?
3. Même question pour le coefficient de x6 après développement et réduction de (3x + 2)8 .
4. Même question pour le coefficient de x4 après développement et réduction de (x2 − 5)7 .
Exercice 11
Soit n dans J2, +∞J. Simplifier les expressions suivantes.
A=
n!
(n − 1)!
B=
n!
(n − 2)!
C=
n!
(n + 1)! − n!
D=
(n + 1)!
(n − 1)!
E=
n! − (n + 1)!
(n + 2)!
Exercice 12
Calculer.
A = (3 × 2)!
D=
8!
6!
H = (4 + 2)!
E=
B = 3! × 2!
7!
3! 5!
I = 4! + 2!
C = 3 × 2!
F = 2! + 5!
J=
3 × 4!
(3!)2
G=
109 1010
−
9!
10!
K = 4! − 2!
L=
600!
598!
Exercice 13
Soit n dans N∗ .
1. En utilisant la notation factorielle, exprimer simplement le produit des n premiers entiers
naturels pairs non nuls.
2. Même question pour le produit des n premiers entiers naturels impairs.
Exercice 14
Calculer.
20
D=
20
5
100
7
A=
B=
C=
3
2
98
8
5
5
E=
+
F =5+
2
1
3
18
10
15
H=
I=
J=
1
4
0
15
G=
14
Exercice 15
Soit n dans N. On note f : R → R l’application définie par f (x) = (1 + x)n pour tout réel x.
En utilisant f et la formule du binôme, calculer les sommes suivantes.
S1 =
n X
n
k=0
k
n
X
k n
S2 =
(−1)
k
k=0
n
X
n
S3 =
k
k
k=0
S4 =
n
X
k=0
n
1
k+1 k
Exercice 16
Donner, dans chaque cas, un nombre qui vérifie la condition donnée. Indiquer les cas d’impossibilité.
1. Un réel x tel que x2 = 4.
2. Un complexe non réel x tel que x4 = 81.
3. Un réel négatif x tel que x2 = 64.
4. Un réel x tel que x2 = −9.
5. Un réel x tel que x3 = −125.
6. Un complexe x tel que x6 = −64.
Exercice 17
Pour k dans J1, 4K, calculer le discriminant ∆k du polynôme Pk . Si possible, factoriser sur R.
P1 = X 2 + 2X + 4
P2 = 3X 2 − 5X − 2
P3 = 4X 2 − 8X + 4
P4 = 9X 2 + 6X + 2
Exercice 18
Résoudre les équations suivantes à une inconnue réelle x.
(E1 ) : x2 − 11 = 0
(E2 ) : −3x2 − 2 = 0
(E3 ) : x2 + 3x = 10
Exercice 19
Résoudre les équations suivantes à une inconnue réelle x.
(E1 ) : |3x − 1| = 2
(E2 ) : x2 + 2x = 1
(E3 ) : |x + 1| = −4
Exercice 20
Soit x ∈ R. Écrire sans valeur absolue.
√ A = |1 − 4|
B = 1 − 2
C = x2 − 2x + 1
D = −3 − x2 Exercice 21
Déterminer les entiers n de J3, +∞J vérifiant :
n
n
n
+
+
= 5n .
1
2
3
Exercice 22
Indiquer, pour chacun des ensembles ci-dessous, s’il s’agit d’un ensemble infini ou non.
Aucune justification n’est attendue.
E1 = {x ∈ R | x < 1}
E5 = Z∗
E2 = N
E6 = ∅
E9 =] − ∞, 3]
E3 = [0, 5]
E7 = {−2, 3, −4, 9, 6}
E10 = {x ∈ R | x2 = 2}
E4 = J0, 5K
E8 = {x ∈ N | x 6 73}
E11 = J2, +∞J
E12 = Q
Exercice 23
On considère deux nombres complexes quelconques x et y. Développer les expressions suivantes à l’aide de la formule du binôme. Simplifier les résultats obtenus.
A = (x + 2)4
B = (x − 1)6
C = (x + y)5
D = (2x + 1)3
Exercice 24
Mettre sous forme de produits de facteurs les expressions suivantes, où x désigne un réel
quelconque.
A = x(3x + 1) − 5(6x + 2)
B = x(3x + 7) − (3x + 7)2
C = (3x − 3)2 − 4(x + 5)2
Exercice 25
Résoudre chacun des systèmes à deux inconnues réelles x et y suivants.
x+y = 1
2x − y = 4
2x + 2y = 2
(S1 ) :
(S2 ) :
(S3 ) :
x−y = 2
3x + y = 5
x+y = 1
Exercice 26
Résoudre les inéquations suivantes à une inconnue réelle x, puis représenter les solutions sur
un axe gradué.
|x − 1| > 2
|3 − x| 6 1
|x| < 1
Exercice 27
Soit x dans ]1, +∞[. Démontrer les égalités suivantes.
√
1
x−1
√ =
x−1
1+ x
1
1
2
√ −√
=
1−x
1+ x
x−1
Exercice 28
√
p
√
6 − 4 2. Calculer a2 et b2 puis comparer a et b.
p
√
√
2. Même question avec les réels c et d définis par c = 2 − 3 et d = 11 − 6 2.
p
√
√
√
3. Même question avec les réels e et f définis par e = 2 − 5 et f = 7 − 2 10.
1. On pose a = 2 −
2 et b =
Exercice 29
1. La somme de trois entiers consécutifs est égale à 60. Quels sont ces entiers naturels ?
2. Est-il possible de trouver trois entiers consécutifs dont la somme est égale à 326 ?
3. Est-il possible de trouver trois entiers consécutifs dont la somme est égale au produit ?
Exercice 30
Pourquoi peut-on affirmer que le nombre 100! comporte au moins vingt et un zéros à la fin
de son écriture décimale ?
Exercice 31
Déterminer tous les nombres réels x vérifiant l’égalité x4 + 7x3 + 11x2 − 7x − 12 = 0.
Exercice 32
On considère la somme S suivante :
S=
99
X
k=1
√
k+
1
√
k+1
.
√
√
√
√
x+ x+1
x − x + 1 pour tout x de ]0, +∞[.
1
√
2. Calculer S en utilisant une autre écriture de √
pour tout x de ]0, +∞[.
x+ x+1
1. Simplifier l’expression
Exercice 33
Pour quelles valeurs du réel x les expressions suivantes ont-elles un sens ?
p
√
|x| − 1
x2
−x
2
1+x
2
Exercice 34
Résoudre chacune des deux inéquations suivantes, d’inconnue réelle x.
x2 − 9
60
x+2
x2 − 3x + 2
>0
2x − 5
Exercice 35
Simplifier.
82 × 53 × 72
A= 4
5 × 73 × 28 × 9
r
B=
4
×
5
r
27
16
C=
(102 )3
26 × 56
Exercice 36
On considère une suite (an )n∈N de nombres réels vérifiant la propriété suivante :
∀n ∈ N,
n
X
ak = n(n + 2) .
k=0
1.a. Calculer a0 et a1 .
1.b. Que vaut a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 ?
2.a. Pour tout entier n de N, exprimer la somme
2.b. Donner la valeur de an pour tout n de N.
n+1
X
ak en fonction de n.
k=0
Exercice 37
Étudier le signe des expressions suivantes en fonction des valeurs du réel x.
a(x) = x4 − 16
b(x) = 2x4 + 9
c(x) = x4 − 3x2 + 2
d(x) = x3 + 2x2 + 4x − 7
Exercice 38
Écrire chacun des ensembles suivants sous la forme d’un seul intervalle de R.
1 3
E1 =] − ∞, 2] ∩ ]0, 3[
E2 =] − ∞, 0[ ∪ ] − 1, 3[
E3 = ,
∩ ]0, 1]
2 2
Exercice 39
Écrire chacun des ensembles ci-dessous sous la forme d’un intervalle de R, puis indiquer s’il
s’agit d’un intervalle borné ou non. Aucune jusification n’est attendue.
E1 = {x ∈ R | x2 6 1}
E2 = {x ∈ R | 0 < x − 2 6 3}
E3 = {x ∈ R | x(x + 1) < 0}
Exercice 40
Calculer.
A1 =
2
X
k
k=0
3
A2 =
3
X
2
k=1
A3 =
k
5
X
k=3
3
Y
k2
A4 =
k+1
k=1
k
k+1
A5 =
100
X
k
k=0
Exercice 41
Soit x dans R. Effectuer les produits suivants à l’aide d’un tableau à double entrée.
A = (3x2 + x − 2)(−2x2 + 5x + 3)
C = (−5x2 + 4x − 1)(3x2 + 4x + 6)
B = (2x3 − x2 + 4x + 5)(3x3 + x2 + 2x + 4)
D = (x4 + 2x3 + x + 6)(x2 − x − 5)
Exercice 42
Soit x dans R. Écrire chacune des expressions suivantes sans valeur absolue. On pourra
effectuer une disjonction de cas si nécessaire.
A = |x − 2| + |x + 1|
B = |x − 3| × |3 − x|
C = |x| + 2x − 3|x|
Exercice 43
1. On pose a = 40! × 60! et b = 45! × 55! ; comparer a et b.
12!
12!
13!
et d =
+
.
2. Même question avec les réels c et d définis par c =
4! × 9!
4! × 8! 3! × 9!
Exercice 44
Résoudre chacune des deux inéquations suivantes, d’inconnue réelle x.
3x
3x − 1
>
x+1
x
−x2 − 6x > 8x2 + 1
Exercice 45
Combien valent les nombres suivants ?
−24
(−2)4
− 23
(−2)3
Exercice 46
Quel est le plus grand de ces deux nombres réels :
143 987 659 321
143 987 659 322
ou
?
143 987 659 322
143 987 659 323
Exercice 47
Cocher la case correcte : vrai ou faux ?
vrai
faux
2. On a an × an = an pour tout n de N.
3. On a 1! + 4! + 5! = 145.
36 + 64 = 14.
5. L’avant-dernier chiffre de l’entier 14! est un zéro.
7. Les ensembles ]0, +∞[ et R∗+ sont égaux.
8. On a n! + m! = (n + m)! pour tout n de N et tout m de N.
13. On a n! × m! = (n × m)! pour tout n de N et tout m de N.
14. L’intervalle [2, +∞[ est inclus dans l’intervalle ]0, +∞[.
15. Le nombre −27 possède une racine cubique dans Z.
16. Pour n dans N∗ , il y a exactement n éléments dans J0, nK.
1. Le discriminant du polynôme 25X 2 − 10X + 1 est nul.
2
4. On a l’égalité
√
6. Pour tout n de N, le nombre
9. Le nombre
√
√
n
73n est un entier.
2 appartient à Q.
10. L’entier 11! est divisible par 54.
r
11. Le nombre
3
26
appartient à Q.
39
12. Pour tout entier naturel n, on a l’égalité
n X
n
k=0
17. Le nombre
k
√
√
3 × 48 est un entier.
18. On a l’égalité suivante :
p
√
√
3 = −1 + 4 + 2 3.
3k = 4n .