Chapitre 7 - Lois de probabilité à densité

TES
2012-2013
Chapitre 7 - Lois de probabilité à densité
Chapitre 7 - Lois de probabilité à densité
I
Lois à densité
I.1
Approche
TD1 : Découvrir une variable aléatoire continue
Partie A : Variable aléatoire discrète
On lance deux dés parfaitement équilibrés à 8 faces, numérotés de 0 à 7.
Soit X la variable aléatoire égale à la moyenne arithmétique des deux nombres obtenus.
Après avoir complété le tableau ci-dessous avec les moyennes, calculer la probabilité P (2 ⩽ X ⩽ 5).
X
0
1
0
0
0,5
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
Partie B : Variable aléatoire continue sur un intervalle
Soit Z la variable aléatoire égale à la moyenne arithmétique des deux nombres réels x et y choisis au
hasard dans l’intervalle [0; 7]
1. Déterminer l’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire Z.
Comparer cet ensemble à celui des valeurs prises par la variable aléatoire X.
2. On a représenté, en gris ci-dessous, l’univers de l’expérience aléatoire.
y
7
1
O
x
1
7
-1-
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(a) Justifier que l’événement {Z = 2} est représenté par le segment de droite définie par :
0 ⩽ x ⩽ 7 ; 0 ⩽ y ⩽ 7 et la relation y = 4 − x, puis tracer ce segment en bleu.
Indiquer de même la représentation de l’événement {Z = 5}, puis le tracer en rouge.
(b) Expliquer comment représenter les événements {Z ⩾ 2} et {2 ⩽ Z ⩽ 5}.
3. (a) En déduire que la probabilité P (2 ⩽ Z ⩽ 5) peut s’écrire comme le quotient de deux aires
et calculer cette probabilité.
(b) En utilisant un quotient d’aires, donner la valeur de P (Z = 2).
Remarque
Jusqu’ici, les variables aléatoires étudiées prenaient un nombre fini de valeurs. Or les issues d’un grand
nombre d’expériences aléatoires prennent pour valeur un nombre quelconque d’un intervalle I de R.
Exemple
Le temps d’attente téléphonique à un service, le poids à la naissance, le taux de glycémie, etc.
I.2
Densité sur un intervalle [a; b]
TD2 : Densité de population
Dans une région, on a constaté que tout habitant résidait à moins de six kilomètres d’un éco-point.
1. Un relevé statistique a permis d’établir l’histogramme des fréquences ci-dessous.
Par exemple, 48% des habitants résident à moins d’un kilomètre de l’éco-point.
(a) Quel est le pourcentage d’habitants résidant à moins de trois kilomètres de l’éco-point ?
(b) Que vaut la somme des aires des rectangles de l’histogramme ?
2. On choisit un habitant au hasard. On note X la distance séparant la résidence de cet habitant
de l’éco-point le plus proche.
X est une variable aléatoire qui prend ses valeurs dans l’intervalle [0; 6[.
(a) Compléter : P (0 ⩽ X < 1) = . . . . . . ; P (1 ⩽ X < 2) = . . . . . . ; P (1 ⩽ X < 4) = . . . . . .
(b) Pour tout entier n compris entre 0 et 6, que représente sur le graphique la somme des aires
des rectangles situés à gauche de n sur l’axe des abscisses ?
3. Une étude plus précise a permis de relever les distances à 0,1 km près et de construire l’histogramme ci-dessous, où chacun des 60 rectangles a pour base 0,1 et pour aire la fréquence de la
classe correspondante.
-2-
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Le 1er rectangle a pour hauteur 0, 77 car 7, 7% des habitants (soit une fréquence de 0, 077)
résident à moins de 0, 1 kilomètre de l’éco-point.
(a) Que vaut la somme des aires de ces 60 rectangles ?
(b) Pour tout nombre t d’au plus une décimale de l’intervalle [0; 6[, que représente sur ce
graphique la somme des aires des rectangles situés à gauche de t sur l’axe des abscisses ?
4. Si on fait une enquête de plus en plus précise, on voit apparaître une courbe comme celle tracée
sur la figure précédente.
Cette courbe représente une fonction f définie sur [0; 6[, appelée densité de probabilité de la
loi de X.
(a) Soit t un nombre réel appartenant à [0; 6[. En opérant comme pour les questions 2.(b) et
3.(b), dire ce que représente P (0 ⩽ X ⩽ t) sur ce graphique.
(b) On a relevé que 0, 2% des habitants résidaient entre 1, 21 et 1, 23 kilomètres de l’éco-point.
Calculer P (1, 21 ⩽ X ⩽ 1, 23).
(c) Conjecturer la valeur de P (X = 1, 22) et, plus généralement, celle de P (X = t), où t ∈ [0; 6[.
Définition 1
On appelle fonction de densité sur un intervalle [a; b], avec a < b, toute fonction f définie,
continue et positive sur [a; b] et telle que l’intégrale de cette fonction sur [a; b] est égale à 1 :
b
∫
a
f (x)dx = 1
Exemple
x
x2
Soit f la fonction continue et positive sur [0; 2] définie par f (x) = . Une primitive de f est F (x) =
, alors
2
4
2 x
4
dx = F (2) − F (0) = − 0 = 1. Cette fonction est une fonction de densité sur l’intervalle [0; 2].
∫
4
0 2
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Définition 2
Soit X la variable aléatoire à valeurs dans [a; b], munie d’une fonction de densité f .
On définit la loi de probabilité sur [a; b] de densité f en associant à tout intervalle
[c; d] inclus dans [a; b] la probabilité que X appartiennent à l’intervalle [c; d], calculée par
P (X ∈ [c; d]) = P (c ⩽ X ⩽ d) = ∫
c
d
f (x)dx.
Propriété
Pour tout nombre réel c de [a; b], P (X = c) = 0 et P (X ∈ [c; b]) = 1 − P (X ∈ [a; c]).
I.3
Loi uniforme sur un intervalle [a; b]
TD3 : Tirages de nombres au hasard dans [0; 1]
1. L’intervalle [0; 1[ contient 10 nombres d’au plus une décimale : 0 ; 0,1 ; 0,2 ; . . . ; 0,8 ; 0,9.
(a) Combien contient-il de nombres d’au plus 2 décimales ? d’au plus 10 décimales ?
(b) À l’aide de la commande Rand ou NbrAléat de la calculatrice, on peut obtenir un nombre
décimal d’au plus 10 décimales. Quelle est la probabilité que ce nombre soit 0, 2154473089 ?
2. L’intervalle [0; 1] contient une infinité de nombres réels. La variable aléatoire X correspondant
au tirage au hasard d’un nombre réel de [0; 1] est une variable aléatoire continue.
1
2
1
Que vaut P (X = ) ? Conjecturer les valeurs de P (0 ⩽ X ⩽ ) et de P (0 ⩽ X ⩽ ).
3
3
5
3. Soit a un réel appartenant à l’intervalle [0; 1]. On convient de poser P (0 ⩽ X ⩽ a) = a.
Soit f la densité de probabilité de la loi de X. On admet que f est continue sur [0; 1] et on note
F la primitive de f sur [0; 1] qui s’annule en 0.
(a) Montrer que, pour tout réel x de [0; 1], on a F (x) = x.
En déduire que f est définie sur [0; 1] par f (x) = 1.
(b) L’espérance mathématique de X s’interprète comme la valeur moyenne des valeurs prises
par X lorsque l’expérience aléatoire et répétée un très grand nombre de fois.
Que donne l’algorithme ci-dessous écrit avec le logiciel Algobox ?
-4-
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(c) Entrer cet algorithme dans la calculatrice et comparer les valeurs obtenues après exécution
1
de cet algorithme à la valeur de l’intégrale : ∫
0
xf (x)dx.
Définition 3
On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [a; b], lorsque sa densité est constante
sur [a; b].
Par conséquent, la fonction de densité f de la loi uniforme sur l’intervalle [a; b] est définie par
1
.
f (x) =
b−a
En effet, pour tout réel x de [a; b], la fonction de densité f est constante, ce qui signifie que f (x) = k
b
et ∫
a
f (x)dx = 1.
Ainsi, on a 1 = ∫
b
kdx = kb − ka = k(b − a). D’où k =
a
1
.
b−a
Propriété
– Pour tout intervalle [c; d] de [a; b], on en déduit : P (X ∈ [c; d]) = ∫
– L’espérance de la loi uniforme sur [a; b] est définie par :
E(X) = ∫
a
b
xf (x)dx =
b
a
1
d−c
dx =
.
b−a
b−a
b
1
1
b2 a2
1
(b − a)(b + a)
b+a
xdx
=
(
− )=
(
)=
∫
b−a a
b−a 2
2
b−a
2
2
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TES
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La loi normale centrée réduite N (0; 1)
II
II.1
Approche d’une densité par la loi binomiale
TD4 : Centrer puis réduire une loi binomiale
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(16; 0, 5) et dont la loi est représentée par la
diagramme ci-dessous.
Partie A - Calculer l’espérance et l’écart type de la variable aléatoire X
1. Calculer l’espérance µ de la variable aléatoire X. (Rappel : si X suit une loi binomiale B(n; p)
son espérance est E(X) = np).
2. On admet que la variance de la loi binomiale B(n; p) est : V = npq, où q = 1 − p.
√
Calculer l’écart type σ = V de la variable X.
Partie B - Centrer la variable aléatoire X
On pose une nouvelle variable aléatoire Y définie par Y = X − µ.
1. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire Y .
2. Utiliser les propriétés de l’espérance pour calculer l’espérance de Y .
3. Entrer en liste L1 de la calculatrice les valeurs de X, puis en liste L2
celles de Y données par : L2=L1-8.
Entrer en liste L3, sur TI : BinomFdp(16,0.5) ( 2nde var ) sur
Casio : BinomialPD(16,0.5) ( SHIFT 4 ).
4. Tracer le diagramme en bâtons représentant la loi de Y , en utilisant
la fenêtre ci-contre. Indiquer un procédé géométrique pour obtenir le
diagramme en bâtons de la loi de Y à partir du diagramme représenté
ci-dessus.
La loi de Y suit-elle une loi binomiale ?
Partie C - Réduire la variable aléatoire X
X −µ
On pose une nouvelle variable aléatoire Z définie par Z =
.
σ
1. En liste L2, entrer les valeurs de la variable Z par L2=(L1-8)/2.
2. Lire l’écart type σZ de la variable aléatoire Z.
3. Pour tracer le diagramme en bâtons représentant la loi de Z, il faut
utiliser la fenêtre ci-contre. Justifier cette modification.
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TES
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On considère une variable aléatoire X qui suit la loi binomiale B(n; p), d’espérance µ = np et d’écart
√
type σ = np(1 − p), avec 0 < p < 1.
X −µ
a−µ
Soit Z la variable aléatoire Z définie par Z =
. Alors P (a ⩽ X ⩽ b) = P (c ⩽ Z ⩽ d), où c =
σ
σ
b−µ
et d =
.
σ
Lorsque le nombre d’épreuves n prend de grandes valeurs et la probabilité de succès p est proche de
X −µ
0, 5 la transformation associée à l’égalité Z =
transforme d’abord l’aire bleue en l’aire rouge,
σ
tout en la divisant par σ. On obtient alors un diagramme ayant une forme de courbe en « cloche » ,
et en multipliant la hauteur des rectangles par σ, la courbe est très proche de la courbe de la fonction
de Gauss ϕ.
II.2
La loi normale N (0; 1)
Définition 4
Une variable aléatoire X, d’espérance µ = 0 et d’écart type σ = 1, suit la loi normale N (0; 1)
lorsqu’elle admet pour fonction de densité la fonction ϕ définie sur R par :
1 −x2
ϕ(x) = √ e 2 .
2π
La courbe représentative de ϕ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
-7-
TES
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Propriété
d
1 −x2
√ e 2 dx.
c
2π
– P (X = c) = 0, d’où P (X ⩽ c) = P (X < c).
– Si c ⩽ d, alors P (X ∈ [c; d]) = ∫
– P (−d ⩽ X ⩽ d) = P (X ⩽ d) − P (X ⩽ −d).
– P (X ⩾ d) = P (X ⩽ −d), d’où P (−d ⩽ X ⩽ d) = 1 − 2P (X ⩽ −d), ou encore
1 − P (−d ⩽ X ⩽ d)
P (X ⩽ −d) =
= P (X ⩾ d).
2
Propriété (Intervalles particuliers)
Avec la calculatrice (TI : 2nde
var puis NormalFRép(c,d,0,1), Casio : SHIFT
NormCD(c,d,1,0)), on obtient :
– P (X ∈ [−1; 1]) ≈ 0, 68.
– P (X ∈ [−1, 96; 1, 96]) ≈ 0, 95.
– P (X ∈ [−2; 2]) ≈ 0, 954.
– P (X ∈ [−3; 3]) ≈ 0, 997.
-8-
4 puis
TES
III
III.1
Chapitre 7 - Lois de probabilité à densité
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Loi normale N (µ; σ 2 )
Loi normale
Définition 5
Une variable aléatoire X suit la loi normale N (µ; σ 2 ) lorsque la variable aléatoire Z =
la loi normale N (0; 1).
X −µ
suit
σ
Exemple
1 −(x−4)2
Soit X la variable aléatoire dont la fonction de densité est la fonction f définie sur R par : f (x) = √ e 2 .
2π
On utilise la variable aléatoire Z = X − 4. On remarque que, en faisant « glisser » la courbe Cf de la variable X de 4
unités à gauche, on obtient la courbe Cϕ .
1 −z2
Donc la fonction de densité de Z est la fonction de Gauss ϕ : ϕ(z) = √ e 2 .
2π
La variable aléatoire Z suit donc la loi normale N (0; 1).
X −4 X −µ
=
, on peut lire µ = 4 et σ = 1. Ainsi, la variable X suit la loi normale N (4; 1).
Comme Z = X − 4 =
1
σ
Conséquence : Si la variable aléatoire X suit la loi normale N (µ; σ 2 ), alors son espérance E(X) est
µ et son écart type est σ.
En effet, si X = Z × σ + µ, d’après les propriétés de l’espérance et de la variance : E(X) = 0 + µ = µ et
√
V (X) = σ 2 × V (Z) = σ 2 . L’écart type de X est V (X) = σ.
Remarque
Si X suit la loi normale N (µ; σ 2 ), alors la fonction F définie sur R par F (x) = P (X ⩽ x) est strictement
croissante sur R. De plus, F (µ) = P (X ⩽ µ) = 0, 5.
-9-
TES
III.2
Chapitre 7 - Lois de probabilité à densité
Critères de normalité
Définition 6
Si la variable aléatoire X suit la loi normale N (µ; σ 2 ), alors :
– P (X ∈ [µ − σ; µ + σ]) ≈ 0, 68 (Fig. 1)
– P (X ∈ [µ − 2σ; µ + 2σ]) ≈ 0, 954 (Fig. 2)
– P (X ∈ [µ − 3σ; µ + 3σ]) ≈ 0, 997 (Fig. 3)
X −µ
suit la loi normale N (0; 1).
σ
– P (X ∈ [µ − σ; µ + σ]) = P (Z ∈ [−1; 1]) ≈ 0, 68
En effet, la variable aléatoire telle que Z =
– P (X ∈ [µ − 2σ; µ + 2σ]) = P (Z ∈ [−2; 2]) ≈ 0, 954
– P (X ∈ [µ − 3σ; µ + 3σ]) = P (Z ∈ [−3; 3]) ≈ 0, 997
-10-
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